Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

568 Die meßbaren Funktionen.
In jedes punktfreie Intervall (a, b(t)) von (i in (a, b) setzen wir eine abgeschlossene nirgends dichte Punktmenge (c2 für die:
g1 i(2) ((t a(t~.)).
Für die Vereinigung:
( () + (2) +... (2) +...
gilt dann:
- () 2= A2 b (b) - ()) - 2 (.i) ( - ) A2 (b - a).
v-1
Für die Vereinigung -1 + 2 und ihr Komplement 2 zu [a, b] gilt daher:
8i (- f 2) -= (,2 + (1 - A1) 22) (b - a); t1 (e2) (1 - 2 (1 -,) (b - a)
Indem wir in jedes punktfreie Intervall (a(2)),b()) von 1+ (-2 in (a,b)
eine abgeschlossene, nirgends dichte Punktmenge ((3) des Inhaltes;3 (b(2> a(2)
setzen, die Vereinigung (S3 aller dieser (s) bilden, und weiter so fortfahren,
erhalten wir eine Folge von Mengen @(2,,.,..., so daß:
rt1 (~1+ — 2 +.. * + n) (= 1+ (1- -1) 22 4- (1 — 1) (1 — 22) iß -+ '~
+ (1 - -... (l -,n-_) } (b - a),
während für das Komplement Sn von + ~2. +...- * n zu [a, bl gilt:
/i (fn) - (1 -- (1 --... (1 - n) (b - a).
Wir setzen noch:
= -1 + i+ -.+ + —., L = R = 2 R*Sn ^-.;
dabei können wir leicht erreichen, daß L( dicht in [a, b] wird. Beachten wir
(tt), so erkennen wir unschwer, daß für jedes Teilintervall 3 von [a, b]:
~1 ((E:O 0, Fl (9,t + 0,
wie angekündigt.
Nun definieren wir eine Funktion f in [a, b] durch:
(ttt) f= — auf Zn; f= 1 auf R.
Da C und k, y-meßbar, ist auch f lt-meßbar. Da aber jede zu f äquivalente
Funktion total-unstetig in [a, b] ist, kann es (Kap. V, ~ 10, Satz II) keine zu f
äquivalente Funktion geben, die in [a, b] von höchstens erster Klasse wäre.
Satz XII1). Sei ~ eine Inhaltsfunktion, und sei 1 Vereinigung abzählbar vieler Mengen %S/ von endlichem 9pMaße; sei ferner f p-meßbar2) auf 2. Dann gibt es in 9 eine
monoton wachsende Folge von Teilen {Un}, deren Vereinigung sich von 9 nur um eine Nullmenge unterscheidet,
und auf deren jedem f stetig ist.
1) fI. Borel, C. R. 137 (1903), 966. N. Lusin, C. R. 154 (1912), 1688. (Vorher eine russische Abhandlung, Bull. soc. math. Mosc. 28 (1911), 266ff.).
2) Ist p nur eine gewöhnliche Maßfunktion, so gilt die Behauptung für
alle Baireschen Funktionen.