De arte supputandi libri quattuor Cutheberti Tonstalli

CVTHEBERTI TONSTALLI IN LIBRVM TERTIVM PRAEFA∣TIO.

POSTQVAM, TAM IN INTEGRIS {quam} in partium minutijs, omnem supputādi rati∣onem explicauimus: superest: ut studiosis pau∣lulum aperiamus: quantum ea conferat ad uitam degen∣dam. Numeros namque ipsos per se consyderandos ha∣ctenus exposuimus. quae res auspicantibus parum uo∣luptatis afferre uidebatur. Nūc eos ad res numeratas ap∣plicantes artem ipsam pandemus per artis opificiū. Qua de re: dici non potest: utrum maior capietur utilitas, an uoluptas: quādo ea, quae scire pernecessarium est: et rudi populo uelut ęnigmata uidentur: sine Sphinge solui pos∣sunt. Ad quae peruestiganda regulas quasdam perutiles trademus: quibus nonnulla quaesitu difficilia, quae{que} pri∣ma facie supra humani ingenij captū rudibus uideri pos∣sunt: facile inueniantur. Ex quibus altius intellectis, plu∣rima alia similia nullo negocio deprehendi queant. Eius∣modi autem attingere pręcipue est animus: cuiusmodi in uita saepius occurrunt. {quam}{quam} his tortuosa quaedam, et quae latentes anfractus habeant: ad maiorem ingeniorum ex∣ercitationem admiscebimus. Verum enimuero qui nume∣rorum nodos explicare cupit: quaestione quapiam pro∣posita, non temere ante respondere debet: {quam} secū alte rem consyderauit. Nam qui alio qui linqua {quam} ingenio promp∣tior

〈1 page duplicate〉〈1 page duplicate〉

〈1 page duplicate〉〈1 page duplicate〉

quicquid incōfyderate in mentem uenit: stolide mox blaterat: praeter{quam} {quod} aberrat a scopo: ridiculus existima∣tur. Caeterum illud admonere lectorem operaeprecium putamus: ut nisi prius teneat: quomodo tam integra {quam} minutias supputet: ne hoc libello legendo sese tor∣queat. At si illis pernotis, hunc in manus su∣mat: cuncta tum facilia, tum iu∣cunda spondemus. Sed rem aggredia∣mur.

REGVLA DE TRIBVS NOTIS QVARTVM IGNOTVM COMMONSTRAN∣TIBVS.

PRAECIPVA OMNIVM REGVLA EST: quae de tribus notis quartum ignotum in noticiam educentibus, ab Arithmeticis traditur. Vulgus regulam auream uocat: {quod} haec caeteris Arithmeticae regulis: uelut caeteris metallis aurum: praestet. quam, ut clarius expli∣cemus: pauca quaedam de proportione, quatenus ad nu∣meros attinet: pręfari omnino necesse est. sine quibus hęc regula non facile intelligi potest.

PROPORTIO EST DVORVM NVMERO∣rum certa alterius ad alterum comparatio, at{que} habitudo. Propositis nam{que} quibusuis duobus numeris, alter altero uel maior est: uel aequalis: uel minor. Illa ita{que} ratio, qua sese, uel aequaliter, quando existunt aequales: mutuo re∣spiciunt: uel inaequaliter, quando alter altero maior est: aut minor: proportio uocatur. quae nihil aliud est: {quam} eo∣rum inter se comparatio. Habitudo autem certa est: qua∣si diceres: notus quidam et diffinitus alterius numeri ad alterum respectus.

IPSARVM uero proportionū inter se similitudo pro∣portionalitas nuncupatur. Eius autem duae sunt species. altera continua. altera separata.

CONTINVA proportionalitas inter numeros est: quando qua proportione primus se habet ad secundum:

eadem, secundus se habet ad tertium. in qua specie unus at{que} idem numerus medius ita duobus circa se positis nu∣meris communicat: ut ad praecedentem comparatus pri∣mae proportionis sit terminus: ad sequentem uero colla∣tus, secundę sit initium: ueluti pręcedentis numeri comes quidam, et sequentis dux. Haec autem species in paucio∣ribus numeris {quam} in tribus inueniri non potest. {quam}{quam} etiam in illis numerus medius, dum bis repetitur: uicem subit duorum. Sint nobis pro exemplo hi tres numeri. unum. duo. quatuor. in his enim proportionum est aequalitas. Nam qua proportione unum se habet ad duo: eadem, se habent duo ad quatuor. quippe unum ad duo compara∣tum subduplum est. itidem{que} duo ad quatuor. Similis e conuerso est inter eos habitudo: quando in utraque pro∣portione numerum maiorem ad suum minorem compa∣ramus. Nam quemadmodum quatuor ad duo duplam habent proportionem: sic duo ad unum dupla sunt.

SEPARATA uero proportionalitas est: quam ean∣dem disiunctam appellare licet: cum quatuor numerorū, qua proportione primus se habet ad secundum: eadem, tertius se habet ad quartū. In qua specie pręcedentis pro∣portionis terminus separatus est a sequentis initio. Haec autem species in paucioribus numeris {quam} in quatuor inue∣niri nequit. in quibus proportionū deprehenditur aequa∣litas: siue minorem utrius{que} proportionis numerum cum suo ipsius maiore compares: siue e conuerso. Puta si quis hos quatuor numeros inter se conferre uelit: nempe duo ad quatuor. et tria ad sex. Quemadmodum enim duo ad quatuor cōparata subdupla sunt: sic sunt tria ad sex colla∣ta.

Similiter e conuerso, quemadmodum quatuor ad duo collata dupla sunt: sic sunt sex ad tria cōparata. Amplius in hac specie permutatim fit collatio. Nam qua propor∣tione primus se habet ad tertium: eadem, secundus se ha∣bet ad quartum. At{que} ordine etiam cōuerso, qua propor∣tione quartus se habet ad secundum: eadem, tertius se ha∣bet ad primum. Quo fit: ut praecedentis proportionis minor numerus cum sequentis minore comparatus ean∣dem habitudinem habeat: quam sequentis maior collatus cum pręcedentis maiore. Veluti in exemplo praedicto. si∣cut primus numerus binarius ad tertium ternarium colla∣tus subsesquialteram proportionem habet: sic secundus numerus quaternarius ad quartū senarium eadem est ha∣bitudine. Itidem ordine conuerso, quemadmodum quar∣tus numerus senarius ad secūdum quaternariū compara∣tus sesquialteram habet proportionem: sic tertius terna∣rius ad primum binarium eandem habitudinem habet. Ita{que} numeri huiusmodi: quorum una est proportio: pro∣portionales uocantur. De quibus ab EVCLIDE cum in Geometria tum in Arithmetica longe principe regula huiusmodi traditur.

SI FVERINT QVATVOR NVMERI PRO∣portionales: quod ex ductu primi in ultimū producetur: aequale comperietur ei: quod ex secundi in tertium ductu natū erit. At{que} itidem, quod ex secundi in tertium ductu procreabitur: aequale erit ei: quod prodibit ex primi in ul∣timum ductu. Dici non potest: quantam inuestiganti∣bus lucem ad exquirenda incognita praebeat haec regula. cuius ea uirtus est: ut e quatuor numeris {pro}portionalibus

si quis ignotus fuerit: caeteri, qui noti sunt: latitantem il∣lum prodāt. At{que} ideo si tribus numeris propositis, quis∣piam inuestigare uelit: quis sit quartus: ad quem tertius ea proportione se habeat: qua primus ad secūdum: mul∣tiplicet secundum in tertium: et numerum procreatum di∣uidat per primum. quod post{quam} factum erit: sectionis nu∣merus quartum demonstrabit. Exempli gratia▪ si quis sci∣re cupit: quis sit ille numerus: ad quem tria ea proportio∣ne se habeant: qua duo ad quatuor? tria in quatuor ducat: et enascentur duodecim. quae per duo diuidat: et sex pro∣dibunt. Ratio huius rei in promptu est. nam secūdi in ter∣tium multiplicatio producit idem: quod procrearetur: si primus in quartum ignotū multiplicaretur. Igitur ex se∣cūdi in tertium ductu, quartum uelut in magna turba la∣titantem habemus: sed quis sit, adhuc ignoramus. Diui∣sio autem per primū facta reliquam, qua tectus est: mul∣titudinem ab eo segregat: solum{que} relinquit: at{que} a caete∣ris destitutum e latebris in lucem profert. Nam quando∣cū{que} duo numeri inter se multiplicātur: si productus nu∣merus per alterum diuidatur: partitionis numerus alterū continebit. Veluti si duo in tria ducas: fient sex. quae si per duo diuidas: numerus partitionis tria continebit. si per tria: duo. Ita{que} ad hunc modum quartus numerus igno∣ratus exquiritur.

SIMILITER SI TRES NVMERI CON∣tinue proportionales fuerint: quod ex ductu primi in ter∣tium producetur: aequale deprehendetur ei: quod ex se∣cundi in se ipsum ductu natum erit. Et quod ex secundi in seipsum ductu generabitur: ęquale erit ei: quod nascetur

ex primi in tertium ductu. ad eundem{que} modum tertius numerus ignotus exquiritur: dum secundus numerus in seipsum ducitur: et numerus productus diuiditur per pri∣mum: nam sectionis numerus tertium monstrabit. puta si quis duo ad quatuor comparans scire cupit: quis sit ter∣tius numerus: ad quem quatuor ea proportione se habe∣ant: qua duo ad quatuor? medium numerum, quatuor in se ipsum ducat: et sexdecim creabit. quę per duo diuidat: qui primus est numerus: et tertius numerus octonarius prodibit. Eadem nam{que} est in utra{que} specie, et ratio, et re∣gula, numerum ignotū exquirendi. quod ad plurima in∣uestiganda nosse iuuabit.

HAS proprietates numeri proportionales, vbicum{que} oceurrunt, semper secum deferunt: non solum, quando per se consyderantur: uerumetiam cum ad res quaslibet numerandas applicantur: ut eadem ex accidenti in rebus numeratis: quae in numeris ipsis: inuicem sit habitudo. Quo fit: ut innumera, quae uulgus imperscrutabilia ex∣istimat: ex proportionum similitudine ueniant in notitiā: miraculum{que} rudibus explicata praebeant.

ETVT a facilibus exemplis primū ordiamur. Quando tritici modij tres triginta nūmis uęneunt: inuestigemus: octo modiorū tritici quantū erit preciū? Hic palam uide∣mus duas esse proportiones. unā de tribus tritici modijs ad octo tritici modios. Alteram de triginta nummis, tri∣um modiorū precio cognito, ad octo modiorū preciū ad∣huc ignoratū: quod eadē habitudine ad triginta nūmos respondere debet: qua octo modij ad tres modios se ha∣bent. In omnibus autem proportionibus in ordinem de∣signandis,

a sinistra incipientes tendimus in dextrā: quē∣admodū in scribendo Graeci, Latini, et omnes pene gen∣tes faciunt. Non autem sicut in numeris per notas signā∣dis Chaldeos sequimur a dextra ordientes. Ita{que} in hoc exemplo. tres tritici modij, qui prioris sunt proportionis initium: a sinistra primum locum occupare debent. Octo autem tritici modij, qui prioris sunt proportionis finis: lo∣cum secundum dextram uersus. Triginta autem nummi, qui posterioris proportionis initium existunt: tertium lo∣cum a dextra teneant: oportet. 〈 math 〉〈 math 〉

Quartus autem locus adhuc uacans expectat: ut simili fine proportio posterior claudatur: precium{que} in eo repo∣natur: quod ita ad triginta nummos respondeat: quem∣admodū ad tres modios modij octo. Id autem per regulā supra enarratam facile exquiras: si tertium numerum per secundum multiplices: numerum{que} procreatum diuidas per primum. Igitur triginta, quae sunt in tertio loco: mul∣tiplicata per octo, quae sunt in secundo: creant ducenta et quadraginta. quae, si per tria diuidantur: numerus secti∣onis octuaginta profert. qui numerus precium octo mo∣diorum indicat, et quarto loco repositus proportionem posteriorem complet. Sic quando tritici tres modij tri∣ginta nummis uęneunt: octo constabunt octuaginta nū∣mis.

