Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

384 Die Baireschen Funktionen..o ist:
r (a, a') r (a(i), a'b().
2. Es ist stets:
r (a, a') r (a(O), a'()) (i= 1, 2,..., k).
Aus der Dreiecksungleichung folgt dann sofort:
r (a, ') ~ r (a(1), d(a)) + r (a(2), a'()) -.. + r (a(k), a(k)).
Es ist also die Beziehung:
lim (a(t), a(), a(k)) (al), (2),..., a())
n= oo
völlig gleichbedeutend mit den Beziehungen:
lim a)m a; lm a a);...; lim a a(k).
n = O n o o n oo 00
Sei nun f(i) eine Punktmenge aus 1(i) (i - 1, 2,..., k). Die Menge
aller Punkte (0) von 9R, in denen a(i) zu 1(i) gehört (i=, 2,.,, k)
bildet die Verbindungsmenge:
_ (1) X 9(2) X... X (k)
der Mengen W(i). Eine auf einer solchen Menge 2f definierte Funktion
bezeichnen wir mit f(a(l), a(2),..., a(k)). Halten wir alle a(J) mit Ausnahme von a(i) fest, so entsteht eine auf 92(i) definierte Funktion
von a(i).
Bekanntlich können die k so aus f(a( ), a(),..., a(k)) entstehenden
Funktionen eines Punktes a(i) (i -1, 2,..., k) sämtlich stetig sein
auf der betreffenden Menge 9(i), ohne daß f stetig ist auf A. Ein
Beispiel (für k==2) ist das folgende'): Sei
f(x, y) | T X + 'xy für (, y)+ (0, 0)
[ 0 für (, y)==(0, 0).
Dann ist f für jedes feste y eine stetige Funktion von x, für jedes
feste x eine stetige Funktion von y, aber als Funktion von (x, y)
unstetig in (0, 0).
Durch das Verfahren der Verdichtung der Singularitäten (Kap. IV,
~ 12) kann man ohne alle Schwierigkeiten aus f(x, y) Funktionen
bilden, die analoges Verhalten in einer abzählbaren, im 92 der (x, y)
dichten Punktmenge zeigen2).
1) Dabei bedeutet S(1) den S, der reellen Veränderlichen x, (i2) den 9N
der reellen Veränderlichen y, und mithin =-= 9'(1) x t(2) den i, der Punkte
(x, y).
2) Übrigens kann nicht einmal aus der Annahme, es sei f(x, y) stetig
auf jeder Geraden des 12, oder sogar auf jeder analytischen Kurve des a1,