Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

454 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
so ist:
(3) ) ()< f (1)+ _ (0)
Angenommen in der Tat, es wäre:
(4) > (P (V)() + ) ((02)
Dann gäbe es in 0 ein endliches Intervallsystem G, so daß auch:
(5) 2 () > ( (C1) + 9 (^2).
Seien 1,.., Sn, die Intervalle des Systems e. Weil Z)
und ~2 offen sind, und somit nur innere Punkte haben, gibt es
offenbar zu jedem dieser Intervalle:v ein endliches Zerlegungssystem
~G derart, daß jedes einzelne Intervall von (,, ganz in mindestens
einer der beiden Mengen ~, und ~2 liegtl).
Bestehe nun (3 aus den sämtlichen Intervallen von _, von
(32..., von (i. Dann ist wegen Eigenschaft 2. von y:
(6) S () _ (~).
Da aber jedes Intervall von ~ sei es ganz in ~l, sei es ganz in
02 liegt, ist offenbar:
(7) (1) + () _ ().
Die Ungleichungen (5), (6), (7) aber stehen miteinander in Widersprach. Also ist (4) unmöglich, und somit (3) bewiesen.
Durch vollständige Induktion beweist man nun sofort: Ist:
~i = 1 ~+ ~2 + * * * + )v
(wo die ~, offene Mengen), so ist:
P (C) ) -9 (,) + -9 ()) +-... + t (v).
Sei endlich ~ gegeben durch (1). Wir setzen:
1) In der Tat, ist <v <1 +- - 2, so gibt es ein e > O, so daß für jeden
Punkt a von v, mindestens eine der beiden Ungleichungen gilt:
r (a, R -2) k h; r(a, R - 02) > ^
Denn anderenfalls gäbe es zu jedem m einen Punkt am von Z," für den:
1 1
r(am, R- )) <-; r(am, ) <.
Für jeden Häufungspunkt a von {am} wäre:
r(a, 9i- ~,) ==0; r(a, 9-2) = 0.
Weil RI - und 1 - ~o abgeschlossen, heißt das aber: a gehört sowohl zu
R —~ als zu 9R-D2. Da 2, abgeschlossen, müßte a auch zu!y gehören.
Das aber ist unmöglich, da wegen S <~ ~+~- die drei Mengen R -1,
Hi - 22, Sr keinen Punkt gemeinsam haben.