Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

116 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
nehmen einen Schnitt (Einleitung ~ 5, Satz III) in der Menge X aller
reellen Zahlen vor:
indem wir in die zweite Komponente 3' alle jene Zahlen x aufnehmen, welche der Bedingung genügen:
f(a)<x für fast alle a von 9f.
Die diesen Schnitt hervorrufende Zahl ist der Limes superior von f
auf 2f. Es sind demnach lim (f, 9/) und lim (f, 91) charakterisiert
durch die beiden Eigenschaften:
1. Ist i <lim(f, 91) und q>lim(f, 91), so ist1):
p < f(a) < q für fast alle a von 91.
2. Ist z < lim(f, 91), so ist:
f(a) > z für unendlich viele a von 91;
ist z>>lim(f, 91), so ist:
f(a) < z für unendlich viele a von 91.
Es sei noch bemerkt, daß lim (f, 91), lim(f, 91) nicht notwendig
übereinstimmen mit Limes superior und inferior (Einleitung, ~ 6,
S. 38) der Menge K1I aller Werte, die f auf 91 annimmt. Sei z. B. f(x)
folgende Funktion einer reellen Veränderlichen: f(x)= 1 in [0, 1],
f(x)= - x2 für 'alle andern x. Dann besteht die Menge 9S aller
Funktionswerte von f(x) aus dem Intervalle (- o, 0) und der Zahl 1;
also ist:
lim m = 0; hingegen: lim (f, 9) 1.
Satz II. Wird die Funktion f (die Zahlenfolge {(z}) durch
die Schränkungstransformation iiübergeführt in f* (in {z,*}),
so wird lim(f, 91) und lim(f, 91) (lim z, und lim z) durch die
-'- =0 - 'n=ooo
Schränkungstransformation übergeführt in lim(f*, 9X) und
lim (f*, 91) (lim zn* und lim z,.).
In der Tat, dies ergibt sich unmittelbar aus der Tatsache, daß
durch die Schränkungstransformation jede der Ungleichung
(1) f (a) < x für fast alle a von 91
genügende Zahl x übergeführt wird in. eine der Ungleichung
(2) f*(a)< x* für fast alle a von 91
~) Ist eine der Zahlen lim (f, 9), lim (f, 9) unendlich, so kommt nur die
eine Hälfte der folgenden Ungleichung in Betracht.