Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

476 Die Funktionen endlicher Variation.
Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, sie
sei nicht erfüllt. Dann gibt es wegen:
a(~) A (e) 1)
eine Folge { } von Intervallsystemen, die sämtlich einem beschränkten, abgeschlossenen Teile 58 von 9 angehören, und für die:
lim uk((5Q) 0; lim (e,) + 0.
n-= o0 n- co
Ist nun
a ()=-+ o,
so lehrt Satz II, daß a nicht stetig, und somit auch nicht totalstetig nach /Mk ist. Ist hingegen a (3) endlich, so folgt aus Kap. VI,
~ 4, Satz IV, daß a nicht totalstetig nach ftk ist.
Die Bedingung ist hinreichend; denn ist a nicht totalstetig
nach Uk, so gibt es in q5 eine Menge 9/, so daß:
(**) (r) = 0; a (X) + O.
Zufolge der Definition von ca(l) gibt es also in @ eine Folge
{ 0n} offener, 2s enthaltender Mengen, so daß:
(***) lim a(,0=)- -a (v) + 0,
und dabei kann wegen der ersten Gleichung (**) offenbar angenommen
werden 2):
(* %*) lim ruk(f,) = 0.
qn = oo
Zufolge der Definition von a (0,) folgt aus (***): ts gibt in ~S
ein Intervallsystem En so daß:
lim A (~,) + 0.
n= co
Wegen (***) ist:
lim fck(~,)= 0.
n= i
Also ist die Bedingung von Satz V nicht erfüllt. Damit ist Satz V
bewiesen.
Satz VI. In Satz V kann (*) ersetzt werden durch:
(t) lim d (mJ)- 0.
1) Diese Ungleichung begründet man in folgender Weise: Ist ) eine offene
Menge, die alle Intervalle von ( enthält, so ist (nach Definition von 0):
c (0) > A (().
Und da (wieder nach Definition) a (e) die untere Schranke von oc (0) für alle
C enthaltenden offenen Mengen ~ ist, folgt die behauptete Ungleichung.
2) Denn ersetzt man ~) durch einen offnen,. enthaltenden Teil )', so ist
a <a( )a^