AD HVIVS EXEMPLI SIMILITVDI∣nem, quandocum{que} in rebus numeratis ratione numero∣rum duae proportiones habentur: quarum alterius utrū{que} extremum tam initium, a quo incipit: {quam} terminū, in quo

desinit: cognoscimus. Alterius autem primum. extremū, quod eius initium est: scimus: sed eius terminum adhuc ignoramus: prioris initium proportionis: cuius ambo ex∣trema nota sunt: a sinistra primo loco ponamus. eius au∣tem terminum secundo loco dextram uersus. posterioris uero proportionis initium, quod est notum: tertio loco notemus. et tum demum eius terminum ad prioris pro∣portionis similitudinem initio suo responsurum, secundū regulam paulo ante monstratam, inuestigeinus. Initium proportionis (ne quis ambigat) appello eum rerum nu∣merum: qui prior in proportione pręcedit: siue maior ex∣titerit: siue minor. terminum uero eum: qui sequitur: siue minor, siue maior fuerit. Ita{que} si posterioris proportionis initium: quod est notum: numerus minor fuerit: {quam} quar∣tus inuestigandus: minor etiam numerus in priori pro∣portione pręcedet. At si posterioris proportionis initium nobis notum numerus maior existat: maior itidem in pri∣ori antecedet. Similiter si maior rerum numerus in priori proportione praecedit: maior etiam in posteriori antece∣dat: necesse est. Sin in priori pręcedat minor: itidem in po∣steriori fiet. Alioqui proportiones similes non erunt.

ILLVD autem diligenter obseruandum est: ut {quam}uis prior proportio res unius speciei, posterior autem res al∣terius capiat: primus tamen a sinistra situs numerus, qui prioris proportionis est initium: et secundus a dextra po∣situs, qui finem eius complet: res eiusdem speciei numera∣re debeant. Similiter{que} tertius numerus notus, qui pro∣portioni posteriori dat initium: et quartus inuestigādus, qui finem eius inuentus claudet: in eiusdem speciei rebus

numerandis consentiant. quae res ad formādas recte pro∣portionum similitudines plurimum iuuabit. Veluti in ex∣emplo iam dato. in quo prior proportio est de tribus mo∣dijs ad octo modios. posterior autem de triginta nūmis ad precium octo modiorum inuestigandum. Id{que} uerum erit: ut primus et secundus numerus eiusdē speciei res nu∣merent: et similiter tertius et quartus inter se respondeāt, non solum in recta proportionum similitudine: quando sicut primus comparatur ad secundū: sic tertius ad quar∣tum: uerumetiam in similitudine proportionum conuer∣sa. quando sicut secundus comparatur ad primū: sic quar∣tus ad tertium. Cęterum si permutatim proportiones ue∣lis comparare, nempe prioris initium ad initium posteri∣oris: et terminum prioris ad posterioris tetminum: tunc primus et tertius numerus eiusdē speciei res numerabunt, et tertius et quartus itidem facient. veluti si in exēplo da∣to, compares tres modios ad triginta nummos: et octo modios ad precium inuestigandum. Quem modum simi∣litudinem proportionum fabricandi, tametsi sit difficilior: pleri{que} omnes qui supputare docent: magis nunc obser∣uant. quippe qui faciliorem modum rectam proportionū similitudinem formandi ignorent. Et ad permutatam cō∣parationem sequendam, incitati uidentur a mercatorum more: qui omnia pecunia ęstimant: quaerunt{que} inter se: quanti merces quaelibet uendantur? quid {pro} singulis: quid pro uniuersis sit soluendum? comparationem aliarum re∣rum plurimum ad pecuniam, nonnun{quam} ipsarum inter ip∣sas facientes. Verumtamen utramcum{que} uiam sequare: re∣gula iam data respondebit. quae, siue recta, siue permuta∣ta

proportionum comparatio fiat: semper cum ea congru∣et. Nobis autem uisum est iuuenum instituendorum gra∣tia, in singulis sequentibus questionibus solum rectam proportionum comparationem, in qua quae{que} proportio ambo sua extrema eiusdem speciei habet: ut intellectu fa∣ciliorem, et magis naturalem sequi. ne si utram{que} in singu∣lis: quod nihil necesse est: insereremus: fastidium obori∣retur legentibus. Quamobrem ante omnia multa cauti∣one est opus: ne in rebus numeratis proportionum simi∣litudo: quae ratione numerorum cōsyderatur: male sit cō∣cepta: neue pro similitudine dissimilitudo nos fallat. At post{quam} recta proportionum similitudo cogitatione depre∣hensa est: caetera per datam regulam facile explicantur.

PORRO vulgus in communi sermone fere de nume∣ro inuestigando primum quaerit. veluti si quispiam inter∣roget. quanti constabunt tritici modij quatuor: quando centum uenduntur mille nummis? Hanc interrogationē consyderantes, in ea proportiones duas statim deprehen∣demus. alteram inter centum modios et quatuor modios, habentem notum utrum{que} extremū. alteram inter mille nummos et quatuor modiorum precium adhuc ignora∣tū. Igitur nihil respicientes ordinē quaerentis vulgi: quod semper quidlibet: ut in buccam uenerit. loquitur: nobiscū consyderemus proportionem illam inter centum modios et quatuor modios, quam uulgus cum altera confundit: ambo extrema nota habere: at{que} ideo alteri praeponendā esse. Alteram autem proportionem, de mille nummis ad precium adhuc ignoratum posteriorem fore debere: cu∣ius initium notum, quia maior existit numerus: {quam} quar∣tus

inuestigandus: maior itidem numerus in priori pro∣portione praecedet. quocirca primo loco maiorem prioris numerum, nempe centum notemus. eius autem minorem numerum, quatuor, loco secundo. tertio uero loco signe∣mus posterioris: initium notum. uidelicet mille. 〈 math 〉〈 math 〉

Hac ratione proportiones in ordinem aptantes secundū datam regulam mille per quatuor multiplicemus, et pro∣dibunt quatuor millia, quae per centū secta faciunt in nu∣mero partitionis quadraginta, qui numerus est quaesitus.

IN HOC autē exemplo, si cui permutatā proportionū similitudinem sequi magis placet: sic eas cōparabit. Sicut centum modij se habent ad mille nūmos: sic quatuor mo∣dij ad precium inuestigandū. vt tertio loco numerus me∣dius ponatur: tertius{que} numerus in loco medio. tantilla enim differentia est inter rectam proportionū similitudi∣nem, et permutatam. Verū tamen siue hanc siue illam cō∣parationē sequi libet: nihil respiciemus ad ordinem quae∣rentis uulgi. Quin potius ad huius exempli formam alia tortuose quaesita ad rectam proportionū similitudinē co∣gitando reduci possunt.

HIS DVOBVS exemplis in utra{que} proportione res uęnales praecesserunt: precium uero sequutūest: de quo fuit quaestio. Nunc exemplum petamus: ubi praecedat precium: quaestio autem de rerū uęnalium numero sequa∣tur. Quando octuaginta nūmis tritici modij octo emun∣tur: quot haberi possunt pro triginta nūmis? Hic manife∣ste sunt duae proportiones. Altera de. 80. nūmis adnū∣mos. 30. Altera de octo modijs ad numerū modiorum

inuestigandū. Et quia in posteriori proportione numerus modiorum notus maior est: {quam} is qui inuestigatur. preciū quod est maius octuaginta nūmorū in priore proportio∣ne primū locū tenet. minor{que} nūmorū numerus secundū tertiū autem occupat octo modiorū numerus: qui est no∣tus. Quaestio{que} fit de numero modiorum ignoto. Digestis igitur in ordinem numeris, ad hunc modum. 〈 math 〉〈 math 〉

triginta per octo multiplicentur: et surgent ducenta qua∣draginta, quae si per octuaginta sint secta: numerus secti∣onis tria continebit. sic quando nūmi octuaginta reddūt octo modios: triginta nūmi afferent modios tres. Ita si primū exemplum supra datum cum hoc conferas: tam il∣lius proportionū loca, {quam} earū extrema ipsa, conuersa esse in hoc exemplo uidebis. qui illic quartus numerus erat: hic primus est. qui illic tertius: hic secundus. qui illic se∣cundus: hic tertius. qui illic primus: hic quartus et po∣stremus. quae{que} illic proportio erat prior: hic posterior re∣peritur: ut facile cuiuis appareat res numeratas rationem numerorum etiam conuersorū sequi: nihil{que} referre: quae res numerentur: dummodo proportio illa cuius in rebus numeratis ambo extrema sunt nota: pręcedat: illa{que}, cuius initium solum notū est: sequatur.

ATQVE IDEO SI QVIS EXPERIRI CV∣pit: an in quarti numeri inuestigatione error sit admissus: hac ratione idfacile deprehend et: ut in proportionū com∣paranda similitudine, ambarum sedes at{que} etiam extrema ipsa conuertat. ueluti in exemplo iam dato: quod omnia primo contraria habet. Vel si magis libet. sedes earū solas

mutet: posteriorē{que} ex priori faciat; at{que} ex posterioi pri∣orem. Quippe mutatis proportionū simul locis, at{que} ex∣tremis: uel etiam locis solis: si nihil erratum erit: necesse est eorum numeros sedes mutatas sequi. quare si alij nu∣meri in his inuenti fuerint: propter errorem calculi totum opus ab initio repetendum est. Mercatorum uulgus su∣mens experimentum, nū quis error interuenerit: hane lo∣corum in proportionibus mutationem, regulam de tribus conuersam, uocat: cum una tantum sit regula: secundum quam cui{que} licet: quam uelit quaestionem, explicandam proponere.

{QUOD} SI QVANDO eueniat: ut rerum numerus ex se∣cundi in tertium ductu {pro}ueniens numero diuisore sit mi∣nor: sectionem{que} non ferat: tū numerus ille minor in nu∣merum partium in se contentarū est multiplicandus: ut diuisoris sectionem maior per incrementū factus recipere sufficiat. Consyderandum{que} est: quale rerum genus nu∣merus ille numerat. puta an argenti libras, aut aureos, qui in nūmorum: quibus aestimantur: numerum multiplica∣ri possunt. an maiora pondera: quae in numerum librarū, aut unciarum duci. an dolia uini, aut olei: quę in anpho∣ratum, congiorum, aut sextariorum numerum multipli∣cari. An iugera: quae in perticarum aut pedum numerum ducta augeri possunt. vel quic{quam} aliud simile. Exemplum huius rei afferamus. Centum oues emptae sunt aureis ui∣ginti: quanti constiterunt tres? Proportionibus recte in ordinem redactis ad hunc modum. 〈 math 〉〈 math 〉

Secundus numerus ternarius in tertium uiginti aureorū

ductus creabit sexaginta. qui numerus, quoniam per cen∣tum diuidi nequit: soluamus aureos illos in uiliorem pe∣cuniam. et quoniam singuli aurei (de angelis nūcloquor) aestimantur octuaginta nūmis: in illum nūmorū numerū aureos uiginti ducamus. et prodibunt quatuor millia et octingenta. qui numerus maior est diuisore centenario: per quem sectus in numero partitionis prodire faciet qua∣draginta octo. Sic quando. 100. oues emuntur. 20. au∣reis. 3. constabunt. 48. nūmis. Nec quēpiam illud mo∣neat: {quod} in secunda proportione finis initio, id est, quartus locus tertio non uideatur respondere: {quod} hic nūmos, ille aureos habeat: cum uter{que} locus idem rerum genus, nem∣pe pecuniam contineat. licet pecunia maior in minutiorē, uelut in partes suas ideo soluta sit: ut diuisoris sectionem numerus diuidendus caperet.

VBI AVTEM ex diuisione reliquum quidpiam erit: quod per diuisorem amplius secari non possit: similiter re∣liqui numeratorem in partes suas notas: si quas huiusmo∣di habeat: alio qui in partes pro arbitrio denominandas, multiplicetur: ut diuisoris, qui denominator est: sectionē maius factū pati possit. quae cum peracta erit: numerus partitionis manifestabit: pro quot partibus, uel notis, uel denominandis ipsum reliquū ualeat. quemadmodū in su∣periori libro de reliqui estimatione facienda diximus. Ex∣empli gratia. Si nouem ulnę panni (ut mercatorijs uoca∣bulis utamur) constiterunt tribus aureis: quanti emptiest una? Proportionibus in ordinē dispositis: ut nouem pri∣mo loco sint. unum secundo. tria tertio. 〈 math 〉〈 math 〉

quia unitas nullum numerū multiplicat: solum superest: ut tertius trium aureorum locus diuidatur per primū nu∣merū, nouem. quod quoniam fieri nequit: redigendi sunt aurei ad uiliorem pecuniā, aureus{que} puta ęstimetur. 80. nūmis. nam sic ęstimantur Angeli. numerus{que} aureorum ductus in numerū nūmorum procreabit. 240. quę cum per nouē secta sint numerus partitionis proferet. 26. nū∣mos. et reliquae erunt 6/9. et quia nūmi partes notas ha∣bent quadrantes: quorum quatuor pro nūmo ualent. sex in quatuor ducamus. et fient. 24. iterum ea secta per no∣uem in numero partitionis educunt duo: et adhuc restāt 6/9 unius quadrantis. Et quia quadrans minores partes apud nos notas non habet: per partes quaslibet denomi∣nandas, puta quatuor illum ęstimemus. iterū{que} ducamus sex, reliqui numeratorem in quatuor. et denuo fient. 24. quae rursus diuisa per nouem in numero sectionis duo fa∣cient. et adhuc supersunt 6/9 unius quartae partis unius quadrantis. quas si cuipiā amplius minutias sectarilibet: potest ultra diuidere in partes: quascum{que} uelit. Igitur quando nouem vlnae tribus aureis emptae sunt: vna ulna constitit. 26. nūmis, duobus quadrantibus, et duabus quartis unius quadrantis, ac sexnonis unius quartae par∣tis unius quadrantis. 6/9 reductae faciunt ⅔.

