Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 8. Charakteristische Eigenschaften der Funktionen usw. 353
Sei, um dies einzusehen, zunächst a = 1. Jede Menge J), ist
dann abgeschlossen in 9I. Wir setzen:
hn,(a)-= der kleineren der beiden Zahlen I und v r (a, 2k,).
Nach Kap. II, ~ 4, Satz I und Kap. II, ~ 3, Satz VIII ist dann h,",
stetig, und mithin von 0-ter Klasse, und die Forderungen (0) sind
offenbar erfüllt.
Sei sodann a> 1. Dann gibt es eine Darstellung:
=n,n Rn, 1 n, 2'-... * -9n,...
wo {S,,,,} eine monoton abnehmende Folge von Mengen geringerer
als a-ter Ordnung. Wir setzen:
h~,=0 auf 9R,,; hn,-=1 auf 9 —,,.
Nach ~ 5, Satz I ist dann hn,v von geringerer als a-ter Ordnung,
mithin nach ~ 6, Satz I auch von geringerer als a-ter Klasse. Die
Forderungen (0) sind wieder erfüllt. Die gewünschte Funktionenfolge {hn,,} ist also in jedem Falle hergestellt.
Da nun f. von höchstens a-ter Klasse, gibt es eine Darstellung:
(00) f~= lim fn,,
v= 00
wo jedes f,v, von geringerer als a-ter Klasse. Vermöge der Schränkungstransformation können wir dabei alle f, und alle f,, als endlich annehmen. Wir setzen:
= fl, v -4 (f2,v -- fl, v) 1, v 4(3,v f — f3,,) 2, -f-
- (f-, v - f,, ) y-l,,
Nach ~ 1, Satz VII ist auch h, von geringerer als a-ter Klasse. Aus
(0) folgt sofort:
auf ~9, ist h ==fi, für alle v
auf Wn-n -, ist hl==fn,v für fast alle v.
Wegen (00) ist also:
f===lim h,,
und mithin ist f von höchstens a-ter Klasse. Damit ist Satz I
bewiesen.
Nunmehr sind wir in der Lage, folgende charakteristische Eigenschaft der Funktionen höchstens a-ter Klasse zu beweisen'):
Satz II. Damit die auf 91 endliche Funktion f von
höchstens a-ter Klasse sei (a~1), ist notwendig und hin~) H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 173.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 23