Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Einleitung. ~ 8. Anordnungssätze. 47
In der Tat, unter Benutzung von Satz V, und von ~ 2 Satz I
und V hat man:
c = (eo) = e o'e = eo = c
c-o - (e0o)so - eo'o - eo - c.
Ferner ist (Satz V, und ~ 2, Satz I),
c eAo < ko < C40 = C,
woraus (~ 4, Satz XXI) No-c folgt.
Diese drei Rechnungsregeln können der Reihe nach in folgende
Sätze gekleidet werden:
SatzXI. Ist k eine natürliche Zahl, so hat die Menge
aller k-gliedrigen Folgen reeller Zahlen (eines beliebigen
Intervalles) die Mächtigkeit c.
Satz XII. Die Menge aller unendlichen Folgen reeller
Zahlen (eines beliebigen Intervalles) hat die Mächtigkeit c.
Satz XIII. Die Menge aller unendlichen Folgen natürlicher (oder rationaler) Zahlen hat die Mächtigkeit c.
Bezeichnen wir in gewohnter Weise jede endliche reelle Zahl,
die nicht rational ist, als irrational, so gilt der Satz:
Satz XIV. Die Menge aller irrationalen Zahlen eines
beliebigen Intervalles hat die Mächtigkeit c.
In der Tat, die Menge aller rationalen Zahlen ist abzählbar,
also haben (~ 2, Satz X) in jedem Intervalle die Menge aller irrationalen Zahlen und die Menge aller Zahlen die gleiche Mächtigkeit, und diese ist c nach Satz VII.
Ganz ebenso beweist man:
Satz XV. Die Menge. aller jener Zahlen eines Intervalles,
die nicht endliche Systembrüche einer gegebenen Grundzahlg sind, hat die Mächtigkeit c.
~ 8. Anordnungssätze.
Wir beweisen -nun einige Anordnungssätze über reelle Zahlen,
Durch Anwendung von ~ 3, Satz I erhalten wir:
Satz. Die Menge aller der Größe nach geordneten
rationalen Zahlen eines Intervalles (a, b):
r' vor r" wenn r'<r"
hat den Ordnungstypus Ö.
Wir haben zu dem Zwecke nur nachzuweisen, daß die betrachtete
Menge die Voraussetzungen von Satz I, ~ 3 erfüllt: Sie ist abzählbar