Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

404 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
und es ist daher nach Satz III:
(**) ^ (9, 9) =-: (Lu) = ( 9 + 2 +. + i..) < i (, ^ )*
v v
Andererseits ist:
- =-W,9 '4+ 9Wat' +... + qui +...,
also, wieder mit Benutzung von Satz III:
(***) n (p, A) = (W') =E f (99') 9 _ — E (p, c )'
Durch (**) und (***) aber ist (*) und somit Satz VII bewiesen.
Wir bezeichnen die drei in M absolut-additiven Mengenfunktionen p(99,9), (99,9), a(p,92) als die zu 99 gehörige Positivfunktion, Negativfunktion, Absolutfunktion. Da sie nichtnegativ sind, gilt (~ 1, Satz III):
Satz VIII. Gehören 91 und e3 zu M, und ist e-<9T, so ist:
~(?, ) < ~(, x); v(), () _<'(, (X); c((, )) <a(9, W).
Satz IX. Ist g absolut-additiv im o-Körper M, so kann
jede Menge 91 aus M zerlegt werden in zwei fremde (in M
vorkommende) Teile:
(1) = _ ' + '",
so daß:
(2) (7t(, 9)=(Q, 1), ')= ('); v(Q, 9') =0;
(3) (D=, ") 0; ((P, f)=r((, ",-)= - (t").
In der Tat, nach Satz V ist mindestens eine der beiden Zahlen
n (P, 91), v(99, 9) endlich, z. B. n (99, 91). Nach Satz IV gibt es einen
Teil 91' von 9, so daß:
(4) ' (p, ~)= 9(W).
Da nach Satz III und VIII:..(~)( <(,,9') < (,, 9),
folgt aus (4) die erste Gleichung (2).
Wäre nun:
(5) v (, ')>0,
so gäbe es nach Satz IV in 9' einen Teil 93', so daß:
9(93') =- v(p, 9') <0.
Aus: (9 (1') = 9 (3') + t (9' - ')
würde dann folgen:
(p^ - ') > p(91' n T(9,91',