Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

496 Die Funktionen endlicher Variation.
Wegen der Additivität von n ist:
(***) n (S*) z= (S**) + n (~***) + n (Ö).
Durch Vergleich der Formeln (*), (**), (***) folgt tatsächlich die
zweite Gleichung von Satz XIV.
Satz XV. Gibt es ein [a,b] enthaltendes Intervall (a', b'),
so daß f von endlicher Variation in [a', b'], so ist, wenn
[a, b] =
gesetzt wird:.(S.)= A (f) [ f/(a) - f — 0) -+ f| o+0)- f/(b);. = (3) =T' (f)+ f(a) - f(a - 0) |- + f(b + O) - f(b) |;
+ +
v (3). = N (f) + fa)- fa - o) l+ f(b + o) - /(b).
In der Tat, es ist:
—,q*+ -a + ~b,
so daß Satz XV unmittelbar aus Satz XIII und XIV folgt.
Absolutzuwachs a, Positivzuwachs X, Negativzuwachs v einer Funktion f
sind, wie wir wissen, Mengenfunktionen, die absolut-additiv sind im a-Körper
der f-meßbaren Mengen (~ 1, Satz V). Variation, positive Variation, negative
Variation einer Funktion f(x) sind uns nur als Intervallfunktionen bekannt.
Es sei nun darauf hingewiesen, daß diese Intervallfunktionen im allgemeinen
nicht zu absolut-additiven Mengenfunktionen erweitert werden können. Wir
wollen uns davon an einem Beispiele überzeugen.
Sei f(x)= in [-1,0] und =-1 in (0,1]. Wir behaupten: Es gibt
keine absolut-additive Mengenfunktion 9g (9), die sich auf Ab (f) reduziert
für g=[a, b]. In der Tat, angenommen, es gäbe eine solche. Sei o0 die
nur aus dem Punkte 0 bestehende Menge. Es ist eo sowohl der Durchschnitt
der Intervalle [ —, ] (v= l, 2,...), als auch der Durchschnitt der Intervalle [, 2]. Es müßte also sein:
(o)=lim A~ 1 (f; 9 (Ho) lim A~ (r).
Das aber ist unmöglich, weil:
A~ (f)0; A(f)==l für alle v.
y 0
Damit ist die Behauptung bewiesen. - Es gibt ebensowenig eine absolutadditive Mengenfunktion 9p (9I), die sich auf A (f) reduziert für =(a, b).
In der Tat, es ist (0, 1) die Vereinigung der monoton wachsenden Intervallfolge S,= (, 1); wegen 99 ()-=0 müßte also sein: