Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

174 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
3. In E gibt es (außer der leeren Menge) keine in 91 offene Menge.
Wir nennen die zu E gehörigen Teile von o1 kurz E-Mengen. Beispiele
von E-Mengen sindl): wenn 21 perfekt und relativ-vollständig ist, die abzählbaren Teile von S (Kap. I, ~ 8, Satz-VI); wenn 91 relativ-vollständig ist, die
Teile erster Kategorie von % (Kap. I, ~ 8, Satz XVI).
Bilden die Punkte von 21, in denen f > p ist, eine E-Menge, so heißt p
eine Oberzahl (majorante Zahl, Majorante) von f bei Vernachlässigung
von E-Mengen. Analog ist die Definition einer Unterzahl (Minorante) von f
bei Vernachlässigung von E-Mengen.
Satz I. Unter allen Oberzahlen von f bei Vernachlässigung
von E-Mengen gibt es eine kleinste, unter allen Unterzahlen von
f bei Vernachlässigung von E-Mengen gibt es eine größte.
Sei in der Tat po die untere Schranke aller Oberzahlen von f bei Vernachlässigung von E-Mengen; wir haben zu zeigen, daß p, selbst eine solche
Oberzahl ist. Dies ist trivial, wenn po, = - o. Ist aber po < -- 00, so gibt es
eine monoton abnehmende Folge {pn} von solchen Oberzahlen mit lim p = p,).
n = ao
Ist e, die Menge aller Punkte von W, in denen f >pn,, so ist En nach Annahme eine E-Menge. Die Menge f aller Punkte von W1, in denen f po
ist aber:
( =1 +4-. Jr 4 * + ( * -4 -und mithin, nach Eigenschaft 2. der E-Mengen, auch eine E-Menge. Damit
ist Satz I bewiesen.
Die kleinste Oberzahl (größte Unterzahl) von f bei Vernachlässigung
von E-Mengen heißt die obere (untere) Schranke von f auf 21 bei Vernachlässigung von E-Mengen. Wir wollen sie bezeichnen mit G* (f, 2) bzw.
g*(f, ).
Satz II. Für obere und untere Schranke von f auf 1l bei Vernachlässigung von E-Mengen besteht die Ungleichung:
g(f,21)<g(f,21)~ (f21)~G(f, 2)).
In der Tat, die äußeren Teile dieser Ungleichung folgen unmittelbar
aus der Tatsache, daß jede Oberzahl (Unterzahl) von f auch eine solche bei
Vernachlässigung von E-Mengen ist. Um auch die mittlere Ungleichung zu
beweisen, nehmen wir an, sie wäre nicht erfüllt. Dann gibt es ein c, so daß:
G* (f, 1)<c<g (f 2).
Dann aber ist sowohl der Teil von 2 auf dem f c, als auch der, auf dem
f < c eine E-Menge, und mithin wäre auch l, als Vereinigung zweier EMengen eine E - Menge, in Widerspruch zu 3. ihrer Definition. Damit ist
Satz II bewiesen.
Ist nun a ein Punkt von 21, so bilden wir die untere Schranke aller
Zahlen G* (f, U (a) -1) für alle Umgebungen U (a) von a, bezeichnen diese
untere Schranke mit G* (a; f, 1) und nennen sie die obere Schranke von f
in a auf 91 bei Vernachlässigung von E-Mengen, oder (als Funktion
von a betrachtet) die obere Schrankenfunktion von f auf 21 bei Vernachlässigung von E-Mengen. Ganz analog ist die Definition der unteren
Schranke in a (unteren Schrankenfunktion) von f auf 2 bei Vernachlässigung
von E-Mengen: g* (a; f, 1).
1) R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 72, 81; Acta math. 30 (1906), 21.