Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 10. Gleichgradig stetige Funktionenmengen. 301
Die beliebige Funktionenmenge i heißt gleichgradig stetig in a auf
9f, wenn die aus ihr durch die Schränkungstransformation entstehende
Funktionenmenge gleichgradig stetig in a auf 51 ist. Es wird daher
genügen, im folgenden alle Beweise nur für beschränkte Funktionenmengen zu führen.
Satz I. Damit die beschränkte Funktionenmenge W
gleichgradig stetig sei in a auf 9, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>0 eine Umgebung U(a) von
a in 5 gebe, so daß:
(00) f(a)-f(a)\<e für alle a' von Ul(a) und alle f von /.
Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, sie
sei nicht erfüllt. Dann gibt es ein e > 0 und für jedes n in U a; -
einen Punkt an von 2 und in: eine Funktion fn, so daß:
I fü (ani)- fü (a) I e.
Da lim a,=-a, ist also: nicht gleichgradig stetig in a auf f.
Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist sie erfüllt, und
ist {a t} eine Punktfolge aus 2f mit lim a = a, so liegen fast alle al
in t (a), und es ist somit wegen (00) auch (0) erfüllt.
Satz II1). Ist die Folge {f,} im Punkte a konvergent,
und sind alle f, stetig in a auf 2f, so ist, damit die von
den f, gebildete Funktionenmenge H gleichgradig stetig sei
in a auf 29, notwendig und hinreichend, daß {f,} stetig
konvergent2) sei in a auf 5f.
Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat {f, (a)} konvergent:
(*) lim f,, (a) =1,
und sei g gleichgradig stetig in a auf 5f. Ist dann {a} eine Punktfolge aus 95 mit lima a=c a, so gibt es ein %l, so daß:
(**) If (a,)- f(a) <e für n > 0 und alle r.
1) C. Arzela, Mem. Bol. (5), 5 (1895), 55; (5), 8 (1899), 176 (Deutsche
Bearbeitung von J. Pohl und Br. Rauchegger, Monatsh. f. Math. 16 (1905),
250). Vgl. auch C. A. Dell' Agnola, Rend. Linc. 19/2 (1910), 106. Satz II
ist, wie die folgenden Sätze dieses Paragraphen, ein allgemeiner Grenzsatz:
M. Frechet, Rend. Pal. 22 (1906), 10.
2) Wegen ~ 3, Satz II, III kann es statt dessen auch heißen: gleichmäßig konvergent.