Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 9. Lineare abgeschlossene Mengen. 111
Systembruch der Grundzahl 3 darstellbar sind:
%' e e2... e1 ~ ~
in dem keine Stelle 1 vorkommt.
Wir unterscheiden die Punkte einer abgeschlossenen Menge 9/
des 9i in solche erster und zweiter Art, je nachdem sie Endpunkte eines zu 1t komplementären Intervalles sind, oder nicht.
Satz III. In jeder abgeschlossenen Menge des 94 ist die
Menge aller Punkte erster Art abzählbar. In jeder (nicht
leeren) perfekten Menge des gN hat die Menge aller Punkte
zweiter Art die Mächtigkeit c.
In der Tat, da es (Satz I) nur abzählbar viele, zu Qf komplementäre Intervalle gibt, gibt es auch nur abzählbar viele Endpunkte
solcher Intervalle, also nur abzählbar viele Punkte erster Art von 1X.
Ist die Menge X perfekt, so hat sie (~ 8, Satz XII) die Mächtigkeit c,
und da die Menge der Punkte erster Art abzählbar ist, muß (Einleitung ~ 2, Satz X) die Menge der Punkte zweiter Art die Mächtigkeit c haben, wie behauptet.
Satz IV. Jeder Punkt einer nirgends dichten perfekten
Menge 9 des D ist Häufungspunkt sowohl von Punkten
erster, als von Punkten zweiter Art von 91.
Sei a ein Punkt von 1; in jedem a enthaltenden Intervalle
(b, c) liegen, da a auch Häufungspunkt von 91 ist, unendlich viele
Punkte von 91, mithin unendlich viele punktfreie Intervalle von 91,
mithin unendlich viele Punkte erster Art. Also ist a Häufungspunkt
von Punkten erster Art.
Nach ~ 8, Satz XIII ist a aber auch Kondensationspunkt von 29,
in jedem a enthaltenden Intervall (b, c) liegt also ein nicht abzählbarer Teil von 9, und da die Menge aller Punkte erster Art abzählbar ist, liegen in (b, c) unendlich viele Punkte zweiter Art, also
ist a auch Häufungspunkt von Punkten zweiter Art, und Satz IV
ist bewiesen.
Satz V. Die Menge aller Punkte zweiter Art einer
nirgends dichten perfekten Menge 91 des 9i hat in ihrer
natürlichen Reihenfolge den Ordnungstypus t (Einleitung
~ 8, S. 48).
Sei in der Tat 9' die Menge aller Punkte zweiter Art von 9
in ihrer natürlichen Reihenfolge, und sei 9D die Menge aller endlichen punktfreien Intervalle von 9I in ihrer natürlichen Reihenfolge.
Zwischen den Elementen von 9' und denen von 9J) setzen wir
folgende Reihenfolge fest: