Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Einleitung. ~ 2. Die Mächtigkeiten. 7
keit a, 3 eine Menge der Mächtigkeit b. Dann ist, wenn 21 und 2
fremd, a + b die Mächtigkeit von %4+.- Versteht man unter der
Verbindungsmenge von 92 und 23 die Menge aller verschiedenen
paare (a, b), deren erstes Glied a ein Element von 2t, deren zweites
Glied b ein Element von e ist, so ist a.b die Mächtigkeit derVerbindungsmenge'von 2 und 3. Und versteht man unter der Belegungsmenge von 3e mit 92 die Menge aller verschiedenen Belegungen (~ 1, S. 1) von 58 mit Elementen von 52 (d. h. die Menge aller
verschiedenen Abbildungen von 3 in 21), so ist ab die Mächtigkeit
der Belegungsmenge von 3 mit 21.
Aus diesen Definitionen folgen unmittelbar die Sätze:
Satz I. Es gelten die Rechnungsregeln:
a+ =b-+a; a+(b+c)=(a+b)+c;
a.b==b - a; a*(b.c) =(a-b)*c; (a +b) c== a c + — bc;
ab+C ab. b C; (ab)C = a C.; abC = (ab)
Wenn b b', so ist auch:
a+b~a+b'; a b a.b'; abab'; ba > ba.
Eine Menge 2 heißt abzählbar-unendlich, wenn sie gleichmächtig ist der Menge der natürlichen Zahlen. Es gibt dann eine
eineindeutige Zuordnung A der Elemente von 52 zu den natürlichen
Zahlen. Bezeichnet man mit a, das durch A der Zahl n zugeordnete
Element von W, so sieht man, daß jede abzählbar-unendliche Menge
in der Form angeschrieben werden kann:
a l a2., an,.
Umgekehrt ist jede Menge, die in dieser Form angeschrieben werden
kann, abzählbar-unendlich.
Aus der Definition der abzählbar unendlichen Mengen folgt
unmittelbar:
Satz II. Jeder unendliche Teil einer abzählbar-unendlichen Menge ist abzählbar-unendlich.
Da man, wenn aus einer unendlichen Menge endlich viele Elemente
a1, a,..., an herausgegriffen sind, immer noch ein (n + 1)-tes a~,
herausgreifen kann, so hat man:
Satz III. Jede unendliche Menge enthält einen abzählbar-unendlichen Teil.
Die Mächtigkeit der abzählbar-unendlichen Mengen wird mit ^o
bezeichnet. Satz III kann dann auch so ausgesprochen werden:
Satz IV. Unter allen Mächtigkeiten unendlicher Mengen
ist No die kleinste.