ILLVD HOC loco admonendum esse duximus: quo∣niam unitas quemuis numerū multiplicans, aut diuidens

nihil eum omnino uel auget, uel diminuit: quandocū{que} proportionibus in ordinem: secundum {quod} ante dictū est: digestis, ipsa unitas primū locum tenebit: nulla diuisione opus est. Quemadmodum si ea secundum aut tertium lo∣cum occupabit: secundi in tertium ductus non est neces∣sarius. immo tunc sufficiet: si maior alteruter eorū nume∣rus per primū diuidatur. Exemplum, quando unitas pri∣mū occupat locum. Quando piperis libra sexdecim num∣mis constat: centum librarum quantū erit preciū? Dispo∣sitis in ordinem proportionum numeris, 〈 math 〉〈 math 〉

Tertij numeri precium indicantis in secundū centenariū multiplicatio abs{que} ulla diuisione rem totam expedit. Ex∣emplum, quando unitas secundum locūtenet. Quando mille aurei sex captiuos redimunt: quanti ad eam rationē redimi potest unus? numeris sic signatis. 〈 math 〉〈 math 〉

Post tertij numeri millenarij solam diuisionem per primū senariū factam res est expedita. Similiter etiam fiat: si ter∣tium locum unitas tenebit.

QVANDO MINVTIAE OCCVRRVNT IN REGVLA DE TRIBVS NOTIS QVAR∣TVM IGNOTVM MONSTRANTI∣BVS QVID SIT FACIENDVM.

SI PROPORTIONIBVS IN ORDINEM aptatis, in quouis trium locorū minutiae interueni∣ant: integri numeri illius loci, si qui sunt admixti:

statim in minutias redigātur. id quod fiet: si numerus in∣tegrorum per minutiarum appositarum denominatorem multiplicetur: et numero procreato earū numerator ad∣datur. ei{que} sic aucto, sub linea interiecta, subdatur deno∣minator. quemadmodum in superiori libro docuimus, de integris in minutias soluendis praecipientes. In eo autem loco, in quo nullae intercesserunt minutię: numeri integri velut minutiae per unitatem sub linea, subdendam scribā∣tur: vt omnia loca formam minutiarum referant. Deinde secundi loci in tertium multiplicatio, et numeri producti diuisio fiat: quemadmodum de minutijs praeceptū est.

Exemplum vnum suffecerit eiusmodi. Quando serici tres ulnae cum dimidio: vt mercatorijs uocabulis utamur: sex aureis sunt emptae: quanti constiterunt tres quartę? Inte∣gris primi loci solutis in minutias, septem orientur secun∣dae 7/2. Locus{que} secūdus solas continet minutias ••/4. Lo∣cus integrorum tertius in speciem minutiarum sic scriben∣dus 6/1. Ita{que} sic locatis minutijs 〈 math 〉〈 math 〉 exsecundi loci in tetiū ductu nascentur 18/4. quę diuisa per 7/2 edu∣cūt 36/28. Ea constituūt unum integrum. et restant 8/28. quae, ad minimam nomenclaturam redactae, faciunt duas septimas. At{que} hoc pacto, quando tres ulnae serici cū di∣midio emptae sunt sex aureis. ¾ unius ulnae uno aureo et duabus septimis constiterunt. {QUOD} si minutiarum minu∣tiae

uel simplicibus minutijs, uel integris admixtae sese of∣ferent: ante{quam} opus aggredimur: reducenda sunt omnia in vnam minutiarū faciem. quemadmodum superiori libro docuimus. postea{que} fiat multiplicatio, et diuisio: sicut in minutijs fieri consueuit.

PECVNIAE CVIVSVIS IN QVAMLI∣BET PERMVTATIO QVOMO∣DO SIT FACI∣ENDA. Quaestio. 2.

SI QVISPIAM AB ALIQ VA REGIONE in aliam longe profecturus ad periculum a latroni∣bus uitandum, pecuniam eius nationis, unde pro∣ficiscitur: mensarijs dare uelit: vt eius ęstimationem illic, quo iter destinat: recipiat: scire{que} cupiat: quantum in il∣lius regionis pecunia sit habiturus? Id hoc modo facilli∣me dinoscat. Principio maiorem quāuis pecuniam in ui∣liorem per multiplicationem redigi: contra{que} uiliorem in quamlibet maiorem per diuisionem reduci, pene manife∣stius est: {quam} ut fit admonendum. Quamobrem pecuniam permutaturus primū animaduertat: quot minutioribus nūmis illius regionis, ubi fit permutatio: mensarius unū aureū regionis alterius, quo iter adornat: aestimat. Qua de re cum eo pacta inire oportet. Quod cum obseruauerit: omnem illam pecuniae summam, quam mensario daturus est: siue in argenti libris, siue in aureis fuerit: in eosdē nū∣mos minutiores redigat. Id quod fiet e uestigio: si totius summae permutandae numerū in eum nūmorum eorum∣dem

numerum, quo pars ipsius, puta libra una uel aureus unus aestimatur: multiplicet. Deinde numerū ex hoc ena∣scentem per summam ęstimationis unius aurei illius regi∣onis, quo iter parat: diuidat. et numerus sectionis pate∣faciet: quot illic aureos sit recepturus. Cuius rei ratio per regulam de tribus notis quartum ignotū proferentibus, palam nobis constabit. vti mox in exemplo dicemus.

ROMAM pfecturus quispiā mille aureos āgelos, octu∣aginta nūmis singulos aestimatos, mensarijs tradidit: vt Romae ei redderent aureos ducatos. conuenit{que} in singu∣los quinquaginta quatuor nūmos, Romae singulos aure∣os ducatos reddi. scire cupit quot ducati Romae sunt red∣dendi? Primū aureis angelis mille multiplicatis in octua∣ginta nūmorum numerum, qui numerus unius aurei ęsti∣mationem capit: surgunt octuaginta nūmorum millia. quae nūmorū summa facile in ducatos cōmutatur: si quis secū consyderet: Quae proportio est inter quinquaginta quatuor nūmos: qui pro uno ducato de cōpacto ualent: et octuaginta nūmorum millia: quibus mille aurei angeli aestimantur: eandem, inter unum ducatū et numerū du∣catorū inuestigandum esse debere. Vel si magis libet, per∣mutatim. Quae proportio est inter quinquaginta qua∣tuor nūmos et unum ducatum: eandem esse inter octua∣ginta nūmorum millia et numerum ducatorū exquiren∣dum. Ita{que} proportionibus in ordinem dispositis, ad hūc modum. 〈 math 〉〈 math 〉

Quia secundus numerus octuaginta millium, per tertiū vnitatis numerum nihil augetur: sola secundi diuisio per

primum numerum quinquagenarium facta sufficiet. quae in numero partitionis prodire faciet mille quadringenta octuaginta unum. et uiginti sex nūmi supersunt. qui nu∣merus est aureorum, Romae ex pacto reddendus.

ET QVAMVIS in pecuniarum permutatione, quae ab alia regione in aliam frequentatur: pecunia aliqua uili∣or plurimū quaeratur: qua utrius{que} nationis pecunia ma∣ior secundum sui precium prius aestimetur: {quam} ad propor∣tionū regulam iam datam numeri applicari possint. Velu∣ti in exemplo proximo. qui modus et facilis est: et expe∣ditus. interdū tamen breuior uia reperitur. Quippe quā∣do aliquis argenti librarum, aut aureorū, aut cuiusuis pe∣cuniae numerus illius regionis, ubi fit permutatio: alicui uel librarum, uel aureorum, uel cuiuslibet pecuniae nume∣ro, in ea regione: in quam commutamus: ita ex pacto re∣spondet. vt nihil omnino uel desit: uel supersit. tum abs{que} ulla in uiliores nūmos reductione facienda, statim ad pro∣portionū regulam numeros applicabimus. Exempli gra∣tia. tres aurei angeli pro quin{que} coronatis gallicis ualent. mille angeli quot coronatos reddent? Consyderatis pro∣portionibus, deprehendemus. quae pportio est inter tres aureos angelos, et mille: eandem, inter quin{que} coronatos et numerum coronatorū exquirendum esse debere. Vel si libet, permutatim. quae proportio est inter tres aureos an∣gelos et quin{que} coronatos: eandem esse inter mille ange∣los, et numerum coronatorum inuestigandum. 〈 math 〉〈 math 〉

Facientes igitur id quod iubet regula, comperiemus au∣reos angelos mille reddere coronatos mille sexcentos sex∣aginta

sex et duas tertias unius coronati.

SOCIETATIS REGVLA. Quaestio. 3.

TRES MERCATORES SOCIETA∣tem inierunt, suas quis{que} pecuniae partes in me∣dium conferentes. quorum primus nonaginta aureos attulit. secundus sexaginta. tertius quinquaginta. at{que} impigre mercaturam exercentes centum aureos lucri fecerunt. quos inter se diuidere cupientes ambigunt: quā∣tum cui{que} secundum pecuniae collatę portionem, de lucro sit cessurum. Hanc quęstionem altius nobiscum consyde∣rantes confestim animaduertemus id, quod in omni soci∣etate semper consyderandum est: lucrum hoc commune centum aureorum ex communi omnium accreuisse pecu∣nia. et quemadmodum pecunia communis commune lu∣crum peperit: ita suam cuius{que} pecuniam id attulisse lucri: quod ad quem{que} pro sua portione pertinebit. Quare sicut omnium partes simul additae se habent ad singulorū par∣tes: sic omnium commune lucrum ad lucrū singulorum se habere debet. Et permutatim. sicut omnium partes simul additae se habent ad commune lucrum: sic partes singulo∣rum ad singulorum lucrum se habere debent. Ita{que} haesi∣tationem hanc ad regulam quatuor proportionalium ap∣plicantes, statim eam explicabimus. Quocirca primus lo∣cus omnes omniū partes in societatem collatas simul ad∣ditas habere debet. Secundus autem suam cuius{que} pecu∣niae partem separatim aliam sub alia notatā. Tertius ue∣ro commune lucrū. Post eā numerorū ordinationem pe∣cuniaepars

a quolibet collata seorsum in lucrum cōmune ducatur. et numerus ex hoc enatus per omnium partium summam simul additam diuidatur. Ita cuius{que} partitionis numerus lucrum singulorum patefaciet. quod quarto lo∣co, e regione partis cuius{que} collatae, statuendū est, eo mo∣do: qui ante oculos numerorū notis hic subsignatur. 〈 math 〉〈 math 〉

In omnibus autem societatis regulis, an recte sit supputa∣tum: specimen hinc capere licet. si lucra singulorum simul addita communis lucri summam reddant.

MINVTIAE etiam, si quae restabunt: per additionē colligantur. at{que} integra, quę ex his creabuntur: integro∣rum addantur numero. Cuiusmodi exemplum erit. si pri∣mus contulit quadraginta. secūdus triginta. tertius uigin∣ti. de qua pecunia communi quinquaginta lucri fiunt. 〈 math 〉〈 math 〉

Reliquae omnes minutiae in hoc exemplo simul additę fa∣ciunt unum integrum. et singulorum lucra addita creant quadraginta nouem. sic surgunt quinquaginta: quae commu∣ni lucro respon∣dent.

SOCIETATIS REGVLA SECVNDA, IN QVA TEMPORVM DIVER∣SITAS INTERVE∣NIT. Quęstio. 4.

