Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

444 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
Ist (9)- = -coo, so wegen Eigenschaft 3. der Maßfunktionen
(S. 424) auch 2 9f (9,), und es gilt wieder die erste Gleichung (*). - Ist
(0) f* ()= +,
so gibt es, wenn die Zahl p beliebig gegeben ist, einen 99-meßbaren
Teil 3 von 9, so daß:
(00) (2) >p.
Setzen wir:
E3 =3 3fS,
so ist wegen (00):
(000) 9 (3)=E 2 (e Vy) >.
v
Da 33lV ein?-meßbarer Teil von 9f, so ist:
* ( 99) ( ),
und mithin wegen (000):
*(v) >p.
Da dies für jedesp gilt, so ist:
L c* (XV) + 00
und da auch E, (9) -+ oc war, gilt die zweite Gleichung (*). Damit
ist Satz XIX bewiesen.
~ 7. Inhaltsfunktionen.
Wir gehen nun noch einen Schritt weiter in der Spezialisierung
der betrachteten Maßfunktionen 9f, indem wir an Stelle von Forderung 5. (S. 432), der die regulären Maßfunktionen zu genügen hatten,
die Forderung treten lassen:
5a. Zu jeder Menge 91 gibt es einen o-Durchschnitt
Z>-,9, so daß:
99 () = (9).
Eine Maßfunktion, die den Forderungen 1., 2., 3., 4. der gewöhnlichen Maßfunktionen und außerdem noch der Forderung 5a. genügt,
wollen wir eine Inhaltsfunktion nennen.
Da nach ~ 6, Satz II jeder o-Durchschnitt 99-meßbar ist, so ist,
wenn 5a. erfüllt ist, gewiß auch 5. erfüllt, und wir haben:
Satz I. Jede Inhaltsfunktion ist eine reguläre Maßfunktionl).
1) Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Beispiel: Sei 91 der euklidische fi, und sei q (91) = 0 oder = 0oo, je nachdem 91 abzählbar oder