Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

224 Die unstetigen Funktionen.
Sei nun a ein Punkt von (8~ - ) o. In jeder Umgebung U(a) liegt dann
sowohl ein Punkt von 8, als von 30~ - 3. In jedem Punkte b von 8o~ 0- ist:
G(b;f )=;,)=; g(b; f, ) <+ -,
oder: G(b;,) -(b; f); f, -) - oo,
jedenfalls also: (b) + o;
auf eS aber gilt (2). Also ist in unserem Punkte a:
c)2(a)=+ 0.
Da dies in jedem Punkte von (S0~- - )~ gilt, so ist auf dem in 2o offenen
Kerne R von (8~- S)0 (Kap. II, ~ 3, S. 71):
(3) (s (a)C=0.
Wir haben nun noch co auf s21 - zu berechnen. In jedem Punkte von
210~ —, um so mehr also in jedem von 21~- 5~ ist o1 oberhalb stetig auf Wo
und daher auch auf o - 350. Also ist nach ~ 6, Satz I in jedem Punkte von
%o - Qo0:
(4) g (a; 0o, o -_ 0)= 0.
Da aber ~f - 8~0 offen in 21~, so ist offenbar:
g (a; c,, 20 - 80) g (a; 2 1o),
so daß (4) für jeden Punkt von ~10 - 53 ergibt:
(5) g(a;, ~)= 0.
Da aber g (a; co, [~) unterhalb stetig auf 1~ ist (Kap. II, ~ 11, Satz II), so
gilt (5) auch in allen Häufungspunkten von 9 - S30, d. h. auf ganz (~0 - 23)0.
Gehört a nicht zu (2e - 53)o, so gibt es eine Umgebung 11(a) von a in o~,
die < V3~. Weil der Punkt a nicht zu dem in 21~ offenen Kern k von (80 - 3)o
gehört, liegen in jeder Umgebung von a Punkte von 3~, die nicht zu (03 - 58)~
gehören. Sei b ein solcher. Es gibt eine Umgebung U (b), die zu S3~- -
fremd. Dann ist 1U(a) * U (b) <, und mithin gilt (2) in allen Punkten von
U(a). (b), und daher ist:
(6) C2(b)=O.
In jeder Umgebung von a liegt also ein Punkt b, in dem (6) gilt, also gilt
wieder (5).
Da nun (5) überall auf 2~1 - gilt, so ist auf 2~ -:
(7) o3 (a)= )c(a; o, 210) ==G (a; 2,, ~10).
Durch (3) und (7) ist 03 auf ganz 210 gegeben. Da 2~0- $ abgeschlossen,
und G(a; o2, 2~0) oberhalb stetig auf 21o, folgt (Kap. II, ~ 9, Satz IV) sofort,
daß auch co3 oberhalb stetig auf ~10, und Satz VI ist bewiesen.
Satz VII. Ist die Funlktion f punktweise unstetig auf W, und
hat sie in keinem Punkte von 21 einen unendlichen Grenzwert
auf 9[1), so ist auf ganz ~0:
cok (a)= - (a) (k = 2, 3...).
D) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im 9.:
1 1
für a + O und +-i (n1, 2,..),
aj C\
f(a)== +-oo für a==O,
n+-1 für a==- (n ==, 2,...
n