Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

418 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
es in M eine Mengenfolge { so,, so daß:
(XXX) lim a ( )=; limap(99, 9) >0.
nn= ooo
Ist Ei eine eigentlich konvergente Reihe positiver Zahlen, so
können wir wegen der ersten Gleichung (xxx) - indem wir nötigenfalls von {1,} zu einer Teilfolge übergehen - annehmen, es sei:
a(ß,)K<e, für alle n.
Wir setzen:
und haben dann:
a(j3,X)< n+ 1 + — J ( C (.
Wegen der eigentlichen Konvergenz der Reihe der e, und wegen
der zweiten Gleichung (xxX) ist also:
lima(,,)= 0; lima (99,J) > 0.
Setzen wir noch:
so ist nach ~ 1, Satz V:
a (, 9) = lim a (f, 9,)= 0; a (99, 1) = limr a (99, 91,) > 0.
Also ist 9? nicht totalstetig nach f, und Satz IV ist bewiesen.
Ebenso wie ~ 3, Satz V gilt:
Satz V. In Satz IV kann (xx) ersetzt werden durch'):
(xx) lim 99 (f1)=0.
tZ= o
Im vorstehenden war qp als absolut-additiv vorausgesetzt. Es
sei noch bemerkt, daß bei Bestehen der Bedingung von Satz IV
oder V aus der Additivität von p99 auf die absolute Additivität geschlossen werden kann:
Satz VI. Ist die Basisfunktion f endlich, und ist (p eine
in M definierte additive Mengenfunktion, für die aus (x)
das Bestehen von (XXX) folgt, so ist 99 absolut-additiv2).
1) Ist umgekehrt die absolut-additive Mengenfunktion qp so beschaffen, daß
aus (x) auch (XxX) folgt, so ist sie selbstverständlich totalstetig nach ß. Denn
ist a (, 9t)= — 0, so setze man 9f- = für alle n. Dann gilt (x) und mithin
auch (Xx). Da aber 99 (,)- = 9p (9t) für alle n, so heißt das: 9 (2) = 0.
2) Und mithin auch totalstetig nach ß (Fußn. 1).