Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

176 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
Die Tatsache, daß p (a) oberhalb stetig ist (Satz III), besagt:
(t) 9 (a)= (a;, ).
Da nach Satz IV stets:
G (a;, 91) G* (a; y7, ),
so haben wir aus (1):
(tt) cp (a) >_ G* (a; f, ~).
Da aber nach Satz V überall auf 9f, abgesehen von einer E-Menge, f(a)< cp (a)
ist, und da bei Bildung von G* es auf die Werte in einer E-Menge nicht
ankommt, so ist auch:
(ttt) f (a)= G* (a; f,~ ) < G* (a; cp, A).
Die beiden Ungleichungen (ft) und (ttt) ergeben:
q (a) = G (a;,u r),
das aber ist die Behauptung.
Die Funktion f heißt im Punkte a stetig auf % bei Vernachlässigung von E-Mengen1), wenn:
-(*) g^ f)=g* (a; f, )= G* (a; f, *)
ist. Sie heißt stetig auf S[ bei Vernachlässigung von E-Mengen, wenn
(*) in jedem Punkte von V9 gilt. - Für solche Funktionen besteht (in Analogie
zu ~ 11, Satz XIII) der Satz:
Satz VII. Ist f stetig auf der separablen Menge?/ bei Vernachlässigung von E-Mengen, so gibt es eine auf 9 stetige Funktion, von der sich f nur in einer E-Menge unterscheidet.
In der Tat, da nach Satz III G* (a; f, 91) oberhalb, g*'(a; f, 1) unterhalb
stetig ist auf 91, so ist, wenn überall auf 21 (*) gilt, der gemeinsame Wert
dieser beiden Funktionen stetig auf 21. Und da nach Satz V f überall, abgesehen von einer E-Menge, gleich diesem gemeinsamen Werte ist, so ist
Satz VII bewiesen.
~ 13. Einseitige Stetigkeit und Halbstetigkeit.
Wir beschäftigen uns noch speziell mit Funktionen, die auf
einer Punktmenge 21 des N definiert sind, d. h. mit Funktionen
einer reellen Veränderlichen. Alle Punktmengen und Funktionen, von
denen in diesem Paragraphen die Rede ist, sind Punktmengen des
'R, und Funktionen einer reellen Veränderlichen.
Jedes Intervall [a, a) bezeichnen wir als eine rechtsseitige,
jedes Intervall (a', a] als eine linksseitige Umgebung des Punktes,a; jedes Intervall (a, a') bzw. (a', a) als eine reduzierte rechtsseitige, bzw. linksseitige Umgebung von a. Das Intervall [a, a — +)
heißt die rechtsseitige Umgebung y von a, das Intervall
[a, a - ] die rechtsseitige abgeschlossene Umgebung y von A[;
analog ist die Definition der linksseitigen (abgeschlossenen) Umgebung 9 von a. Wieder nennen wir die aus einer dieser Umgebungen
durch Weglassen von a entstehende Punktmenge die entsprechende
1) Vgl. hierzu auch H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 185, 189.