Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 8. Inhaltsfunktionen im Dik. 455
Dann ist, wie eben bemerkt:
(8) (0,) < (,) +,P (V2) +..+ - ()Y
Wir beweisen nun zunächst:
(9) q (D) lim q~ ()).
X,= X0
Jedenfalls ist, weil s, -<:
99 (Q) lim (~y).
* v=
Angenommen, es wäre:
(10) p (Z) > lim f (~)..y = co
Dann gibt es ein endliches Intervallsystem e in ), so daß auch:
(11) Sv () > lim fq (0).
Nun gibt es aber ein Z, so daß:
(12) e<a,
Denn andernfalls enthielte jede der abgeschlossenen Mengen 91 -,,
einen Punkt von E, d. h. keine der abgeschlossenen Mengen G (9 -,)
wäre leer, es wäre daher (Kap. I, ~ 2, Satz VIII) auch ihr Durchschnitt nicht leer, d. h. es gäbe einen nicht zu 0 gehörigen Punkt
von (S, entgegen der Annahme -< ~0. - Wegen (12) ist nun ( auch
Intervallsystem aus ~,, es ist daher:
t (:,)>v (e),
und da die 99 (,,) monoton wachsen, ist auch
lim (.)) _ (C),
V = r0
im Widerspruche mit (11). Also ist (10) unmöglich, und (9) ist
nachgewiesen.
Aus (9) und (8) aber folgt durch den Grenzübergang v- oo
die zu beweisende Ungleichung (1), und Satz I ist bewiesen.
Das wichtigste Beispiel zu Satz I erhalten wir, indem wir unter
der Intervallfunktion y( d) den Inhalt von S verstehen, d. h. indem
wir, wenn:
=[a1, '....,a; bl, b2,..., b]
ist, setzen:, (S) =- (b -- a) (b - a)... (b, - ak).
Es entsteht nach Satz I aus dieser Intervallfunktion eine für
alle offenen Mengen definierte Mengenfunktion, aus der weiter nach