TRIVM MERCATORVM SOCIETATEM ineuntium, primus quadraginta quatuor aureos cō∣tulit in medium: at{que} octo mensibus in societate perman∣sit. Secundus triginta duos conferens aureos, perstetit in societate mensibus sex. Tertius, qui attulit aureos ui∣ginti quatuor: in societate menses quatuor mansit. ex qui∣bus lucri facti sunt aurei octoginta. Ambigi potest: quā∣tum cui{que} lucri, secundum temporis et pecuniae quantita∣tem, debeatur. In hac haesitatione at{que} eius similibus, al∣tius intuenti primum illud occurrit: quod in omni socie∣tate consyderandum esse superiori regula diximus. uideli∣cet, ut sicut omnium partes simul additę se habent ad sin∣gulorum partes: sic omnium commune luerum ad lucrū singulorū se habere debeat. Et permutatim. sicut de om∣nium partibus simul additis occurrit comparatio ad com∣mune lucrum: sic de singulorum partibus ad lucrum sin∣gulorum. Caeterum haec comparatio geminam consyde∣rationem habet, tam temporis inaequalis, {quam} inęqualis pe∣cuniae. quorum utrum{que} ad cuius{que} lucrum excutiendum parem cogitationem requirit: nec alterum ab altero seiun∣gi potest. quando nec pecunia cuius{que} sine suo tempore▪ cui{que} lucrum attulit: nec cuius{que} tempus sine sua pecunia. Immo uero sicut omnium pecunia simul addita at{que} om∣nium tempora coaceruata, commune lucrū uniuersis pe∣perit:

ita cuius{que} pecunia connexa cum suo tempore: cui{que} lucrū dedit. Ita{que} cum de pecunia et tempore cuius{que}, quae separari non possunt: gemina comparatio simul fieri de∣beat, tam ad aliorum pecunias et eorū tempora: {quam} ad cō∣mune lucrum, et lucrum cuius{que} suum: pecuniam cuius{que} per suum ipsius tempus multiplicare oportet. Quo fiet: ut numerus ex hoc productus proportiones partium suarū, eorum inquam numerorum: ex quibus in se ductis ena∣tus est: comprehendat. Etenim secundū EVCLIDIS scitum. Omnium duorum numerorum compositorū pro∣portio alterius ad alterum est ex laterū suorum producta proportionibus. Latera numerorum EVCLIDES uo∣cat, quorum multiplicatione numeri producuntur. Post∣quā multiplicationē cuius{que} tēporis cū sua ipsius pecunia separatim factā, quoniā singulae pecuniae partes cū singu∣lis temporis multiplicando coiuerunt: unus{que} numerus, sic de utro{que} factus est: ut de gemina comparatione pro∣portio una uirtutem utrius{que} complectens prodiuerit: nu∣meri ipsi procreati seorsum sunt notādi: ut ad regulam so∣cietatis applicari possint. Quippe sicut omnium pecunia cum omniū tempore coniuncta se habet ad suam cuius{que} pecuniā, copulatam cum suo tempore: sic lucrum omniū cōmune ad ••uum cuius{que} lucrum se habere debet. Et per∣mutatim, sicut omnium pecunia cum omniū tempore co∣pulata se habet ad cōmune lucrum: sic sua cuius{que} pecu∣nia cum suo tempore connexa, ad suum cuius{que} lucrum se habere debet. Ita{que} per regulam quatuor proportionaliū quęsitū explicabitur: si numeri omnes ex temporis et pe∣cuniae multiplicatione seorsum procreati simul addantur:

summae{que} ex his collectae primus locus detur. Secundus autē assignetur numeris seorsum enatis ex unius cuius{que} pecuniae ductu in suū tempus: ut separatim alius sub alio notetur. Tertius uero locus lucrum cōmune partum ha∣beat. Deinde seorsum secundi loci numerus cuius{que} pro∣creatus ducatur in commune lucrum: quod tertij loci est. numerus{que} ex hoc enatus per primi loci numerū diuida∣tur. quemadmodum in proxima societatis regula dictum est. et numerus sectionis declarabit: quantum cui{que} lucri secūdum temporis et pecuniae quantitatē debeatur. quod quarto loco e regione cuius{que} pecuniae reponendum est, ad hunc modum. 〈 math 〉〈 math 〉

SOCIETATIS REGVLA TERTIA: QVAN∣do temporibus intermissis, uarię summae interdum communicatę, in∣terdum subductae fuerunt. Quaestio. 5.

QVATVOR MERCATORES SOCIE∣tatem inierunt biennio duraturam, paciscentes: ut pro portione pecuniae conferendae lucrū cui{que} accresceret. quorum primus ab initio triginta aureos con∣tulit: et post octauum mensem transactum, eorū decem de medio subduxit. Iterum{que} vicesimo mense inchoante, duodecim aureos in societatem intulit. Secundus a prin∣cipio

viginti quatuor aureos attulit: ac post sextum men∣sem abstulit octo. Denuo{que} sextidecimi mensis exordio, quatuordecim in commune exhibuit. Tertius statim ab inita societate, viginti aureos intulit: peractis{que} mensibus septem, omnem suam pecuniā de medio exemit. rursus{que} mense decimo octauo incipiente, sexdecim imposuit au∣reos. Quartus demum septimo mense inchoante decem et octo aureos pro se contulit: at{que} horum nouem abstu∣lit post quartum mensem finitum. Iterum{que} decimo sep∣timo mense exordiente, quindecim in societatem addidit. De quorū omnium pecunia cōmuniter in societatem col∣lata, lucri facti sunt aurei centum. Ambigitur transacto biennio, quantum cui{que} lucri cedet. Haesitatio haec prop∣ter intricatam tum summarū, tum temporum varietatem, plus industriae {quam} acuminis exigit. Siquidem propius rem contemplantibus, illud manifestum est. sicut communis omnium pecunia cum omniū temporibus coniuncta cō∣mune lecrum attulit: itidem suam cuius{que} pecuniam cum suo tempore copulatam suum cui{que} lucrū afferre par esse. Singula igitur cuius{que} mercatoris tempora, quibus sum∣ma quae{que} ipsius vel in societatem cōmunicata, vel de me∣dio exempta fuit: in pecunias ipsorum temporū seorsum multiplicata, simul sunt addenda. Quę pecuniarum cum tempore coniunctio, cū ad eum modū per singulos mer∣catores absoluta erit: quatuor proportionalium regula rem totam sic expediet: quemadmodū proximo capite la∣tius edocuimus. Quod ipsum satis fuerit eruditis osten∣disse. Ceterum quoniam haec pecuniarum in societatem importatio at{que} exportatio, alio at{que} alio tempore facta

maiorem in fronte {quam} in recessu difficultatem ostentat: ne quem terreat tam varia rerum facies: nodum hunc expli∣cabimus: vt auspicantibus viam monstremus, similia: si qua occurrent: soluendi.

Primus ita{que} mercator a principio triginta aureos. 8. mē∣sibus in societate habuit. vt igitur tempus illud cum pe∣cunia copuletur. 8. in. 30. ducantur. et fient. 240. quae seorsum tantisper, dum alia expediuntur: notanda sunt.

Post octauum mensem finitum, vs{que} ad vicesimū, decem aureis subductis, soli. 20. reliqui manserūt, vndecim mē∣sibus medijs. 11. igitur in. 20. ductis, creātur. 220. quę similiter interim notentur seorsum. Postea vicesimo men∣se, ad viginti aureos, qui adhuc in societate remanserunt: alij. 12. sunt illati. Hae duae summae simul additae faciūt aureos. 32. qui mensibus quin{que} vs{que} in finem anni com∣munes fuerunt. Igitur. 5. in. 32. ducta educunt. 160. quae sub alijs summis seorsum notatis ponantur. Deinde illae omnes summae seorsum notatae simul addantur: et prouenient. 620. Ea sūma surgit ex omnibus primi mer catoris tum summis, tum mensibus simul coeuntibus.

Secundus autem mercator ab initio. 24. aureos sex men∣sibus in societatem cōmunicauit. quare. 6. in. 24. ducta producent. 144. quae seorsum notentur. A sexto autem mense transacto vs{que} ad sextum decimum, nouem mensi∣bus medijs, cum octo aurei subducti essent: relicti erant 16. quocirca. 9. in. 16. ducta creabunt. 144. seorsum similiter notanda. Demum mense decimo sexto. 14. au∣rei in societatem illati additi ad priores. 16. faciunt. 30. q̲ nouē mensibus reliquis cōmunes fuerūt. 9. ita{que} in tri∣ginta

ducta procreabunt. 270. quae ad reliquas summas seorsum notatas addita producūt. 558. Ea summa est et temporum et pecuniae secundi mercatoris simul coniun∣ctorū. Tertius mercator statim ab inita societate. 20. au∣reos inferens, septem mensibus eos in societate reliquit. et ideo. 7. in. 20. ducta, creabunt. 140. quae seorsum si∣gnentur. Post mensem autem septimum finitum, cum pe∣cuniam suam omnem exemisset: nihil cum cęteris habuit cōmune us{que} ad decimum octauum mensem. in cuius ini∣tio denuo. 16. in societatem intulit. quę per. 7. numerū mensium relictum multiplicata producunt. 112. ea priori summę seorsum notatae addita procreant. 252. Quę sum∣ma est et temporū et pecuniarum tertij mercatoris simul coeuntium. Quartus mercator septimo demum mense inchoante. 18. aureos conferens. 4. mensibus eos in so∣cietate continuit. quamobrem. 4. in. 18. ducta, proge∣nerant. 72. quae seorsū subnotemus. A fine autem quarti mensis post illatam pecuniam transacti, us{que} ad mensem decimū septimū, sublatis nouem aureis, adhuc. 9. resta∣bāt mēsibus sex medijs. ea propter. 6. in. 9. ducta edu∣cunt. 54. seorsum et ipsa notanda. Decimo septimo mē∣se incipiente, ad. 9. quę in societate remanserant. 15. ad∣iunxit. quae faciūt. 24. ea per. 8. numerum mensium re∣lictum, multiplicata educent. 192. quae ad alias summas seorsum signatas addita, perficient. 138. ea summa est tū mēsium, tum pecuniarū quarti mercatoris. Iam uero sin∣gulorum mercatorum temporibus cum suis pecunijs cō∣nexis, superest: ut omniū sūmaeseorsum annotatae simul addantur. Inde surgent. 1748. quae summa ex omnibus

tum pecunijs tum mensibus omnium mercatorū collecta primum locum tenebit. Secundum uero singulorum sum∣mae tum pecunias cuius{que} tum menses complectentes, se∣orsum alię sub alijs notatae. Tertium autem locum com∣mune lucrum habebit. Deinde secundū regulam quatuor proportionalium multiplicatio, et diuisio fiat. et lucrum in quarto loco patefiet, ad hunc modum. 〈 math 〉〈 math 〉

DIVERSARVM REGIONVM PON∣DERIS COAEQVATIO. Quaestio. 6.

CENTVM PONDO AB ALEXANDRIA in Angliam deportata reddunt pondo septuaginta quin{que}. quantū reddent Alexandriae Anglica pondo du∣centa triginta sex? Rem consyderanti facile succurrit. quę proportio est inter septuaginta quin{que} pondo Anglica, et ducenta triginta sex Anglica: eādem esse inter centū Ale∣xandrina et numerum, quem de Alexandrinis quęrimus. Et permutatim. quę proportio est inter septuaginta quin∣{que} Anglica et centum Alexandrina: eandem inter. 236. Anglica, et numerum, quem de Alexandrinis quęrimus:

esse debere. Quocirca primo loco positis. 75. Secundo 236. Tertio. 100. quatuor proportionalium regula de∣prehendit ducenta triginta sex pondo Britannica reddere Alexandrię trecenta quatuordecim et 50/75. quae sunt 10/15.

Anglica	Anglica	Alexādrina	Alexādrina
75	236	100	314 50/75 quę sunt 10/15

LVCRI EXPLORATIO. Quęstio. 7.

SIDE CENTVM AVREIS AVREI DV∣odecim in annum lucri fiant: Secundum eam ratio∣nem de aureis septuaginta nouem quātum lucri in annū crescet? Facile est explicatu. nam quae proportio est numeri centenarij ad septuaginta nouem: eadem erit nu∣meri duodenarij ad lucrū quęsitum. Et permutatim, quae proportio est numeri centenarij ad duodecim: eadem erit de septuaginta nouē ad lucrū inuestigatū. dispositis ita{que} in ordinem numeris, ut primum locum centum teneant. Secundum septuaginta nouem. Tertium duodecim. qua∣tuor proportionalium regula demonstrat ex aureis. 79. lucri fieri aureos nouem, et 48/100. quae sunt 12/25. 〈 math 〉〈 math 〉

Hoc lucrum per omnia par est usurę centesimae. qua ma∣iorem apud Romanos leges non permittunt. De singulis nam{que} centenis duodena quotannis in foenus usura cen∣tesima

exigit. quae ideo centesimę nomen habet: {quod} cum in menses usurę debeantur: pars sortis centesima singulis mensibus in usuram uenit: centesimo{que} demū mense sor∣tem foenus aequat. Intra centesimam minores usurę inter∣dum centesimae dodrantem, interdum bessem, in menses reddunt. quae etiam ipsę graues existimantur. At medio∣cres putantur, quae eius semissem in menses pendūt. Quae uero non ultra centesimae trientem, aut quadrantem, aut sextantē in menses pariunt: ciuiles habentur, et humanę.

LVCRI EXPLORATIO IN TEMPO∣RE MAIORI Questio. 8.

MERCATOR EX AVREIS SEPTV∣aginta per menses tres lucri fecit quin{que}. quā∣tum lucri tredecim mensibus ex aureis septu∣aginta obueniet? Duae proportiones deprehenduntur. Altera de tribus mēsibus ad mēses. 13. Altera de quin{que} lucri factis ad numerū inuestigatum. Nam sicut tres mē∣ses se habent ad menses tredecim: sic quin{que} lucri facta ad numerum quaesitum. Et permutatim. sicut tres menses ad quin{que} lucri facta se habent: sic. 13. menses ad numerū in∣uestigatum. Quare quatuor proportionalium regula du∣ce, primo loco statuentes. 3. Secūdo. 13. Tertio. 5. com∣periemus aureos viginti unum, et duas tertias. 13. men∣sibus lucri fieri. 〈 math 〉〈 math 〉

TEMPORIS INVESTIGATIO IN LVCRO MAIORI. Quęstio. 9.

