Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. III, ~ 6. Beispiele puuktweise unstetiger Funktionen. 215
in jedem Punkte von t~, in dem'):
g(a; f, )> - oo
ist, die untere Schranke 0:
(1) g(a; w, )= 0.
In der Tat, die Behauptung trifft zu für jeden Punkt a von Wo0,
zu dem es eine Umgebung in 91 gibt, auf der durchweg f= +-c;
denn in jedem Punkte dieser Umgebung ist co —0.
Andernfalls gibt es in jeder Umgebung U (a) einen Punkt a'
von 91, in dem f(a') und damit auch g(a'; f, 9) endlich. Da g unterhalb stetig auf 9W (Kap. II, ~ 11, Satz II), gibt es weiter zu jedem
e > 0 eine Umgebung 11 (a'), so daß:
(2) g (a"; f, ) > g(a'; f, ) F- ( für alle ra von U (a') 91.
Nach Kap. II, ~ 2, Satz VII gibt es in (a). -U(a') 91 mindestens
einen Punkt a, in dem:
(3) f(a) < (a'; f, W)l+.
Da f oberhalb stetig auf 91, ist (3) gleichbedeutend mit (Kap. II, ~ 8,
Satz I):
(4) (af, )<g('; f, a )+..
Da (2) auch für a"-a gilt, folgt aus (2) und (4):
~(oö) a) (a;f,^ )<2.
In jeder Umgebung U (a) gibt es also einen Punkt a von 9, in dem
(5) gilt, und da stets co 0 ist, so folgt aus (5) in der Tat (), und
Satz 1 ist bewiesen.
Satz II2). Jede auf einer relativ-vollständigen3) Menge 91
oberhalb (unterhalb) stetige Funktion ist punktweise unstetig auf 1.
In der Tat, wir können wieder f als beschränkt annehmen; dann
ist co(a) oberhalb stetig auf 9 (~ 2, Satz XII); es folgt also aus (1)
1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im 91:
f (a)- n für a ==+ - (m, n teilerfremde natürliche Zahlen).
Dann ist f oberhalb stetig auf der Menge f aller rationalen a = 0 des 9i,
aber in jedem Punkte von 9l ist w (a)= 4- oo.
2) R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 13. (Vgl. auch Bull. soc. math. 28
(1900), 179). H. Lebesgue, Bull. soc. math. 32 (1904), 233.
8) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Sei (im Sl ) St
die Menge aller Punkte +n (m, n teilerfremde natürliche Zahlen), und sei
f (m}) = n. Dann ist f oberhalb stetig, aber total-unstetig auf 91.