Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

262 Funktionenfolgen.
so daß:
I f (az) — (au,) q.
Dann aber wäre:
lim l t;, (a) - f4r'(a) | > q > 0 (a; {ft}, 9),
n=00oo
entgegen der Definition von 0 (a; {f,}, ).
Sei sodann:
< o (a; {fd, t).
Dann gibt es eine Punktfolge {a}j in f und Indizesfolgen {vJ},
{.u}, so daß (0) erfüllt ist, und daß:
lim f" (a,) - (aj q.
nb = oO
Also ist:
If, (a') - f,'(a?)I> q für unendlich viele n.
Ist U eine Umgebung von a in 9i, so gehören fast alle aH zu 11
ist O irgendein Index, so ist für fast alle n:? >% }o;
also gibt es in U1 unendlich viele as, in denen (00) gilt. Damit ist
Satz I bewiesen.
Satz II. Ist a ein Punkt von o~, so gibt es in 9f eine
Punktfolge {a"}, und dazu zwei Indizesfolgen {v} und {1,}
so daß (0) erfüllt ist, und:
(00) lim i, n(a) - f (a) = 0 (a; {f;}, O).
Sei in der Tat {q"} eine Folge reeller Zahlen, für die:
lim q l= 0 (a; {f;,}, q), q < 0 (a; {f,}, ).
fl - CO
Nach Satz I gibt es in U (a; ) einen Punkt a., und dazu zwei
Indizes v, vi, so daß:
',t; 1 n; I fn (aC) -- f'(a) > q
Also ist:
lim f,(a.) - f, (a) lim q [= 0 (a; {f}, 3)J.
n =o = oo
Wegen der Definition von 0(a;{f~},f) gilt auch die umgekehrte
Ungleichung:
lim f;,(aJ)- f,(a)l < 0 (a; {f;,}, 9.
bien.
Damit aber ist ) bewiesen.