QVI PER MENSES QVATVOR EX aureis nonaginta lucri fecit quin{que}: scire cupit: quanto tempore ijdem aurei lucri centum red∣dent? Haesitatio haec proximae similis est: praeter{quam} {quod} hic de tempore illic de lucro fit inuestigatio. Simili igitur mo∣do soluenda est. Quippe duę proportiones apparent. Nā sicut quin{que} aurei lucri facti se habent ad aureos centum lucri faciendos: sic quatuor mēses quibus quin{que} aurei lu∣cri accreuerunt: ad numerum mensium inuestigatum. Et permutatim. sicut quin{que} aurei lucri facti se habēt ad mē∣ses. 4. sic. 100. aurei lucri faciendi ad numerum mensiū, de quo quaesitum est. Primo igitur loco notatis. 5. Secū∣do. 100. Tertio. 4. Regula quatuor proportionaliū au∣reos. 100. ex. 90. lucri fieri mēsibus. 80. manifestat. qui numerus mensium creat annos sex et menses octo. 〈 math 〉〈 math 〉

LVCRI INVESTIGATIO EX MAIO∣ri pecunia secundum respectum lucri ex summa minori Quęstio. 10.

MERCATOR QVISPIAM TRIBVS mensibus ex decem aureis lucri fecit quatuor: sci∣re cupit ad eandem rationem ex sexcentis aureis decem et octo mensibus, quot aurei lucri fieri possunt?

Nullum haesitationis genus frequētius, {quam} huiusmodi est: inter mercatores: dum secum deliberant de quouis mer∣cimonij genere: si pecunias suas in id impendant: quanto tempore quantū lucri poterit acquiri. Ad hanc rem expe∣dite discutiendam in primis illud fieri oportet: quod faci∣endum est: quoties in duabus proportionibus cum pecu∣niae certę diuersitate temporis certi diuersitas concurrit: ut pecuniae quae{que} summa per suū tempus multiplicetur: vnus{que} ita numerus vim utrius{que} complexus producatur ex ambobus. qui deinde cum lucro per ea parto compare∣tur. Quo fiet: vt in ordinem proportiones ambae redigi statim possint. quemadmodum in proximis quaestioni∣bus diximus. Nam duas proportiones rem consyderan∣tes comperiemus. quarū alterius ambo extrema sunt co∣gnita. Alterius uero alterum solum. Nam quae proportio est inter decem aureos cum suo tempore trium mensium copulatos et aureos sexcentos cum suo tempore mensiū decem et octo iūctos: cuius proportionis ambo extrema sunt cognita: eandem esse debere lucri quatuor aureorum noti ad lucrum illud: quod ignoratū in quirimus. Et per∣mutatim. quę proportio est inter aureos decem connexos cum suo tempore trium mensium, et lucrum quatuor au∣reorum cognitum: eadem deprehendetur inter sexcentos aureos coniunctos cum suo tempore mensium decem et octo, et lucrum illud: quod uestigamus. Facta ita{que} aure∣orum decem multiplicatione per suum tempus triū men∣siū, surgunt triginta. Rursus{que}, si in sexcentos aureos du∣cantur decem et octo, suorum mensium numerus: prodi∣bunt decem millia et octingenta. Postea quatuor propor∣tionalium

regula nobis eam sequentibus negociū explica bit: si primo loco triginta. Secundo decem millia et octin∣genta. Tertio quatuor: quod lucrum nobis notū est: po∣namus. Ita deprehendemus ex sexcentis aureis mensibus decē et octo lucri fieri aureos mille quadringentos et qua∣draginta. 〈 math 〉〈 math 〉

Hic inuestigatum est: quantum accrescet lucri.

TEMPORIS INVESTIGATIO IN LV∣cro maiori secundum respectum tempo∣ris in lucro minori. Quaestio. 11.

FREQVENTER ETIAM MERCATO∣res inuertunt huiusmodi quęstionem: vt de tem∣pore sit haesitatio. veluti si quispiam: qui tribus mensibus ex decem aureis lucri fecit quatuor: scire cupiat ad eandem rationem: quot mensibus ex sexcentis aureis mille quadringentos et quadraginta lucri facere potest? In hac quaestione lucrū in utra{que} proportione certū. tem∣pus uero in altera adhuc ignoratum. Quare multiplica∣tio pecuniae certę per ignotū tempus fieri nequa{quam} potest: vt ambas proportiones ad quatuor proportionalium re∣gulam semel applicare sufficiat. Alia igitur uia tentanda est. Et rem consyderantibus in primis ad exemplum lu∣cri quatuor aureorū, quod ex decem aureis mensibus tri∣bus creuit: excutiendum uidetur: quātum lucri aurei sex∣centi mēsibus tribus parient. Id quod facile discuti potest:

si cogitemus duas hic proportiones reperiri. Alterā de au∣reis decem ad sexcentos. Alterā de quatuor aureorū lucro ad lucrum illud: quod exquirimus. Nam sicut aurei decem se habent ad sexcentos: sic quatuor aureorum lucrum ad lucrum exquirendum. Et permutatim. sicut aurei decem se habent ad lucrum quatuor aureorum: sic aurei sexcenti ad lucrum inuestigandum. Ita{que} primo loco positis. 10. Secundo. 600. Tertio. 4. per quatuor proportionalium regulam comperiemus ex. 600. aureis, mensibus tribus lucri fieri. 240. Deinde post{quam} compertum est: quantum lucri menses tres ex aureis sexcentis afferunt: continuo de∣prehendetur: quot mensibus aurei mille quadringenti et quin quaginta ex sexcentis lucri fieri possunt. Nam quae proportio est aureorum ducentorum et quadraginta: qui tribus mensibus lucri fiunt: ad aureos mille quadringen∣tos et quadraginta: eadem erit temporis trimestris ad nu∣merum mensium inuestigandū. Et permutatim. sicut du∣centi et quadraginta aurei, qui trium mensium sunt lucrū: se habent ad tres menses. sic aurei mille quadringenti et quadraginta se habebunt ad mensium numerum, de quo quaesitum est. Quamobrem primo loco positis. 240. Se∣cundo. 1440. Tertio. 3. e uestigio quatuor proportiona∣lium regula denuo repetita nos edocebit: aureos. 1440. ex. 600. lucri fieri mensibus. decem et octo. 〈 math 〉〈 math 〉

Ita{que} tempus hoc de quo quęsitum est particulatim inue∣stigandum erat, vt eius portione cognita facile exquirere∣tur reliquum. Caetera id genus exempla ad eundem mo∣dum

excuti possunt. Quo fit manifestū, quatuor propor∣tionalium regulam, quoniam semel tentata non satisfacit: bis nonnun{quam} adeundam esse: vt cuncta in lucem eruat.

PONDERIS EXPLORATIO IN PANI∣bus, quando precium annonae crescit. Quęstio. 12.

QVANDO TRITICI NODIVS NVM∣mis decem uenditur: primariae notae panis: qui nūmi preciū habeat: pēdebit vncias quadraginta tres. Secundū eā rationē, quanti ponderis erit panis unius nummi: quando tritici modius tredecim nūmis constat? Hic obseruare oportet, ubi{que} gentium receptam panificij legem esse: vt pro qua portione tritici precium crescit: pro ea panum unius precij pondus minuatur. Sicut enim an∣nonae copia panibus eiusdem precij et magnitudinem et pondus auget: sic contra annonae caritas ab eodem precio et pondus his et magnitudinem demit. Quocirca cū pro maioris precij ratione diminutio ponderis sit inuestigan∣da. Ea propter in proportionum comparatione, quod ex∣tremum utrius{que} maius est: pręponi debet: vt quaestio sit de minori alterius extremo: quod ignoratur. Cum autem altera proportio de tredecim nummis ad nūmos decem, ambo extrema nota habeat: eam praecedere oportet. Al∣tera uero de quadraginta tribus uncijs ad numerum pō∣deris inquirendū, sequi priorem debet. Nam in hoc quae∣sito quantus reperitur excessus nummorum tredecim ul∣tra decem: tantus erit quadraginta trium unciarū exces∣sus supra numerum ponderis inuestigandum: eadem{que}

proportio. Et permutatim. sicut. 13. se habent ad. 43. sic decem ad numerum ponderis inquirendum se habere de∣bent. Ita{que} si primam sedem tredecim occupent. Secundā decem. Tertiam. 43. Quatuor proportionalium regula rem totam illustrabit. per quam deprehendemus, quādo tredecim nummis tritici modius uaenit: unius nummi pa∣nem uncias triginta tres et unam tertiam pendere. 〈 math 〉〈 math 〉

PONDERIS EXPLORATIO IN PANI∣bus, quando precium annonae decrescit. Quęstio. 13.

SI PANIS VNIVS NVMMI PENDET uncias. 43. quando tritici modius. 10. nummis constat. quanti ponderis ad eam rationē erit pa∣nis unius nummi, si tritici modius nūmis septem uęneat? Hic quia tritici precium est imminutum: iuxta panificij le∣ges pondus panis augebitur. Quocirca qua proportione nummi. 7. superantur a. 10. eadem. 43. unciae supera∣buntur a pondere panis inuestigando. Et permutatim. si∣cut. 7. se habent ad. 43. sic. 10. ad numerū ponderis in∣uestigandum. Quare in proportione priore de. 7. nūmis ad nummos. 10. extremum quod minus est praecedere, quod maius est: sequi debet: ut posterior proportio de pa∣num pondere, desinat in pondus maius. Ita digestis in or∣dinem proportionibus, per regulam quatuor poportiona lium cōperiemus unius nūmi panē pendere uncias. 61 3/7

quando tritici modius septem nummis constat. 〈 math 〉〈 math 〉

LVCRI ET DAMNI REGVLAE.

PRIVSQ VAM ad alias questiones progredimur: de lucro et damno quasdam regulas, operaeprecium pu∣tamus adiungere. Et ut de lucro primum dicamus. Mer∣catores ad hunc modum secum quaerere solent. Si caerae pondo centena aureis. 12. quispiam emat: at{que} ea deinde aureis. 14. uendat: quantum lucri ex centenis accrescet? Huiusmodi quaesita sic explicantur. Principio subducere oportet precium, quo res empta est: a precio, quo postea uenditur. et numerus restans, qui differentiam vtriusque precij continet: lucrum indicabit: quod ex sorte illa. 12. obueniet. videlicet. 2. deinde si. 12. quae sunt in sorte: pa∣riunt in lucrum. 2. quantum lucri. 100. reddent: per re∣gulam de tribus notis quartū ignotū proferentibus pro∣nū est excutere. ducentes enim. 2. in. 100. procreabimus 200. quę per. 12. secantes relinquemus in sectionis nume∣ro. 16 ⅔. tantū lucri ex centenis accrescet. Nam quae pro∣portio est inter sortem. 12. et sortē. 100. eadem esse debet inter lucrum, quod ex. 12. creuit: et lucrū, quod ex. 100. obuenire debet. Et permutatim. quę {pro}portio est inter sor∣tem. 12. et lucrū. 2. eadē inter sortē. 100. et eius lucrū, quod inuestigamus: esse debet. Similiter de denis, vicenis, tri∣cenis, quadragenis, quinquagenis, vel millenis, quęri pos∣set. sed mercatorius supputandi mos maxime in centenis

lucra et damna consyderat. at{que} ideo de centenis exempla damus. In his autem mercatorijs regulis, quas nūc inter∣seremus: proportionū comparationem permutatim solū ponemus, mercatorū more: quandoquidem per hanc cui∣uis studioso recta earum comparatio sese simul aperiet.

Calculū recte confectū esse probabis si proportionū ordi∣nem cōuertas hoc modo. si. 100. quę sunt in sorte lucri fa∣ciunt. 16 ⅔. 12. in sortem collata lucrum reddent. 2. {QUOD} si plus aut minus calculus afferat: error interuenit. Vel si cui magis placet: negociū ad regulam sic applicabit. Si de. 12. quę sunt in sorte: fiunt. 14. in sortem et lucrū. quid ex. 100. in sortem datis ea ratione proueniet? sequentes regulā de∣prehendemus. 116 ⅔. in sortem et lucrū accrescere. a qui∣bus si demas. 100. quę sortem faciunt: supersunt. 16 ⅔. quę lucrū ex centenis indicant. Tui arbitrij lector, esto: vtram viam magis libeat sequi. nam mercatores ipsi, alius hanc, alius illam capessunt.

