Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

316 Funktionenfolgen.
<m, so ist die Reihe (0) überall eigentlich konvergent, abgesehen
von einer Menge des (linearen) Inhaltes 0.
Es hat keinerlei Schwierigkeiten, die Untersuchungen auf den 9i (und
ebenso auf den 91) zu übertragen. Sei 9S eine abzählbare Menge von Punkten
(tv, y,) (V0 1, 2,...) des 92. Wir setzen:
r, (x, y) - ) +t (y - V,)
und betrachten die Reihe:
(*) S(Z) y) Srym '
y=l
wo die Av und die mv dieselbe Bedeutung haben, wie in (0). Ist wieder Öu
v=1
eine eigentlich konvergente Reihe positiver Zahlen, so wird jetzt (*) eine endliche Summe haben in jedem Punkte, in dem fir alle v:
> v (=v).
Wir legen um jeden Punkt (v', rv) den Kreis vom Radius Vv, und an
der früheren Überlegung ändert sich nichts, als daß an Stelle des Inhaltes
der dort betrachteten Intervallmenge nun hier der Inhalt der Vereinigung
aller dieser Kreise tritt. An Stelle der dort gemachten Annahme, daß,,
v==l
eigentlich konvergiert, wird also hier die Annahme treten müssen, daß b Vv2
v=l1
eigentlich konvergiert, und das kann man immer dann1) erreichen, wenn
Co 2 a2
XA v+ 2 eigentlich konvergiert: man hat nur uv =Am7 + 2 zu wählen. Das gibt
v=1
den Satz:
Satz II. Sind die Av (v l, 2,...) positive Zahlen, für die
Ce 2
A;,s+2 eigentlich konvergiert2), und sind die mv positive Zahlen
v=1
~m, so ist die Reihe (*) überall eigentlich konvergent, abgesehen
von einer Menge des (ebenen) Inhaltes 0.
oo 1
Setzen wir darüber hinaus wie in Satz I voraus, daß auch.A,,Ä, +
v=l
1) Aber auch nur dann; denn aus der Cesaro-Hölder sehen Ungleichung
2 2 a
folgt,daß gleichzeitig mit uv und,v auch zUv +2 V + 2 V iAns, +
eigentlich konvergiert.
2) Im NR, muß LAmY+n eigentlich konvergent sein.
Y Ei