Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 13. Die Borelschen Reihen. 317
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eigentlich konvergiert, so können wir wieder uv Aym+i und mithin auch
v-yAv-+Fi wählen. Es ist dann nicht nur die Summe der Inhalte, sondern
auch die Summe der Radien der um die Punkte (Ie, i7) gelegten Kreise endlich. Nun ist auf jeder Geraden, die außerhalb aller dieser Kreise verläuft,
die Reihe (*) eigentlich gleichmäßig konvergent. Ersetzt man wieder, wie
oben, uv durch u/'-gUv und läßt wieder g eine Folge {gk} wachsender
Zahlen m it lim =gk -+ o durchlaufen, so erkennt man:
k= 0x
Satz III. Sind die A (v=, 2,...) positive Zahlen, für die
lYAvm+i eigentlich konvergiert, und;sind die mv positive Zahlen
v= 1
<m, so bilden für jede Schar ~ paralleler Gerader die Schnittpunkte derjenigen Geraden aus a3, auf denen die Reihe (*) nicht
gleichmäßig gegen eine beschränkte Grenzfunktion konvergiert,
mit einer beliebigen Geraden G auf G eine Menge des (linearen)
Inhaltes 0.
Man kann noch dies Resultat auf andere Kurvenscharen übertragen;
auch lassen sich Bedingungen angeben, unter denen auf gewissen Kurven die
Reihe (*) beliebig oft gliedweise differenziert werden kann. Wegen dieser
Fragen, sowie wegen der funktionentheoretischen Anwendungen der Borelschen
Reihen muß auf die Darstellung von Borel verwiesen werden.