Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 4. Insichdichte, dichte, nirgends dichte Mengen. 77
In der Tat, wir wissen schon, daß er insichdicht ist; bleibt zu
beweisen, daß er abgeschlossen in 9 ist. Sei also a ein Häufungspunkt von!. Dann ist auch die Vereinigung von e mit a insichdicht, und mithin, falls a zu f gehört, ein insichdichter Teil
von 2f, und als solcher Teil von t. Es gehört also a zu k, d. h.
S ist abgeschlossen in sf, wie behauptet. Ist insbesondere 2 abgeschlossen, so ist also (~ 2, Satz IIIa) auch! abgeschlossen, und
weil insichdicht, auch perfekt. Damit ist Satz VI bewiesen.
Satz VII. Eine Menge o kann auf eine und nur eine
Weise gespalten werden in einen separierten und einen in
SS perfekten Teil.
In der Tat, ist k der insichdichte Kern von 2, so ist durch
(1) Sti +(^-A)
eine solche Zerlegung gegeben. Bleibt zu beweisen, daß sie die einzige ist. Angenommen, es gäbe noch eine zweite:
(2) 9-R + (t - s').
Da k' perfekt in 2f, also insichdicht, so ist nach Definition von A:
(3),<
Sei nun a irgendein Punkt von o - ~'. Da M& abgeschlossen
in 2, gibt es eine zu A' fremde Umgebung l (a), und nach Satz II
ist. lt (a) insichdicht. Da aber:
k (a) -< fund - -' separiert, muß R. U (a) leer sein, d. h. kein Punkt von
f- -' gehört zu R, oder:
(4) <.
Aus (3) und (4) aber folgt fl =-'; also sind die Zerlegungen (1)
und (2) identisch, und Satz VII ist bewiesen.
Die Menge 9t heißt dieht in S, wenn
(*) < ( ),
d. h. wenn jeder Punkt von S Punkt oder Häufungspunkt des
Durchschnittes f. S ist. Eine Menge, die dicht in R ist, heißt
überall dicht').
Satz VIII. Ist Sf-<5, so ist, damit X dicht in Q3 sei, notwendig und hinreichend, daß:
(0) O=s3o0.
1) Beispiel inm 9k: Die Menge aller rationalen Punkte des k ist überall
dicht; sie ist daher auch dicht in jedem Intervalle des 9k.