AD DAMNVM cognoscendum. id, quod de lucro iā admonuimus: studiosis suffecerit. nihil enim aliud interest: nisi {quod} sicut venditio superans emptionis preciū lucrū exuberare facit: sic econuerso venditio minoris facta sortem vel diminuit: vel exhaurit. verūtamen exemplum de eo quo{que} dabimus. Quādo libra croci empta est aureis 3. vendita{que}. 2. quae iactura ex centenis erit? Preciū, quo res minoris vēdita est: ab emptionis precio, quo pluris est empta: subtrahe. et superest. 1. quod damnū de tribus in∣dicat. Deinde si de. 3. vnum perit: quantum detrimenti

100. afferent: per regulam datam exquire. reperies. 33 ⅓. Vel si magis libet alterā viam tentare. sic potes. Si de. 3. so∣la. 2. supersunt: quid de. 100. relinquetur? ducantur. 2. in 100. fiunt. 200. quę si per. 3. seces exeunt. 66 ⅔. ea de. 100. manent. differentia ita{que} inter. 66 ⅔. et. 100. quę est. 33 ⅓. venit in detrimentum.

PER LVCRVM NOTVM SOR∣tis ignotae exquisitio.

SAEPE MERCATORES ad nundinas ituri secū ad hunc modū supputare solent. Quanti pōdo cētena cuiuspiā mercis puta ęris ęruginis emēda sūt: vt aureis. 13. postea vēdita ex cētenis dena in lucrū pariāt? Huiusmodi quęsita expedies: si sic tecū consyderes. Qui ex centenis de∣na lucri vult facere: is. 100. augere vs{que} ad. 110. studet. id, quod ex precio. 13. efficere molitur. Ita{que} in illis. 13. et sors et lucrū latet. alioqui nisi inesset lucrū: dena ex centenis nō lucrifierēt. Ea propter cū per venditionē. 13. aureis factā, lucrū ex centenis destinatū sit acquisitū: sors quae latet in 13. per regulam de tribus notis quartū ignotum proferen∣tibus statim sic patefiet. Si. 110. quae sortem et lucrū capi∣unt: prodeunt de sorte. 100. de qua sorte nascentur. 13. quę sortem et lucrū tenent. Multiplicare oportet. 100. in. 13. et producentur. 1300. quę si per. 110. secentur: numerus se∣ctionis. 11 9/11 habebit. qui numerus sortē illorū. 13. demō∣strat. At{que} ideo tanti emēda essent ęris ęrugins pōdo. 100. vt postea. 13. aureis vēdita lucrū {pro}portione denorum ad

centena reddant. Si specimen capere libet: an recte sit sup∣putatum: proportionum ordinem conuerte, hoc modo. Si de. 11 9/11, quae sunt in mera sorte: surgunt. 13. sors et lu∣crum: quid de. 100. mera sorte prodibit? tenta {per} regulā. et 110. inuenies. a quibus dempta sorte. 100. lucrum. 10. super∣est. Sin plus aut minus redeat: erratum est. Aliud exem∣plum. Quanti lanae mille pondo sunt empta: quae postea aureis. 50. uendita lucrum proportione duodenorum ad centena pariunt? ad regulam datam sic applicabis. Si. 112. ante lucrum partum erant. 100. quid secundum eam ratio∣nem. 50. prius erant: cum quibus partū est lucrum? sup∣putatio secundum regulam facta te docebit fuisse. 44 72/112. quae sunt 9/14. Aliud exemplum. Quāti constitit libra cro∣ci: quando uncia nummis. 9. uendita lucrum affert pro∣portione denorum ad cētena. Vncię sortem sic deprehen∣des. si. 110. ante{quam} accessit lucrum: erant. 100. quid erant. 9. inuenies fuisse. 8 2/11. tot nummis uncia constitit. Deinde ut librę precium excutias: multiplica uncię p̄cium. 8 2/11 in. 12. {quod} tot sint unciae in libra: et producuntur. 98 2/11. tot num∣mis libra croci prius empta erat.

PER DETRIMENTVM NOTVM sortis ignotae exquisitio.

QVI GEMMAM emerat: uendidit eam postea aureis. 100. et dum pecunię suę rationē init: com{per}it se perdidisse. 10. ex. 100. quanti ab initio stetit gemma?

Sic consyderate oportet. Qui. 10. de. 100. perdit. 10. ad. 90. minuit. at{que} ideo ad inuestigādā sortem illorū. 100. ad hūc modum cogitabit. Si. 90. ante detrimentū erant. 100. quid secundum eam rationem ante erant illa. 100. ex quibus ia∣ctura facta est? ducantur. 100. in. 100. et surgent. 10000. quę secta per. 90. reddunt. 111 1/9. tanti gēma ab initio cō∣stitit. Verso in cōtrarium proportionū ordine, capere ex∣perimentum licet: an recte sit supputatū: ad hunc modū. Si de. 111 1/9 sola. 100. supersunt: quid de. 100. relinquetur? si regulam sequare: deprehendes. 90. si plus aut minus ex∣it: error manifestus est.

ALIA etiam uia per lucrum aut damnum ad sortis partes redigēdū sors ipsa ignota inuestigari potest. Puta, si quispiam uendens nummis. 20. de. 100. lucrifaciat 10. et haesitetur quanta sit sors: ad hunc modū per com∣pendiū res expedietur. Animaduertere oportet: quota sor∣tis pars sit lucrum? id quod statim fit manifestū: si lucrum 10. per sortem. 100. diuisum in minutias soluatur eo modo: quo numeri minoris per maiorem admonuimus sectionē fieri. sic nascentur 10/100. quae ad minimā nomenclaturā re∣dactae faciunt 1/10. ita{que} qui ex. 100. lucratur. 10. decimā sor tis partem lucrifacit. quę pars decima addita ad sortem fit undecima totius summę. At{que} ideo qui de lucro et sorte 1/11 capit: lucrū habet illius summę. quod quādo ab ea subdu∣ctum erit: sola sors restabit. Ita{que} de. 20. sumito 1/11. et inue∣nies. 1 9/11. tantulum inest lucri in exigua hac summa. 20. Id autem si a. 20. subducatur: restabunt pro sorte. 18 2/11.

Ea sors est illorū. 20. Rem ita habere probabis: si propor∣tionū ordinem conuertas hoc modo. Si de. 18 2/11 fiunt. 20. quid accrescet de. 100. tēta: et inuenies. 110. subducito pro sorte. 100. restant pro lucro. 10. Calculus ita{que} nō errauit.

EADEM uia per damnū ad sortis partes redigendum sors ipsa potest excuti. Veluti si exemplo uerso, finga∣mus eū: qui nūmis. 20, uēdit: dena ex centenis perdere. Nā dānū. 10. per sortē. 100. diuisum profert 10/100. quę faciūt. 1/10 Illud ita{que} consyderare oportet. Qui perdit. 10. ex. 100. per∣dit de sua sorte 1/10. Quo fit: ut saluę sint ei restātes 9/10. de quibus partibus si sumas 1/9. at{que} eam ad omnes partes re∣lictas addas: instaurabis summā: quę fuit ante dānum: et sortē habebis quęsitā. At{que} ideo in exemplo dato. si nūmis 20. uendens dena de centenis perdit: ea ratione uicena illa 9/10 totius sortis efficiunt. Quocirca si nonā partē de. 20. su∣mas, uidelicet. 2 2/9. at{que} eā ad. 20. addas: fient. 22 2/9. quę sū∣•••• sortis ante ia cturam erat. Nona autem illa pars. 2 2/9 decima est totius sortis: partem{que} eam addita instaurat: quae de sorte perierat.

LVCRI RATIO, SI MINORIS quippiam fuisset emptum.

GLASTI emptor pōdo millena certo precio merca∣tus est: quę si binis aureis minoris emisset: at{que} ea po∣stea aureis duodenis uendidisset: ex centenis dena fecisset lucri: quęro quanti ab initio pōdo glasti millena steterūt? Huiusmodi quęsita sic expedies. Sortem illorum. 12. inue∣stigare oportet, eo modo, quē dedimus. Si. 110. erāt. 100.

ante lucrū: quid secundū eam rationem ante lucrū adiun∣ctum erant. 12. ducantur. 12. in. 100. producuntur. 1200. quae secta per. 110. reddunt. 10 10/11. Ea fuisset sors: si nihil aliud interuenisset. Verum quia adiectum est: si. 2. aureis minoris emisset: et. 12. uendidisset: tū lucrū accedere de∣buisse {pro}portione denorū ad cētena: liquet ex hoc eū plu∣ris. 10 10/11 emisse. At{que} ideo. 2. ad. 10 10/11. addenda sunt: ut fiant. 12 10/11. totaureis in initio glasti pondo. 1000. consti∣terunt. Ex quo fit manifestū. si minoris. 2. aureis emisset: danda fuisse. 10 10/11. quaesors ea est: quę per uenditionem ad. 12. crescens dena ex centenis lucrifacit.

DAMNI RATIO, SI PLVRIS quippiam fuisset emptum.

FRVMENTI emptor modios quaternos certo pre∣cio emit: qui si pluris nūmis quaternis {quam} sunt empti: constitissent: et uenditi fuissent nūmis tricenis senis: dena de centenis fuissent perdita. quanti igitur constiterūt mo∣dij quaterni? Principio sicut proxime in lucro factum est: sortem illorū. 36. erues, hoc modo tecū cōsyderans. Si. 110. erāt. 100. quid secundū eam rationem ante erant. 36. ducā∣tur. 36. in. 100. et fient. 3600. quę deinde secentur per. 110. et prodeūt. 32 8/11. tanti emi debuissent modij quaterni: ut uenditione facta nummis. 36. dena ex centenis lucri fierēt. Verum hic perdita sunt. 10. ex. 100. at{que} ideo sicut in ia∣ctura ante docuimus: sic consyderabimus. Si. 90. ante ia∣cturam fuerunt. 100. quid secundum eam rationem ante fuerunt, 36. ducantur. 36. in. 100. et surgent. 3600. quę secta

per. 90. reddunt. 40. tanti emi debuerunt: ut uenditi num mis. 36. dānū afferrēt detrahens dena ex centenis. Cęterū quia dictū est. si. 4. nūmi amplius ad precium accessissent. tum iacturā illam denorum ex centenis ex uenditione fa∣cta nummis. 36. fuisse secuturā. 4. nummi a. 40. demendi sunt: {quod} tanto minoris sunt empti. sic restāt. 36. quo precio quaterni frumenti modij ab initio sunt empti.

LVCRI RATIO, SI PRECIVN MVTETVR.

QVI SALIS modios singulos senis nūmis uēdit: octona ex centenis lucratur. quęri potest: si is mu∣tato precio, nūmis octonis uendat: quantum lucti ex cen∣tenis acquiret? Multi in huiusmodi quęsitis allucinant̄: dū sic proportiones comparant. Si. 6. dant. 8. quid dabunt. 8? ducentes nam{que}. 8. in. 8. et productū per. 6. secantes depre∣hendūt. 10 ⅔. quod lucrū ex centenis obuenire putāt: si singulorū salis modiorum precium a nūmis. 6. ad. 8. mute∣tur. Hi toto errant caelo. nam. 6. illa, quae isti uelut sortem ponunt: et lucrū et sortem continent. Ita{que} ubicum{que} in si∣milibus de lucro aut dāno quęritur: primū sors inuenien∣da est: quę lucrum et dānum peperit. igitur sortem et lu∣crum, quae in sex latent: sors et lucrū, quae in centenis no∣ta sunt: proferēt in lucem: sicut iam docuimus hoc modo. Si. 108. ante{quam} accessit lucrum: erant. 100. quid secundum eam rationem ante lucrum erant. 6. ducantur. 6. in. 100. et fient. 600. quae per. 108. secta in numero partitionis edu∣cunt. 5 5/9. tantum complecti debet sors illorum. 6. ut po∣stea sex nūmis facta uenditio octona ex centenis lucrifa∣ciat.

Iā uero in hoc themate, qui nummis. 6. vēdidit: mu∣tato precio, nūmis octonis vēdere in animo habet: et scire cupit: quantum lucri ex centenis accrescet. Id quod facile exquiri potest: si proportiones sic formentur. Si. 5 5/9, quae sunt sors: pariunt. 8. in sortem et lucrū: quid. 100. in sortem collata dabunt? Scies e uestigio: si. 8. in 100. ducas: nume∣rum{que} productū diuidas per. 5 5/9. quo fiet: vt in numero sectionis {pro}deant. 144. tantum sorsilla. 100. afferet in sor∣tē et lucrū. Igitur si sortē. 100. ab ea summa subducas. 44. pro lucro restant. tantū lucri ex cētenis accrescet: si singuli salis modij nūmis. 8. uendant̄, qui ante. 6. sunt uęnūdata.

