Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

200 Die unstetigen Funktionen.
eine Funktion total-unstetig') auf X9, wenn sie in jedem Punkte
von 91 unstetig ist auf 9. Wir zeigen:
Satz IV. Auf jeder (nicht leeren) insichdichten Menge
9I gibt es total-unstetige Funktionen, die nur zwei verschiedene Werte p und q annehmen.
Zum Beweis genügt es, die Existenz eines Teiles e von 91 darzutun, der gleichzeitig mit seinem Komplemente 91 - ( in 9T dicht
ist. Denn setzt man:
Ip auf (,
tq auf 91-,
so ist f total-unstetig auf 91.
Nach Einleitung ~ 4, Satz XX, ist l gleichmächtig einer wohlgeordneten Menge; sei y deren Ordnungstypus. Es gibt dann eine
eineindeutige Zuordnung von 9 zu den Ordinalzahlen a < y; den dabei der Ordinalzahl a zugeordneten Punkt von 91 bezeichnen wir mit ab.
Nun definieren wir die Aufteilung der Punkte von % auf E
und 9%- ( durch Induktion (Einleitung ~ 4, Satz XIX), indem wir
festsetzen:
1. Es gehöre a0 zu e, a, zu 9 —.
2. Sei (für C > 1) 9, die Menge der Punkte a,<, (c<,:), und sei
Dann gehöre ac, zu e, wenn
(* ) tr(a, H ea) r (a.,,s -( ),
sonst zu 9- (.
Auf Grund dieser Vorschriften steht nun für jeden Punkt von W
fest, ob er zu ( oder zu t- ( gehört. Wir haben zu zeigen, daß
sowohl ( als 1 —( dicht in 1 ist.
Angenommen, es wäre S nicht dicht in 91. Dann gäbe es in 2i
einen Punkt a mit einer Umgebung U (a), in die kein Punkt von (
fällt. Dann gibt es aber ein >0, so daß nach U (a; e) kein Punkt
von ( fällt, und dann ist offenbar:
(**3). ( U (
3 3
Da 91 insichdicht ist, gibt es in U (a; ) gewiß zwei verschiedene
Punkte von 9X: aß, aß (a < fl); für sie ist
(t) r (a > a) <
H) Hiervon abweichend bezeichnen manche Autoren als total-unstetig
jede Funktion, die nicht punktweise unstetig (~ 4) ist.