Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

290 Funktionenfolgen.
Am bekanntesten ist der Fall, daß die n, von m unabhängig
gewählt werden können, etwa = no (vgl. ~ 3, Satz X). Die Bedingung,
die man so erhält, und die hinreichend, aber nicht mehr notwendig ist für die Gültigkeit von (3), ist nun aber notwendig
und hinreichend für die Existenz des zweifachen Grenzwertes
lim am
m oo, n = Do
(in der ja, unter den Voraussetzungen von Satz I, die Gültigkeit
von (3) mit enthalten ist). Es gilt nämlich:
Satz II. Unter den Voraussetzungen von Satz I ist für
die Existenz des zweifachen Grenzwertes:
(11) a= lim a
mn = o, n = oo
notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>0 zwei
Indizes mo und no gebe, so daß:
(12) lar —a I<e für rnmo, n>no.
Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, aus (11) folgt: es
gibt ein min und ein no, so daß:
(13) la -a|<- für nz>m, n>n,.
Durch den Grenzübergang m —>oo folgt daraus:
(14) lan-a _- für n~no.
Aus (13) und (14) aber folgt (12), wie behauptet.
Die Bedingung ist hinreichend. In der Tat, ist sie erfüllt,
so lehrt Satz I das Bestehen des Grenzwertes:
a = lim a;
n = oo
es ist also, wenn no hinlänglich groß:
(15) 1\a- al<e für n~n0..
Aus (12) und (15) aber folgt:
|a^'-al<2e für mrnm, n no,
d. h. das Bestehen von (11). Damit ist Satz II bewiesen.
Von Satz II ist am bekanntesten der Fall, daß no von e unabhängig gewählt werden kann. Es ist dann keinerlei Einschränkung,
no -1 anzunehmen. Man definiert dann: Gilt für jedes n die Be