VEL SI mauis alia via rē statim expedire: ut sortem nō exquiras: id fiet ad hūc modū. Adde ad ipsa. 100. lucrū ex his accrescēs: summā{que} eā diuide {per} prius p̄cium: quod lucrū illud pe{per}it. Id autē, quod in numero sectionis {pro}dibit: multiplica in posterius illud preciū: in quod fit cō∣mutatio. Ita numer{us} ex hoc productus et lucrū de. 100. na tū et sortē ipsā. 100. cōplectet̄. a quo lucro si sortē. 100. de∣mas: lucrū de cētenis ex nouo p̄cio obueniēs restabit. Quę uia nun{quam} fallet. Puta in exemplo iā dato, ubi uēditio senis nūmis facta ex cētenis octona i lucrū intulit: lucrum. 8. ad sortē. 100. adde. fient. 108. Eā summā diuide {per} prius p̄cium 6. quo lucrū illud acquisitum est. sic in numero sectiōis. 18. {pro}deunt. quę deinde in posterius illud preciū. 8. in quod fit cōmutatio: ducenda sunt. ita {pro}ducentur. 144. quę et lucrū et sortē cētenorū capiunt. a quib{us} si. 100. {pro} sorte demas: re∣stant pro lucro. 44. tantum lucri de centenis accrescet: si precium a nūmis senis ad octonos mutet̄. Siue autē de cē∣tenis, siue de alio numero, puta quinquagenis, millenis,

aut quouis alio, certū lucrū quęratur: regula hęc inuariata manet, Yim autē suā capit a multiplicatione et diuisione: quę a quatuor proportionalium regula supra data, et ab unitatis natura depēdent. Porro in diuisione, sicut unitas se habet ad diuisorē: sic sectionis numerus ad numerū di∣uidendū. Et {per}mutatim. sicut unitas se habet ad sectionis numerū: sic diuisor ad diuidendū. Similiter etiā fit in mul∣tiplicatione. nam sicut unitas se habet ad multiplicatorē: sic multiplicādus ad numerū producendū. Et {per}mutatim. sicut unitas se hēt ad multiplicandum: sic multiplicator ad numerū producēdū. Igitur esto. 6. habeāt. 1. in sortē: ea ra∣tione. 108. haberēt. 18. id quod sic exquires. Si. 6. in sorte et lucro {pro}deant (fingamus) de. 1. de quo nascentur. 108. quae sunt in sorte et lucro. ducatur. 1. in. 108. et idē numerus pro∣ducetur. Is deinde diuidatur {per}. 6. et numerus sectionis. 18. proferet: quę secundū eam rationē sors esse deberent illo∣rum. 108. Iam uero precio mutato, si scire uoles quantum reddent. 18. sic inuestigabis. Si de uno fiunt. 8. quot de. 18. fient? multiplicentur. 8. in 18. et producētur. 144. quę sor∣tem et lucrum centenorum tenebunt.

Damni ratio, si precium mutetur.

DAMNI RATIO per eandē regulā ad eundē mo∣dū excutietur: pręter{quam} {quod} sicut lucrū additur sorti: sic iactura de sorte subducit: et numerus restās per prius pre∣ciū, quod detrimentū attulit: secat̄. quod autē in numero partitiōis reperiet: du cere oportet in pciū illud: in quod fit cōmutatio. sic numerus {pro}ductus et sortē indicabit et dā∣num siue de cētenis quęrat, siue de millenis, siue de quouis alio numero iacturā terminante. Exempli gratia. qui. 6. nūmis vendit: duodena de cētenis perdit: quid iacturae ex

centenis sustinebit: si precio diminuto. 4. nūmis uendat. de. 100. subduci debent. 12. et restabūt. 88. quę secentur per prius illud preciū. 6. quod iacturā pe{per}it. et {pro}dibunt in se∣ctionis numero. 14 ⅔. Ea autē deinde multiplicētur in mi∣nus precium. 4. in quod fit cōmutatio. et. 58 ⅔ surgēt: quae sortem et iacturā centenorū demōstrabunt. quot ita{que} ab eo numero us{que} ad. 100. desunt: totidem de centenis i•• ia∣cturā ueniunt. ea autem sunt. 41 ⅓. Vel si per exquisitionē sortis illorū. 6. magis id scire libet: sic tecū cōsyderans rem statim explicabis. Qui nūmis. 6. uendendo de. 100. perdit 12. is. 100. ad. 88. minuit. quę iactura nascitur ex nūmis illis 6. Sic igit ratiocinare. Si. 88. ante iacturā erāt. 100. quid se∣cūdum eā rationē ante erant. 6. quę dānum attulerunt? tē∣ta per datā regulā: et inuenies. 6 9/11. Ea sors erat illorum. 6. Id{que} ita esse {pro}babis: si {pro}portionū cōuertas ordinem, hoc modo. Si. 6 9/11 minuuntur ad. 6. quantum secundū eam ra∣tionē decrescent. 100? experire per regulā: et. 88. relicta de∣prehendes. Iam uero mutato precio, si sors illa. 6 9/11 minu∣atur ad. 4. quid iacturę ex. 100. erit: data regula e uestigio aperiet. Nam si. 4. in. 100. ducantur. fient. 400. quae si per 6 9/11 secētur: numerus partitionis. 58 ⅔ habebit. Quod autē supra eum numerū us{que} ad. 100. deest: in iacturā (uti dixi∣mus) uenit. utra{que} igitur uia rem eodem perducit.

QVO MODO PRECIVM STATVA∣tur ad lucrū quoduis parandum.

FREQVENTER etiā mercatores in merce aliqua pōdere, numero, aut mēsura vēdi solita, post cōplures

expēsas terra mari{que} supra emptiōis preciū factas, i uecti∣galia, naulū, uecturā, ministroR uictū, cętera{que} id genus, certū sibi lucrū de quouis pōdere, numero, aut mēsura, de∣stinant: secū{que} deliberāt: quodnā p̄cium statuāt in singula pōdera, numeros, aut mēsuras: ut lucrū illud accrescat. Id quod fiet ad eum modū: quē hoc exēplo mōstrabimus. Pi∣peris pōdo millena i Lusitania nummoR. 10000. sūt emp∣ta. {pro}{que} his uectigal illic pēsitatum nūmi. 1000. Naulū de∣inde illinc in Britānias cōstitit. 300. Ibi rursus aliud uecti∣gal exactū. 500. Vectura deide terra facta nūmis stetit. 200. Ministri in eā negociationē missi impēsa. 2000. Mercator aduecta merce, de singulis piperis libris supra oēs impen∣sas nūmos. 4. lucrifacere destinat: Cęterum hęsitat: quonā p̄cio piperis librā uēdat: ut lucrū illud accedat. Rem sic ex∣pediem{us}. preciū emptiōis, uectigal, naulū, iterū uectigal, uecturā terra factā, ministri impēsam, omnia in unā sūmā colligere oportet. et surgēt. 14000. quib{us} etiānū lucrū nū∣moR. 4. destinatū in libras singulas debem{us} addere: uide∣licet nūmos. 4000. sic crescūt. 18000. Quā sūmā in uniuer∣sum mercator et {pro} sorte et {pro} lucro totius negociatiōis sibi reddi cupit. At{que} ideo quatuor {pro}portionaliū regula, quā de trib{us} notis quartū ignotū, pferētib{us} supra dedim{us}: e ue∣stigio p̄ciū unius librę patefaciet. Nā sicut uniuersę pipe∣ris librę aduectę se hēnt ad totā illā summā p̄ciū at{que} lucrū oium cōplectētē: sic una piperis libra ad suū preciū et suū lucrū se hēre debet. Quocirca si. 1. ducatur in. 18000. idem numerus {pro}ducetur. qui si {per} numerū uniuersarū piperis li∣brarū uidelicet. 1000. secet. numerus sectionis preciū uni∣us librę nūmos. 18. cōtinebit. Ad eūdē modū p̄ciū et lucrū statuere licet: i his, q̄ numero aut mēsura uēdi cōsueuerūt.

COLLATIO IN IACTV MERCIVM FACTO OB NAVEM IN TEM∣PESTATE SERVANDAM. Quaestio. 14.

SEX MERCATORES EMPTIS MERCI∣bus nauem onerarunt. Primi merces constiterunt au∣reis uiginti quin{que}. Secundi quadraginta. Tertij quin∣quaginta sex. Quarti sexaginta quatuor. Quinti septua∣ginta quin{que}. Sexti centum. Graui deinde tempestate in∣ter nauigādum orta, cum nauis onere nimio depressa cre∣bris fluctibus pene obrueretur: nautae saluti suae consu∣lentes, causa leuandae nauis eijciunt in mare grauissimas quas{que} merces: quae pro centum et uiginti aureis alioqui ualebant. Quo iactu factū est: ut seruata nauis reliquum onus in portum destinatum adueheret. Mercatores, quo∣rum erant eiectae merces, postulant: ut cęteri, quorū bo∣na seruata sunt: iacturam cōmuniter sustineant. Id quod illis omnibus aequum uisum est. Caeterum ambigūt quo∣nam modo pro rata cuius{que} bonorum portione collatio ea fieri debeat. Hanc haesitationem explicaturis statim no∣bis occurrunt duę proportiones. Altera de mercium om∣nium in nauem impositarū summa ad cuius{que} merces im∣positas. Altera, quę secūdū illam adaptari debet: de com∣muni omnium iactura ad cuius{que} iacturam sustinendam. Nam sicut omnium merces impositae ad cuius{que} merces se habent: ita omnium iactura ad cuius{que} iacturam se habe∣re debet. Et permutatim. sicut omnium merces impositae

se habent ad cōmunem omnium iacturam. ita cuius{que} im∣positae merces ad iacturam cuius{que}. Quocirca haesitatio haec per quatuor proportionaliū regulam sic facile expli∣catur: ut primo loco omnium mercium aestimationem si∣mul additam statuamus. Secundo loco uniuscuius{que} mer∣cium ęstimationem separatim aliam sub alia notatā. Ter∣tio loco communem iacturam ad hunc modum. 〈 math 〉〈 math 〉

Deinde si regulā sequamur: deprehendemus primū mer∣catorem. 8. et 120/360. quę faciūt ⅓. conferre debere. Secun∣dum. 13. et 120/360. quę faciunt ⅓. Tertium. 18. et 240/360. quę faciunt ⅔. Quartum. 21. et 120/360. quę faciunt ⅓. Quintū 25. Sextum. 33. et 120/360. quę faciunt ⅓. {QUOD} si scire cupis: num calculus errauit: singulorum collationes simul adde. quae si uniuersae collectae respondent cōmuni iacturae: re∣cte

supputatum est: alio qui error interuenit.

BONORVM INTER CREDITO∣RES DIVISIO. Quęstio. 15.

SI CVIVSQVAM, QVI SOLVENDO non est: bona inter multos creditores pro cuius{que} debiti rata portione diuidi ideo debent: uel {quod} is fo∣ro cedat: uel {quod} solum uertat: uel {quod} post mortē eius prop∣ter ęs alienum non adeatur haereditas: ad eundem modū, quemadmodum in iactu mercium de collatione facienda diximus: partitio fieri debet. cuius rei, ut exemplum de∣mus. Esto, creditores octo fuerint: quibus debentur mille. Primo quindecim. Secūdo uiginti quatuor. Tertio trigin∣ta duo. Quarto quinquaginta quatuor. Quinto sexagin∣ta. Sexto septuaginta quin{que}. Septimo octuaginta sex.

Octauo centum. bona{que} debitoris: quae inter eos sunt di∣strahenda: nō transcendant centū et quinquaginta. Rem consyderanres duas proportiones statim deprehēdemus. unam de coaceruatis debitis omnibus, quae debentur cre∣ditoribus uniuersis: ad id, quod cui{que} debetur. Alteram de uniuersis debitoris bonis ad eam portionem, quā quis{que} creditor habiturus est. Nam sicut coaceruata debita, quae debentur uniuersis se habent ad illud debitum: quod uni∣cui{que} debetur: sic uniuersa debitoris bona ad eam bonorū partem, quam quis{que} creditor habiturus est: se habere de∣bent. Et permutatim. sicut coaceruata debita, quae deben∣tur uniuersis, se habent ad uniuersa debitoris bona: sic il∣lud debitum, quod cui{que} debetur: ad eam bonorum por∣tionē,

quam quis{que} creditor habiturus est. Quare quatuor {pro}portionaliū regula rem reddet expeditam: si primo loco omnia debita simul addita, quę creditoribus uniuersis de∣bentur: ponamus. Secundo loco illud debitum, quod cui∣que debetur, aliud sub alio seorsum annotatum. Tertio loco uniuersorum debitoris bonorum summam. Deinde faciētes id, quod iubet regula: comperiemus primo credi∣tori obuētura quin{que} et 20/446. Secūdo octo et 32/446. Tertio decē. et 340/446. Quarto decē et octo 72/446. Quinto uiginti et 80/446. Sexto uiginti quin{que} et 100/446. Septimo uiginti octo et 412/446. Octauo triginta tria et 282/446

Certū specimē erit, nihil errasse calculū: si partes cui{que} ob∣uenientes simul additę respondeāt uniuersis debitoris re∣lictis bonis. 〈 math 〉〈 math 〉

POSTHVMI HAEREDIS IN∣STITVTIO. Quaestio. 16.

