To the extent possible under law, the Text Creation Partnership has waived all copyright and related or neighboring rights to this keyboarded and encoded edition of the work described above, according to the terms of the CC0 1.0 Public Domain Dedication (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/). This waiver does not extend to any page images or other supplementary files associated with this work, which may be protected by copyright or other license restrictions. Please go to http://www.textcreationpartnership.org/ for more information.
Posito quod corpus in Cycloide oscillans resistitur in duplicata ra∣tione velocitatis: invenire resistentiam in locis singulis.
Sit Ba (Fig. Prop. XXV.) arcus oscillatione integra descriptus, sitque C infimum Cycloidis punctum, & CZ semissis arcus Cycloi∣dis totius, longitudini Penduli aequalis; & quaeratur resistentia cor∣poris in loco quovis
PITC ut arcus BC descensu corporis descriptus ad arcum Ca as∣censu descriptum, & area IEF ad aream ILT ut OQ ad OC. Dein perpendiculo MN abscindatur area Hyperbolica PINM quae sit ad aream Hyperbolicam PIEQ ut arcus CZ ad arcum BC descensu descriptum. Et si perpendiculo RG abscindatur a∣rea Hyperbolica PIGR, quae sit ad aream PIEQ ut arcus qui∣libet CD ad arcum BC descensu toto descriptum: erit resisten∣tia in loco D ad vim gravitatis, ut area OR / OQ IEF−IGH ad aream PIENM.
Nam cum vires a gravitate oriundae quibus corpus in locis Z, B, D, a urgetur, sint ut arcus CZ, CB, CD, Ca, & arcus illi sint ut areae PINM, PIEQ, PIGR, PITC; exponatur tum arcus tum vires per has areas respective. Sit insuper Dd spatium quam minimum a corpore descendente descriptum, & exponatur idem per aream quam minimam RGgr parallelis RG, rg com∣prehensam; & producatur rg ad h, ut sint GHhg, & RGgr contemporanea arearum IGH, PIGR decrementa. Et areae OR / QR IEF−IGH incrementum GHhg−Rr / OQ IEF, seu Rr×HG−Rr / OQ IEF, erit ad areae PIGR decrementum RGgr seu Rr×RG, ut HG−IEF / OQ ad RG; adeoque ut OR×HG−OR / OQ IEF ad OR×GR seu OP×PI: hoc est (ob aequalia OR×HG, OR×HR−OR×GR, ORHK−OPIK, PIHR & PIGR+IGH) ut PIGR+IGH−OR / OQ IEF ad OPIK. Igitur si area OR / OQ IEF−IGH dicatur Y, atque areae PIGR decrementum RGgr de∣tur, erit incrementum areae Y ut PIGR−Y.
Quod si V designet vim a gravitate oriundam arcui describen∣do CD proportionalem, qua corpus urgetur in D; & R pro resi∣stentia ponatur: erit V−R vis tota qua corpus urgetur in D,
adeoque ut incrementum velocitatis in data temporis particula factum. Est autem resistentia R (per Hypothesin) ut qua∣dratum velocitatis, & inde (per Lem. II.) incrementum resi∣stentiae ut velocitas & incrementum velocitatis conjunctim, id est ut spatium data temporis particula descriptum & V−R conjun∣ctim; atque adeo, si momentum spatii detur, ut V−R; id est, si pro vi V scribatur ejus exponens PIGR, & resistentia R ex∣ponatur per aliam aliquam aream Z, ut PIGR−Z.
Igitur area PIGR per datorum momentorum subductio∣nem uniformiter decrescente, crescunt area Y in ratione PIGR−Y, & area Z in ratione PIGR−Z. Et propterea si areae Y & Z simul incipiant & sub initio aequales sint, hae per additio∣nem aequalium momentorum pergent esse aequales, & aequali∣bus itidem momentis subinde decrescentes simul evanescent. Et vicissim, si simul incipiunt & simul evanescunt, aequalia habe∣bunt momenta & semper erunt aequales: id adeo quia si resisten∣tia Z augeatur, velocitas una cum arcu illo Ca, qui in ascensu corporis describitur, diminuetur; & puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius accedente ad punctum C, re∣sistentia citius evanescet quam area Y. Et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur.
Jam vero area Z incipit desinitque ubi resistentia nulla est, hoc est, in principio & fine motus, ubi arcus CD, CD arcubus CB & Ca aequantur, adeoque ubi recta RG incidit in rectas QE & CT. Et area Y seu OR / OQ IEF−IGH incipit desinitque ubi nulla est, adeoque ubi OR / OQ IEF & IGH aequalia sunt: hoc est (per con∣structionem) ubi recta RG incidit in rectam QE & CT. Pro∣indeque areae illae simul incipiunt▪ & simul evanescunt, & propte∣rea semper sunt aequales. Igitur area OR / OQ IEF−IGH aequa∣lis est areae Z, per quam resistentia exponitur, & propterea est ad aream PINM per quam gravitas exponitur, ut resistentia ad gra∣vitatem. Q.E.D.
Corol. 1. Est igitur resistentia in loco infimo C ad vim gravi∣tatis, ut area OP / OQ IEF ad aream PINM.
Corol. 2. Fit autem maxima, ubi area PIHR est ad aream IEF ut OR ad OQ. Eo enim in casu momentum ejus (nimirum PIGR−Y) evadit nullum.
Corol. 3. Hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis: quippe quae est in dimidiata ratione resistentiae, & ipso motus initio aequatur velocitati corporis in eadem Cycloide absque om∣resistentia oscillantis.
Caeterum ob difficilem calculum quo resistentia & velocitas per hanc Propositionem inveniendae sunt, visum est Propositio∣nem sequentem subjungere, quae & generalior sit & ad usus Phi∣losophicos abunde satis accurata.