Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 6. Zusammenhang zwisehen Klasse und Ordnung usw. 347
wo jedes f, von geringerer als a-ter Ordnung. Da aber für alle
a.< Satz I als richtig angenommen ist, so ist dann jedes fy, auch
von geringerer als a-ter Klasse, und mithin f von höchstens a-ter
Klasse, wie zu beweisen war.
Fall b). Da nun f sowohl eine Funktion G +i als auch eine
Funktion,_-1-, so ist nach ~ 5, Satz II jede Menge X[(f> q) und.
jede Menge 29 (f <p) höchstens eine Menge ß93+1, mithin jede Menge
91(f~ q) und jede Menge it(ft~p) höchstens eine Menge T-+i1;
und wegen:
f (P ~ f ~ q) -1:(f~p). f (f ~ q)
ist (~ 4, Satz III) auch 9 (p ~ f < q) höchstens eine Menge "-,-i+
Vermöge der Schränkungstransformation können wir f als beschränkt annehmen:
u<f< v.
Wir teilen das Intervall [u, v ] in v gleiche Teile durch Einschalten
der Teilpunkte:
^< < < < U_ < U == V.
Da, wie eben gezeigt, die Menge 1 (u1 <f f< u' ) höchstens eine
Menge Z,+i ist, gibt es nach ~ 5, Satz IV eine Funktion f(), die
höchstens eine Funktion g~ ist, so daß:
) o=0 auf 9(u_<f _<f< ))
o <_ 1 1 auf 1(f< u )+ ) f(f> u j).
Wie wir schon unter Fall 'a) sahen, ist <(", weil höchstens eine
Funktion g~, auch von höchstens a-ter Klasse.
Wir setzen nun ):
() ) / v ") ____. 1 2"
hi -— ~ 1' (i s.().,'()(v(" >) ( Pi
und es ist:
h = -O auf (f~= uL>);
-A=1 auf 9 (f>,);
0 < h"') < 1 auf 9 (uY) 1 < f< )).
~) Nach H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1904), 168.