Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 10. Funktionen erster und zweiter Klasse. 365
Die Bedingung ist hinreichend. Vermöge der Schränkungsformation
kann f als beschränkt angenommen werden. Ist im Punkte a von S (0) erfüllt,
so gibt es zu jedem e > 0 eine Zahl c und eine Umgebung 1U (a), so daß:
f- c < auf U(a).~.3.
Da die Konstante c von nullter Klasse auf S ist, so ist f im Punkte a für
jedes e > 0 mit der Annäherung e von erster Klasse erweiterbar auf $, d. h.
f ist in a von erster Klasse erweiterbar auf $. Nach ~ 9, Satz XII kann
also f zu einer Funktion höchstens erster Klasse auf 91 erweitert werden, und
Satz IV ist bewiesen.
Wir lassen ein Beispiel einer Funktion folgen, die auf einerMenge B3 von
erster Klasse ist, aber nicht zu einer Funktion erweitert werden kann, die auf
23~ von erster Klasse ist. Sei 21 eine nirgends dichte perfekte Menge des 9i,
und sei e die Menge ihrer Punkte erster Art. Dann ist (Kap. I, ~ 9, Satz IV)
und es ist (Kap. I, ~ 9, Satz III) 53 abzählbar. Wir definieren die Funktion f
auf 3 durch die Vorschrift: f= 1 in den rechten, -- 1 in den linken Endpunkten der zu 2 komplementären Intervalle. Nach Satz I ist f von erster
Klasse auf B3; da aber jede Funktion auf 2, die auf 3 mit f übereinstimmt,
auf 2 total-unstetig ist, kann nach Satz II f nicht zu einer Funktion erster
Klasse auf S erweitert werden.
Satz V. Unterscheidet sich f von einer Funktion
höchstens erster Klasse auf 91 nur in einer abzählbaren
Punktmenge, so ist f von höchstens zweiter Klasse auf 2.
In der Tat, da jede Funktion höchstens erster Klasse auch von
höchstens zweiter Klasse auf 2 ist, ist Satz V für ac 2 enthalten
in Satz VII von ~ 7.
Ist z. B. f= — 1 in allen rationalen, = 0 in allen irrationalen Punkten
des St, so ist f von zweiter Klasse im S1. In der Tat, da f sich
von der stetigen Funktion hO0 nur in den abzählbar vielen rationalen Punkten unterscheidet, ist nach Satz V f von höchstens zweiter
Klasse, und da f total-unstetig ist, kann nach Satz II f nicht von
höchstens erster Klasse sein, ist also wirklich von zweiter Klasse im
li, wie behauptet ).
Ein andres Beispiel einer Funktion zweiter Klasse im WSl ist
dieses: Sei $ eine nirgends dichte perfekte Punktmenge im D9. Die
Funktion h, de = 1 ist auf a und =0 auf 91- - ist, weil oberhalb stetig, von erster Klasse. Daher ist nach Satz V von höchstens
zweiter Klasse die Funktion f, die aus h entsteht, indem man den
1) Es hat keinerlei Schwierigkeit, f explizit durch zweifachen Grenzübergang aus stetigen Funktionen herzustellen, z. B. (nach A. Pringsheim,
Encykl. d. math. Wiss. II A, 7):
f (x) lim (lim cos2n n! xx);
n=o m-O
vgl. hierzu auch L. Galvani, Rend. Lomb. (2) 44 (1911), 947.