Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

398 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
vergente Folge von Mengen aus M, für deren Vereinigung
9p(g1,+12+...+4 —t+.) endlich istl), so gilt für die Gemeinschaftsgrenze 9=- lim 2v,:
v= co
(x) 5 (9)-lim 9 (S9).
In der Tat, setzen wir wieder:
lim,- =-g, iim 2 ---,
so ist:
und mithin auch:. (5i)=9 (2)= =9 (W().
Nach Satz VI und VII ist daher:
lim f (9/2) ) 99 (2)~ lim 9 (9y)
Iv=CO yv=C
und somit:
lim 9g (p,,) =lim T9 (,)-= 9 (tI),
womit (X) bewiesen ist.
Sei wieder 99 eine nicht-negative, im a-Körper M absolut-additive Mengenfunktion. Ist 21 eine Menge aus M, für die
9 (W) =0,
so wollen wir jeden Teil von 91 (gleichgültig ob er zu M gehört oder
nicht) eine Nullmenge für 99 nennen. Die Vereinigung abzählbar
vieler Nullmengen ist dann offenbar wieder eine Nullmenge, denn ist:
wv< g,, f( )=0,
so ist auch:
+ *... + +...< + + -..* +...
9 (l 2 + * **+. + * *)= o.
Betrachten wir nun die sämtlichen Mengen:
(xx) = (t + a')- 1"
wo 91 eine beliebige Menge aus M, und 9', 91" Nullmengen für 99
bedeuten (91" -<2A). Offenbar bilden auch diese Mengen einen
1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das Beispiel von
Fußn. 1), S. 397.