Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

238 Funktionenfolgen.
Da a Punkt von 911 und alle fv. unterhalb stetig in a auf 9l, gibt es
in 1 ein a = a, so daß:
(5) ' X a) f^1K)!f
~('~5),r (a, a)<;. (a,') > fv (a) -
Aus (3), (4), (5) aber folgt:
lim all-a; a, + a; lim, —; li fv,^ (a) > I" (a; {f,,}, ),
fl=-O n= oo ni=Zo
im Widerspruch mit der Definition von 1'. Damit ist (1) bewiesen, und
ebenso beweist man (2).
In Satz XVI ist der Satz enthalten:
Satz XVII. Sind im Punkte a von 9191 alle f, stetig auf 91, so
gilt sowohl (1) als (2) von Satz XVI.
Es sei noch bemerkt, daß, wenn die f, Funktionen einer reellen Veränderlichen sind, auch einseitige (reduzierte) Maximal- und Minimalfunktion
von {fv} definiert werden können. Wir gehen darauf nicht ein').
~ 2. Stetige Konvergenz und halbstetige Oszillation.
In Analogie zur Stetigkeitsdefinition einer Funktion (Kap. II, ~ 3,
S. 122) definieren wir nun: Die auf WI gegebene Folge {f,} heißt im Punkte
a. von 910 stetig konvergent auf 92, wenn für jede Punktfolge {a,}
aus 91 und jede Indizesfolge {v.,} mit:
(0) lim a = a und lim vy = - oo
der Grenzwert lim f, (a,) existiert. Aus dieser Definition folgt sofort:
fA: co
Satz I. Geht {f} durch die Schränkungstransformation
üfber in {fv}, so folgt aus der stetigen Konvergenz von
{/4} in a auf 1 auch die von {f *} und umgekehrt.
Satz II. Damit {/f} stetig konvergent sei in a auf 9,
ist notwendig und hinreichend, daß:
(1) r(a; {f},(: ()=y(a; {f,}, ),2)a
Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, ist {f} stetig
konvergent in a auf 9, so hat für alle (0) erfüllenden Folgen {an}
{Vn} der Grenzwert lim/tr(a^) denselben Wert 1:
n=n x
(2). linm f,, (a). — 1.
Denn angenommen es wäre:
lim a' = a; lm v'- c; lim fy (a,)= -l;
1) Vgl. hieriüber W. H. Young a. a. O..2) Es könnte also die stetige Konvergenz auch durch Gleichung (1) definiert werden......