Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 4. Borelsche Mengen. 341
nicht abzählbar ist, etwa: Ui-l 2.* 92 2.9 2 lX,, (wobei wegen (***)
wieder 21, für i 0 und 1 gemeinsam gewählt werden kann). Es
gibt also wieder in Ui.-l. W*. gfi2 *. g i2S 1A1,1 zwei Kondensationspunkte
a,,( ai,1. Dann gibt es ein 92:
0<22 -22
so daß die abgeschlossenen Umgebungen l (ai,j; 2) (i,j=0, 1) die
folgenden Eigenschaften haben:
1. Sie sind fremd;
2. sie gehören jeder der beiden Mengen 9 22, '1ili,'l an, die
etwa offen ist;
3. U(a" j;,p) C U (a/;)
Wir schreiben abkürzend:
Uj-=U (a, j; 92).
Nun unternehmen wir in derselben Weise den dritten Schritt
unsres Verfahrens, in den solche Mengen (t) eingehen, bei denen
die untere Indizessumme 3 ist. Wir finden so Mengen:
U~ij..2 *- gi1 s 1 * gÄ3 ^XA2 ^i2, 1 *.1^ A1, 2., 1,1,1 (1 =o 0),
die nicht abzählbar sind, und sodann Kondensationspunkte aijk
(i,j,k=O,l) in diesen Mengen mit abgeschlossenen Umgebungen
t(aj, k; C) ( ~<3 23), die folgenden Bedingungen genügen:
1. Sie sind fremd;
2. sie gehören jeder der Mengen g2ia, 21 2,22, iX1 2, 'i, 1,i,' 1,
an, die etwa offen ist;
3. ut (ai, j, k; C) U (ai, j; o,).
Wir setzen wieder:
u (ai, j, k;.s) = i,
In dieser Weise fortfahrend erhält man zu jeder Folge i, i2,..., in
von Ziffern 0, 1 eine Menge Uiq,i,.... Wir bezeichnen mit Un
die Vereinigung aller dieser Mengen Uil,i,...i mit n Indizes, und
bilden den Durchschnitt:
(rtt) i-n, = -- ~.u.....u....
Wie beim Beweise von Kap. I, ~ 8, Satz VI sehen wir, daß X perfekt ist. Es bleibt also nur mehr zu zeigen, daß:
T -< 2f..