Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. XXX. Theor. XXIII.

Si recta aB aequalis sit Cycloidis arcui quem corpus oscillando de∣scribit, & ad singula ejus puncta D erigantur perpendicula DK, quae sint ad longitudinem Penduli ut resistentia corporis in arcus pun∣ctis correspondentibus ad vim gravitatis: dico quod differentia inter arcum descensu toto descriptum, & arcum ascensu toto subsequente de∣scriptum, ducta in arcuum eorundam semisummam, aequalis erit areae BKaB a perpendiculis omnibus DK occupatae, quamproxime.

Exponatur enim tum Cycloidis arcus oscillatione integra de∣scriptus, per rectam illam sibi aequalem aB, tum arcus qui de∣scriberetur in vacuo per longitudinem AB. Bisecetur AB in C, & punctum C repraesentabit infimum Cycloidis punctum, & erit CD ut vis a gravitate oriunda, qua corpus in C secundum Tan∣gentem Cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longi∣tudinem Penduli quam habet vis in D ad vim gravitatis. Expo∣natur igitur vis illa per longitudinem CD, & vis gravitatis per longitudinem penduli; & si in DE capiatur DK in ea ratione ad

longitudinem penduli quam habet resistentia ad gravitatem, erit DK exponens resistentiae. Centro C & intervallo CA vel CB construatur semicirculus, BEeA. Describet autem corpus tem∣pore quam minimo spatium Dd, & erectis perpendiculis DE, de circumferentiae occurrentibus in E & e, erunt haec ut velocitates quas corpus in vacuo, des∣cendendo

[illustration]

a puncto B, ac∣quireret in locis D & d. Patet hoc per Prop. LII. Lib. I. Exponantur ita{que} hae velocitates per per∣pendicula illa DE, de; sitque DF velocitas quam acquirit in D cadendo de B in Medio resistente. Et si centro C & intervallo CF describatur circulus FfM occurrens rectis de & AB in f & M, erit M locus ad quem deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, & df velocitas quam acquireret in d. Unde etiam si Fg designet ve∣locitatis momentum quod corpus D, describendo spatium quam minimum Dd, ex resistentia Medii amittit, & sumatur CN ae∣qualis Cg: erit N locus ad quem corpus deinceps absque ulteri∣ore resistentia ascenderet, & MN erit decrementum ascensus ex velocitatis illius amissione oriundum. Ad df demittatur perpen∣diculum Fm, & velocitatis DF decrementum fg a resistentia DK genitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementum fma vi CD genitum, ut vis generans DK ad vim generantem CD. Sed & ob similia triangula Fmf, Fhg, FDC, est fm ad Fm seu Dd, ut CD ad DF, & ex aequo Fg ad Dd ut DK ad DF. Item Fg ad Fh ut CF ad DF; & ex aequo perturbate Fh seu MN ad Dd ut DK ad CF. Sumatur DR ad ½ aB ut DK ad CF, & erit MN ad Dd ut DR ad ½ aB; ideoque summa om∣nium MN×½ aB, id est Aa×½ aB, aequalis erit summae omnium Dd×DR, id est areae BRrSa, quam rectangula omnia Dd×DR

seu DRrd componunt. Bisecentur Aa & aB in P & O, & erit ½ aB seu OB aequalis CP, ideoque DR est ad DK ut CP ad CF vel CM, & divisim KR ad DR ut PM ad CP. Ideoque cum punctum M, ubi corpus versatur in medio oscillationis loco O, in∣cidat circiter in punctum P, & priore oscillationis parte versetur inter A & P, posteriore autem inter P & a, utroque in casu ae∣qualiter a puncto P in partes contrarias errans: punctum K cir∣ca medium oscillationis locum, id est e regione puncti O, puta in V, incidet in punctum R; in priore autem oscillationis parte jacebit inter R & E, & in posteriore inter R & D, utroque in casu aequaliter a puncto R in partes contrarias errans. Proinde area quam linea KR describit, priore oscillationis parte jacebit extra aream BRSa, posteriore intra eandem, idque dimensio∣nibus hinc inde propemodum aequatis inter se; & propterea in casu priore addita areae BRSa, in posteriore eidem subducta, re∣linquet aream BKTa areae BRSa aequalem quam proxime. Ergo rectangulum Aa×½ aB seu AaO, cum sit aequale areae BRSa, erit etiam aequale areae BKTa quamproxime. Q.E.D.

Corol. Hinc ex lege resistentiae & arcuum Ca, CB defferentia Aa, colligi potest proportio resistentiae ad gravitatem quam proxime.

Nam si uniformis sit resistentia DK, figura aBKkS rectan∣gulum erit sub Ba & DK, & inde rectangulum sub ½ Ba & Aa. aequalis erit rectangulo sub Ba & DK, & DK aequalis erit ½ Aa. Quare cum DK sit exponens resistentiae, & longitudo penduli ex∣ponens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut ½ Aa ad longi∣tudinem Penduli; omnino ut in Propositione XXVIII. demon∣stratum est.

Si resistentia sit ut velocitas, Figura aBKkS Ellipsis erit quam proxime. Nam si corpus, in Medio non resistente, oscillatione integra describeret longitudinem BA, velocitas in loco quovis D foret ut circuli diametro AB descripti ordinatim applicata DE. Proinde cum Ba in Medio resistente & BA in Medio non resi∣stente, aequalibus circiter temporibus describantur; adeoque ve∣locitates

in singulis ipsius Ba punctis, sint quam proxime ad velo∣citates in punctis correspondentibus longitudinis BA, ut est Ba ad BA; erit velocitas DK in Medio resistente ut circuli vel El∣lipseos super diametro Ba descripti ordinatim applicata; adeo∣que figura BKVTa Ellipsis, quam proxime. Cum resistentia velocitati proportionalis supponatur, sit OV exponens resistentiae in puncto Medio O; & Ellipsis, centro O, semiaxibus OB, OV de∣scripta, figuram aBKVT, eique aequale rectangulum Aa×BO, aequabit quam proxime. Est igitur Aa×BO ad OV×BO ut area Ellipseos hujus ad OV×BO: id est Aa ad OV ut area se∣micirculi, ad quadratum radii sive ut 11 and 7 circiter: Et prop∣terea: 7/11 Aa ad longitudinem penduli ut corporis oscillantis re∣sistentia in O ad ejusdem gravitatem.

Quod si resistentia DK sit in duplicata ratione velocitatis, fi∣gura BKTVa Parabola erit verticem habens V & axem OV, ideoque aequalis erit duabus tertiis partibus rectanguli sub Ba & OV quam proxime. Est igitur rectangulum sub ½ Ba & Aa aequale rectangulo sub ⅔ Ba & OV, adeoque OV aequalis ¾ Aa, & propterea corporis oscillantis resistentia in O ad ipsius gravita∣tem ut ¾ Aa ad longitudinem Penduli.

Atque has conclusiones in rebus practicis abunde satis accura∣tas esse censeo. Nam cum Ellipsis vel Parabola congruat cum∣figura BKVTa in puncto medio V, haec si ad partem alteru∣tram BKV vel VTa excedit figuram illam, deficiet ab eadem ad partem alteram, & sic eidem aequabitur quam proxime.