Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

20 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre.
oder ß< a; es gibt also keine Ordinalzahl zwischen a und a + l.
Damit ist Satz IX bewiesen.
Satz X. Zu jeder Menge 51 von Ordinalzahlen gibt es
eine unmittelbar folgende.
Nach Satz IX muß der Beweis nur mehr für den Fall geführt
werden, daß es unter den Ordinalzahlen a von 9 keine größte gibt.
Wir bilden zu jeder Ordinalzahl a von 91 die Menge X9a aller Ordinalzahlen <c. Die Vereinigung aller dieser 91a sei 3; sie ist wohlgeordnetl). Sei ß ihr Ordnungstypus. Da, für jedes a aus 91, die
Menge 9, ein Abschnitt von st ist, und da 9ac den Ordnungstypus a
hat, so ist:
(1), < / für alle ü von 91.
Sei ferner y irgend eine Ordinalzahl <iß. Zufolge Definition
von S kommt dann y in einer der Mengen aX, vor, es ist also:
(2) 7 < für mindestens ein a aus 91.
Die Ungleichungen (1) und (2) aber zeigen, daß ß die unmittelbar
aui 91 folgende Ordinalzahl ist, und Satz X ist bewiesen
Satz XI. Jede Menge von Ordinalzahlen ist (in natüirlicher Reihenfolge) wohlgeordnet. In jeder Menge von Ordinalzahlen gibt es daher eine kleinste.
Sei in der Tat 91 eine Menge von Ordinalzahlen a. Nach Satz X
gibt es eine Ordinalzahl ßf, für die (1) gilt. Nach Satz VIII ist die
Menge B aller Ordinalzahlen <ßp in natürlicher Reihenfolge wohlgeordnet, und da 91 Teil von B ist, gilt dies auch für 1? (Satz I).
Damit ist Satz XI bewiesen.
Satz XII. Ist a die Ordinalzahl einer wohlgeordneten
Menge 9r, und a' die Ordinalzahl eines Teiles 91' von 5, so
ist stets a'<.
Angenommen in der Tat, es wäre:
'> cc.
Wir bezeichnen mit dieMenge aller Ordinalzahlen <c'. Dann ist:
(x) 91' ähnlich S.
Ist,3a der Abschnitt des Elementes c in S, so gibt es ferner,
weil 91 die Ordinalzahl a hat, eine ähnliche Abbildung von 91 auf
1) In der Tat, angenommen sie hätte einen Teil 3' ohne erstes Element.
Ist dann ß' ein Element aus S5', so gäbe es auch in der Menge der Ordinalzahlen < f' einen Teil ohne erstes Element, entgegen der Tatsache (Satz VIII),
daß diese Menge wohlgeordnet ist.