Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VIII, ~ 2. Folgen meßbarer Funktionen. 561
Sei nun
(xx) >2 v,
v,n
eine eigentlich konvergente Doppelreihe positivei Zahlen. Wegen (x) kann,
indem man nötigenfalls von der Folge 58y,i, Sv3y,, 2 v,... zu einer Teilfolge übergeht, angenommen werden:
9/(S-W -, n) < V,n.
Setzen wir dann:
en = — 1, 'n 2,"n ' ~v.,n'' *~
so konvergiert auf Sn jede Folge {fv,l} gleichmäßig gegen fv, d. h. in jedem
Punkte von St ist {fv} oberhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend auf En.
Ferner ist:
- __ 3)<,n.
Wegen der eigentlichen Konvergenz der Doppelreihe (xx) ist also:
lim ( - n)== 0.
Damit aber ist Satz XIII bewiesen.
Die Sätze XII und XIII ergeben zusammen:
Satz XIV. Ist 5t von endlichem W-Maße und {fv} eine Folge
auf 9S q9-meßbarer Funktionen, so! gibt es in 9C eine Folge q-meßbarer Teile {(,}, so daß in jedem Punkte von L, die Folge {fv}
sowohl gleichmäßig als auch sekundär-gleichmäßig auf @,~ oszilliert, und so daß:
lim Y (9( - )-,) 0.
In' der Tat, man hat, wenn SW und E3,, dieselbe Bedeutung haben wie
in Satz XII und XIII, nur zu setzen:
Wir beweisen nun noch einen Satz über Doppelfolgen:
Satz XVY). Sei 9 Vereinigung abzählbar vieler Mengen S9,,
(v-==, 2,...) endlichen gq-Maßes, und sei fk,l (k, -= 1, 2,...)
eine Doppelfolge auf 1 99-meßbarer Funktionen. Ist dann
überall auf 2, abgesehen von einer Nullmenge:
(1) f=lim (lim fk, ),
k —=O I=/o
so gibt es in der Doppelfolge der fk,, eine einfache Teilfolge {&f., }, so daß überall auf 2, abgesehen von einer Nullmenge:
f- lim fk, e
1) M. Frechet, Rend. Pal. 22 (1906), 15.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. 1. 36