Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 9. Halbstetigkeit auf einer Punktmenge. 159
Satz VII. Ist S ein in 9I dichter Teil von 91, so ist für
jede auf 9 oberhalb stetige Funktion f:
(1) g(f )-g(f, )
für jede auf 91 unterhalb stetige Funktion f:
(2) G(f, 9)= G(f, ).
Sei in der Tat f oberhalb stetig auf 91, Aus S3-< folgt:
(3) g(f ) g(f,
Ist andrerseits p irgendeine Zahl
(4) p>g(f),
so gibt es ein a in 91, so daß:
f(a) <p.
Da 93 dicht in 91, gibt es in S3 eine Folge {b,} mit
lim b, == a.
n == Co
Weil f oberhalb stetig, ist:
lim f (bn) _ f (a) < p,
n= ound somit für mindestens ein b.:
f(b<) p,
also auch:
(f, )<P;
und da dies für jedes (4) genügende p glt, auch:
(5) g (f, ) _g (f, ).
Aus (3) und (5) aber folgt (1). Und analog beweist man (2), wenn
f unterhalb stetig ist. Damit ist Satz VII bewiesen.
Ganz ebenso wie in ~ 5 Satz V aus Satz IV, folgt nun hier aus
Satz VII:
Satz VIII. Ist 9 ein in 91 dichter Teil von 91, so ist in
jedem Punkte von o0, wenn f oberhalb stetig auf 9:
(*) g (a; f, a ) =sq (a; f, 3);
wenn f unterhalb stetig auf 9:
(**) G (a; f, 91)= G(a;f, 3).
Für oberhalb stetige Funktionen wird im allgemeinen (**) nicht
gelten, für unterhalb stetige (*) nicht.