Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

552 Die meßbaren Funktionen.
Dann ist:
fif'2=f gg 92 + gl h2 a h - g2 h2.
Es genügt also, nach dem eben Bewiesenen, zu zeigen, daß glg2,
g1h, g2h1, g2 h2 9 -meßbar sind, d. h. wir können von vornherein
annehmen, daß weder f1 noch f2 verschiedene Zeichen annehme.
Wegen Satz VI können wir weiter annehmen:
fi>o; f,20.
Dann aber ist, damit f f2> p (> 0) sei, notwendig und hinreichend
die Existenz eines rationalen r> 0, so daß:
f1>r, f2>-,
woraus die Behauptung folgt wie für f1- + f.
fi
Beweis für -. Nach dem eben Bewiesenen genügt es zu
zeigen, daß r o —meßbar ist. Nun ist:
2
für p>0: j ( >p) 9 (<f <2 )
fürp 0: >
frp=0: - -o. >o (o<f< +oo),
\2
für p < '(r > = p = f2 <-) 9+(f >0).
Also folgt aus der p9-Meßbarkeit von f, die.von und Satz IX ist
* 2
bewiesen.
Satz X. Sind f1 und f2 9-meßbar auf s9, so ist die
Menge 8 aller Punkte von 9', in denen f~+f2 (oder f1'f2,
oder r) definiert ist, p-meßbar, und es ist f1 + f2 (bzw. f, f2,;f) p-meßbar auf 9.
Wir führen den Beweis etwa für f1 + f2. Abgesehen von Nullmengen ist:
t 3= - t (fi += oo). (f - oo) - - (f,= - ). (= + oo),
also ist 93 q-meßbar, und indem man Satz IX auf die Menge B3
anwendet, folgt, daß f +-f2 p-meßbar auf 9. Damit ist Satz X
bewiesen.
Aus Satz IX folgern wir auch sofort:
Satz XI. Ist f 99-meßbar auf 9, so auch die aus f durch
die Schränkungstransformation hervorgehende Funktion,
und umgekehrt.