Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

390 Die Baireschen Funktionen.
Klasse auf der Verbindungsmenge
=' 92(2) X 2(83) X... X g(k),
und für jedes a' aus 'i stetig auf 92(1) als Funktion von a(l). Also
ist sie nach Satz VII als Funktion von (a(l), a') von höchstens (k - 1)-ter
Klasse auf W21X 2', d. h. es ist f(a(), a2),..., a() von höchstens
(k - 1)-ter Klasse auf I(1l) X f(2)X... X (k), und Satz VIII ist bewiesen.
Wir kehren zurück zur Betrachtung von Funktionen f (a1), a()), die stetig
sind nach aml) für jedes a(2), stetig nach a(2) für jedes a(l). Nach Satz VI ist
eine solche Funktion von höchstens erster Klasse und mithin (~ 10, Satz II)
punktweise unstetig'). Wir können diese Tatsache noch weiter präzisieren.
Wir führen zunächst folgende Definition ein: Ist B3 ein Teil der Verbindungsmenge 2m(1) X gl), so verstehen wir unter der Projektion von 53 in A(1)
die Menge aller in den Punkten (a(1), a(2)) von [3 auftretenden a('). Dann gilt:
Satz IX2). Sei t(1> relativ-vollständig, 2(2) kompakt und abgeschlossen, und sei f(aMl, a(2)) stetig auf %(1) als Funktion von a()
für jedes a(2) aus S2>), beschränkt und stetig auf g(2) als Funktion
von a(2) für jedes a(l aus 5(1). Ist S die Menge aller Punkte (a<',
a(2)), in denen die Schwankung von f auf 2x(1 x 2(2>:
c (a0), a(2); f, t(1) X t(2)) > V
ist (? > 0), so ist die Projektion von 53 in 21') nirgends dicht in '(l).
Sei in der Tat 2(1') ein (nicht leerer) in 2(') offener Teil von 9[(1). Nach
Kap. II, ~ 4, Satz IX gibt es zu jedem a(l) von '(1) ein > 0, so daß:
f (a1), a'(2) - f (a(1), a(<2)) l<, wenn r (a', a"2)).
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Bezeichnen wir mit L,: die Menge aller Punkte von 2((1), in denen P > - gewählt werden kann, so ist:
g)=^ -f+ 2,+...+^+...- *
Hierin können nicht alle 6,: nirgends dicht in 91(1) sein, da sonst (I') von
erster Kategorie in 59[1) wäre, entgegen Kap. I, ~ 8, Satz XVI. Es gibt also
einen nicht leeren, in W(1) (und mithin in W(')) offenen Teil 91() von 2(.t) und
ein 1~g, so daß n, dicht in V(D. Wir behaupten: Es ist
(1) 511< C:, n,.
Angenommen in der Tat, es gäbe in %(1) einen Punkt a(1), der nicht zu (,
gehört. Dann gibt es in E2) zwei Punkte a'(2), a(2), so daß:
{ f(a(), a'(i) - f (a<(), a"(2)) >; r (a'<2), a"(2) <
1) Allgemein ist jede Funktion f(a(l), al2),..., a()), die stetig ist als
Funktion jeder einzelnen ihrer Veränderlichen bei Festhaltung der übrigen,
punktweise unstetig als Funktion von (a(), a2),..., a(k)). Dies wurde für k 3
gezeigt von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 95, allgemein von H. Hahn,
Math. Zeitschr. 4 (1919), 306.
2) R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 94. E.B. Van Vleck, Am. Trans.
8 (1907), 200.