Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Einleitung. ~ 5. Grenzwerte reeller Zahlen. 29
1. das abgeschlossene Intervall [a, b],
2. das offene Intervall (a, b),
3. und 4. das halboffene Intervall [a, b) bzw. (a, b].
Die (immer positive) Zahl b —a heißt die Länge jedes dieser
Intervalle. Ist sie endlich, so nennen wir auch das Intervall endlich. Bekanntlich gilt:
Satz I. Jedes Intervall enthält rationale Zahlen.
Aus Satz I folgt:
Satz II. Eine Menge 9)1 zu je zweien fremder Intervalle
-ist abzählbar.
In der Tat ordnet man jedem Intervall der Menge 9S eine in
ihm enthaltene rationale Zahl zu, so hat mian eine eineindeutige
Abbildung zwischen gi und' einem Teil der Menge aller rationalen
Zahlen, woraus in Hinblick auf ~ 2, Satz VI und VII die Behauptung folgt.
Sei 91 irgendeine geordnete Menge. Seien 9', "' zwei Teile
von 91 mit folgenden Eigenschaften:
1. 9i' 4 9" —=.
2. Ist a' in 91', a" in 92", so ist a' vor a".
Man sagt dann: 9', 91" bilden einen Schnitt') in 91. Wir nennen
9' die erste, 91" die zweite Komponente des Schnittes2).
Ist 91 Teil der geordneten Menge 91, so gibt jedes Element a
von 1 - 9 Anlaß zu einem Schnitte in 91:
(*) 91'= Menge aller Elemente von 91, die vor a; 1" - 1- -A1'.
Ist hingegen a Element von 1, so gibt es Anlaß zu zwei
Schnitten in 91: nämlich außer dem Schnitte (*), noch zu demjenigen, dessen erste Komponente aus der ersten Komponente des
Schnittes (*) durch Hinzufügen des Elementes a entsteht. In jedem
dieser Fälle sagen wir: der Schnitt wird durch a hervorgerufen.
Bekanntlich gilt dann, wenn wir für 91 die Menge der (natürlich
geordneten) reellen Zahlen, für 91 aber sei es die Menge der (natürlich geordneten) rationalen, sei es wieder die der reellen Zahlen
wählen, der Satz:
1) Der Begriff des Schnittes wurde von R. Dedekind zum Ausgangspunkt der Theorie der reellen Zahlen gemacht (Stetigkeit und irrationale
Zahlen, 1872).
2) Bei dieser Definition des Schnittes ist es nicht ausgeschlossen, daß eine
Komponente leer sei.