Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Einleitung. ~ 6. Häufungswerte reeller Zahlen. 35
und sagen, die linksstehende unendliche Reihe sei konvergent') (eigentlich konvergent); die Zahl s heißt ihre Summe, die Zahl s, ihre
n-'te Teilsumme.
Aus der k-fachen Folge {an, 2..., } wird ebenso eine k- fache
Folge {s n,,.,,k} hergeleitet durch:
tI n%2 nk
nl, t2,..., nk av, v2...,=1-1 = 1 k =
Ist {sni, -. kn } konvergent (eigentlich konvergent):
lim Sn= n2 ik
l-='00,..., nk = O0
so schreiben wir:
00
/a, alsv, '&, Yk n
und nennen wieder die k-fach unendliche Reihe links konvergent
(eigentlich konvergent), die Zahl s ihre Summe, die Zahlen s.l,...,
ihre Teilsummen.
~ 6. Häufungswerte reeller Zahlen.
Die Zahl a heißt ein Häufungswert der Zahlenmenge X, wenn
es in, einen abzählbaren Teil al, a,..., a,... gibt, so daß:
lim a= a,
n=oo
sie heißt ein Häufungswert der Zahlenfolge2) {a"}, wenn es in
{a"} eine Teilfolge {a, } gibt, so daß:
lim an, = a.
Aus dieser Definition folgt sofort, daß jeder Iäufungswert
eines Teiles von fT (einer Teilfolge von {a}) auch Häufungswert
von i (von {a"}) ist.
Satz I. Damit a Häufungswert von (von n{a}) sei, ist
notwendig und hinreichend, daß, sei es zu jedem Intervalle
1) Dies weicht von der üblichen Terminologie in derselben Weise ab, wie
für die Zahlenfolgen. Vgl. S. 32, Fußn. 1).
2) Sind unendlich viele a== a, so ist a Häufungswert von {a"}, nicht
aber notwendig Häufungswert der von den an gebildeten Zahlenmenge (die,
wenn z. B. alle a ==a sind, nur aus der Zahl a besteht, und demnach keinen
Häufungswert hat).
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