Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~-11. Schranken- u. Grenzfunktionen einer Funktionenmenge. 305
Ist {an} eine Folge aus S9 mit lim a= a, so gibt es wegen der gleichn= oo
gradigen Stetigkeit ein no, so daß:
(2) | f ((an) - (a) f < 2 für n >n o und alle v.
Aus (1) und (2) folgt:
f,(an)<f(a) —+ für nt>n0 und iro,
und somit für jede Indizesfolgo {v,} mit linm v, =+ oo:
n==
lim fv, (a~) _ f(a).
Es ist also gewiß:
r(a; {f}, ) = f(a),
d. h. es ist {f,} oberhalb stetig oszillierend in a auf 2. Ebenso weist
man nach, daß {f,} unterhalb stetig, und mithin auch stetig oszilliert in a
auf 2, wie behauptet.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, es sei 0
nicht gleichgradig stetig in a auf 1. Dann gibt es ein e> 0, eine Punktfolge {an} aus 1 mit lim a,~=a, und eine Funktionenfolge {fv} aus H, so daß:
n=oO
(3) [ f(a,)-f, (a) | e für alle v.
In {f,} gibt es eine Teilfolge {ff}, die in a konvergiert; etwa:
lim fvi (a) --.
=~oo
Wegen (3) liegen fast alle Funktionswerte fv.(a,.) außerhalb (-,- 2-.
Es gilt daher mindestens eine der beiden Ungleichungen:
r(a; {fi ) > ); y (a; {f,j), O) <,
so daß (ff} nicht stetig oszilliert in a auf 21. Damit ist Satz VI bewiesen.
~ 11. Schranken- und Grenzfunktionen einer Funktionenmenge.
Unter der oberen (unteren) Schranke der Funktionenmenge:
im Punkte a verstehen wir die obere (untere) Schranke der Menge
aller Werte, die die Funktionen von - im Punkte a annehmen.
Unter der oberen (unteren) Schrankenfunktion von H verstehen
wir die Funktion, die in jedem Punkte a gleich ist der oberen
(unteren) Schranke von H in diesem Punkte.
Wir nehmen nun einen Schnitt vor in der Menge der reellen
Zahlen, in dessen erste Komponente wir alle reellen Zahlen p aufnehmen, derart, daß
f(a)2p für unendlich viele f aus l.
Die diesen Schnitt hervorrufende Zahl nennen wir die obere Grenze
von H im Punkte a. Unter der oberen Grenzfunktion von 9
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 20