MORITVRVS QVISPIAM, CVI grauida erat uxor, et mille aureorum hęredi∣tas: sic testamentum condidit. Si uxor mea filiū pariet: is ex besse mihi haeres esto. uxor autem ex tri∣ente. Sin uxor mea pariet filiam: uxor ex besse mihi hae∣res esto. filia uero ex triente. Vxor deinde geminos mascu∣lum et foeminam uno partu enixa est. Ambigitur: quo∣nam modo diuidenda sit haereditas: ut defuncti uolun∣tas non infringatur. Huiusmodi hęsitationem altius con∣syderantes in primis deprehendimus testatoris uolunta∣tem esse: ut filius altero tanto amplius habeat: {quam} uxor. Itidem{que} uxor altero tanto amplius: {quam} filia. Ita{que} cum fi∣lij pars ad portionem matris dupla esse debeat: {quod} is duas haereditatis partes, mater tertiam sit habitura: matris{que} pars item ad portionem filię: {quod} ea duas partes consequu∣tura sit: et filia tertiam: eo fiet: ut pars filij ad filię porti∣onem quadrupla sit futura. Quāobrem numerus aliquis exquirendus est: qui simplum, duplum, et dupli duplum, quod quadruplum ad simplum est: habeat. ut in totidem partes diuidi possit hęreditas. Minimus autem numerus, qui partes eas habeat: capiendus est: quo facilior sit sup∣putatio. Is autem est septenarius. nam unum duplicatū profert duo. ea{que} iterum duplicata, quatuor. quae cuncta simul addita faciunt septem. Et quoniā mille aurei in sep∣tem partes diuidendi sunt: quarum quatuor filius habere debet: duas mater: unā filia. quot aurei cui{que} obuenient:

statim excutiemus: si animaduertamus: quae proportio est omnium partium simul additarum: hoc est septenarij numeri ad cuius{que} portionem: eandem mille aureorū esse debere ad eum numerum: qui cui{que} obueniet. Et permu∣tatim. quae omnium partium simul additarum proportio est ad mille aureos: eandem esse portionis cuius{que} ad nu∣merum aureorū inuestigandum. ad regulam igitur qua∣tuor proportionaliū quęsitum applicantes e uestigio rem totam explicabimus: si primo loco omnium partium nu∣merū statuamus. Secundo cuius{que} partem, aliam sub alia notatam. Tertio loco mille aureos: quae tota est haeredi∣tas, ad hunc modum. 〈 math 〉〈 math 〉

Deinde regulam sequentes inueniemus filij partē capere 571 et 3/7. Matris. 285 et 5/7. Filię uero. 142 et 6/7. Specimē certū erit, nihil erratum esse: si omnium partes simul ad∣ditae toti haereditati respondeant.

{QUOD} SI VXOR VNO PARTV TRES FILI∣os et duas filias ęderet: id quod in Aegypto est frequens: ut mulieres quin{que} geminos pariant: ad eandem rationē partitio fieri deberet: ut quilibet filius ad portionem ma∣tris duplū haberet: itidem{que} mater ad portionem cuius{que} filiae. Quocirca numerus capiendus esset: qui bina simpla,

et simpli duplū, at{que} simpli terna quadrupla haberet. Mi∣nimum autem numerū, qui bina simpla, et simpli duplū, habeat: cōperies quatuor: qui{que} terna quadrupla capiat: duodecim. ea simul addita fiunt sexdecim. in quot partes haereditas esset diuidenda: ut ex his quilibet filius quater∣nas, mater duas, filiae unicas accipiant. caetera secundum regulam quatuor proportionalium expediantur.

HAEREDVM INSTITVTIO IN partibus designatis. Quęstio. 17.

ANIMAM AGENS QVISPIAM, CVI quin{que} erant filij, et trium millium aureorum hęreditas: huiusmodi testamentum fecit. Pri∣mus filius meus natu maxim{us} ex semisse mihi haeres esto. Secundus natu proximus ex triente. Tertius ex quadran∣te. Quartus ex quinta parte. Quintus ex sextante. Ambi∣gitur: quonam modo diuidenda sit hęreditas? Nam si te∣statoris uerba ipsa sequemur: ut primus filius haeredita∣tis dimidium, mille et quingentos aureos: Secundus ter∣tiam partem, mille aureos accipiat: tunc tertius integram quartam, septingentos et quinquaginta aureos consequi nequa{quam} poterit: cū soli supersint quingenti. Quartus au∣tem filius, cui debetur pars quinta: et quintus, cui sexta: nihil omnino habituri sunt. Igitur cū filij partes illas hae∣reditatis a patre designatas consequi integras nō possint: aliae partes minores inuestigandę sunt: quae designatis il∣lis pro portione respondeant: ut singulis filijs satisfiat. Principio ergo exquirendę sunt partes designatae: quę fa∣cile

inueniuntur: si relictam summā per singulos seorsum denominatores diuidas. Ita cuius{que} sectiōis numerus par∣tem per denominatorem a patre designatam continebit. Quo fiet: ut dimidium inueniamus, aureos mille et quin∣gentos. Tertiam partem aureos mille. Quartam septin∣gentos et quinquaginta. Quintam sexingentos. Sextam quingentos. qui numeri seorsum alius sub alio debent an∣notari: ut eorum pro portione alij numeri minores inue∣stigentur ex summa trium millium in haereditate relicta. Hos autem numeros si filij haberent: ipsis, suo cuiusque uoto, satisfactum esset: nec amplius petere ex hoc patris testamēto possent. Numeri uero hi collecti in uniuersum faciunt, quatuor millia trecenta quinquaginta, qui nume∣rus partes a patre designatas uniuersas habet. Verumta∣men quia hereditas relicta summa minori clauditur: nem∣pe trium millium: uidendum quonam modo secundū te∣statoris uoluntatem facienda sit partitio. Qua in re si post iam cognitas partes designatas penitius hęsitationē scru∣temur: proportiones duas comperiemus. unam de simul additis partibus uniuersis designatis ad cuius{que} filij partē a patre designatam. Alteram de uniuersa relicta haeredi∣tate ad illam eius partem inuestigandam: quā quis{que} filius pro partis designatae portione accepturus est. quae secun∣dum illam priorem formari debet. Etenim quę proportio est inter uniuersas partes designatas simul additas, et cu∣ius{que} filij partem a patre designatam: eadem inter uniuer∣sam relictā haereditatem et illam eius partem exquirendā, quam quis{que} filius pro partis designatae portione habitu∣rus est: existere debet. Vel si libet permutatim ea compa∣rare.

Sicut uniuersae partes designatae simul additae le na∣bent ad uniuersam relictam haereditatem: sic cuius{que} filij pars a patre designata ad illam hęreditatis partem exqui∣rendam: quā quis{que} filius pro partis designatae portione accepturus est: se habere debet. post{quam} igitur primo loco partes uniuersae designatae simul additae sunt notatae: Se∣cūdo cuius{que} filij partes, quas pater designauit: alia sub a∣lia seorsum: Tertio relictę hęreditatis sūma: cōtinuo qua∣tuor proportionalium regula rem inuolutam explicat. ex qua deprehendes, primo filio obuenire 1034 2100/4350. Se∣cūdo 689 2850/4350. Tertio 517 1050/4350. Quarto 413 3450/4350. Quinto 344 3600/4350.

Probatio certa est recte supputatū esse: si post hęreditatis partitionem, omnium filiorū partes trium millium aureo∣rū summae respondeant. Haesitationem hanc extricantes uulgarem supputationum morem secuti sumus. Cęterum qui Arithmeticae penetralia magis callēt: breuiori uia sese expediunt. Eam autem in sequenti quęstione trademus. 〈 math 〉〈 math 〉

Quaestio. 18.

QVINQVE SOCII TRIA AVREORVM millia lucri facta diuidere inter se de cōpacto sic cu∣piunt: ut primus unam partem secundam sibi habeat. Se∣cundus unam tertiam. Tertius unam quartam. Quartus unam quintam. Quintus unam sextam. Caeterum haesi∣tant, quonā modo iusta partitio fiet. Ad huiusmodi quę∣stiones explicādas numerum aliquem exquirere oportet: qui partes denominatas omnes complectatur. Is autem est minimus numerus: quem partium denominatores nu∣merant. qui quemadmodum exquiratur: superiori libro edocuimus. Ita{que} in hoc quaesito minimus numerus, qui partes propositas habeat▪ comperietur, sexaginta. In quo numero, singulae partes propositae seorsum inquirendae sunt. Id quod per sectionem ipsius numeri sexagenarij, per earū singulas, separatim expeditur. Quo fiet: ut par∣titionis numerus partem de sexaginta secundam, triginta inueniat. Tertiam uiginti. Quartam quindecim. Quin∣tam duodecim. Sextam decem. qui numeri in unum colle∣cti omnes octoginta septem creant. Ad harum partium exemplum, quę de sexaginta sunt erutę: singulorum por∣tiones, de summa trium millium aureorum▪ diuidenda formandae sunt. Nam sicut omnes illi sectionis numeri, quos sexaginta diuisa pariunt: simul additi se habent ad eorum singulos: sic summa trium millium aureorum diui∣dēda, ad illam summam, quę cui{que} ex partitione debetur: se habere debet. Et permutatim. sicut omnes illi sectionis numeri de sexaginta eruti se habent ad tria aureorum mil∣lia diuidenda: sic uniscuius{que} sectionis numerus ad illam

summam, quam quis{que} ex partitione consequetur: se ha∣bere debet. Ita{que} si primam sedem omnes sectionis nume∣ri de sexaginta prodiuntes, simul additi teneant: qui sunt 87: Secūdam singuli eorum, alius sub alio seorsum anno∣tati: Tertiam trium millium aureorū summa diuidenda: quatuor proportionalium regula negocium extricabit. 〈 math 〉〈 math 〉

Partes ex sectione cui{que} obuenientes summae diuidenda respondebunt. si recte processit calculus. De industria hi•• eandem summā: quae in ptoximo quęsito erat: in easdem partes secandā proposuimus: ut lector sciret: quanto bre∣uius per minores numeros, {quam} per maiores, eadem res ex∣pediri possit: id quod propter faciliorem tum multiplica∣tionem, tum sectionem, euenire necessum est.

Quaestio. 19.

QVI QVATVOR AMICOS HABEBAT∣eorum primo nouem aureos in testamento lega∣uit. Secundo uiginti quatuor. Tertio tanto am∣plius {quam} secundo dedit: quantum secundus supra primum

haberet. Quarto tanto amplius {quam} tertio: quantum tertius supra secundum caperet. quaeritur quantū tertius et quar∣tus consequentut. Hęsitationem consyderantes proporti∣onalitatem in ea continuam deprehendemus. Nam sicut primi legatum ad legatum secundi se habet: sic secundi ad legatum tertij se habere debet. Et rursus, sicut secundi le∣gatum se habet ad legatum tertij: sic tertij ad quarti lega∣tum. At{que} e conuerso, sicut quarti legatum se habet ad le∣gatum tertij: sic tertij ad legatum secundi. Et rursus, sicut tertij legatum ad secundi se habet: sic secundi ad primi le∣gatum se habere debet. Quamobrem secundum trium proportionalium regulam supra a nobis enarratāres ex∣plicari debet: ut secundi legatum, quod in proportionum comparatione bis repetitur: in se multiplicetur: et uume∣rus inde procreatus per primi legatū diuidatur. Ita sectio∣nis numerus tertij legatum in lucem proferet, aureos. 64. Et rursus tertij legatum, quod in proportionum continu∣atione bis repetimus: in se mulriplicandum est: et nume∣rus ex hoc enatus per secundi legatum diuidendus. Quo fiet: ut sectionis numerus quarti legatum manifestet, au∣reos. 170 16/24. quae sunt ⅔ unius aurei. 〈 math 〉〈 math 〉

Quaestio. 20.

INTER TRES AVREORVM DVCEN∣torum diuisio de compacto fieri debet: ut primus triplo plus {quam} secundus habeat. Secundus quadru∣plo plus {quam} tertius. Quonam modo, secundum pactūfiet

iusta partitio? Facile id extricabitur: sia tertio qui minimā partem accepturus est: retrogrado ordine incipias, cui as∣signes: si libet: unitatem. Et quia in quadruplo secundus tertium superabit: tertij partem quadruplica: et enascen∣tur quatuor. quae pars erit secundi. At quoniam primus triplo amplius {quam} secundus consequetur: secundi pars tri∣plicanda est. et prodibunt duodecim. Ea pars erit primi.

Hinumeri simul additi creant septemdecim. secundū quē uumerū summae propositae partitio fiet. in totidem nā{que} partes aurei ducenti diuidendi sunt: ut ex his Primus. 12. Secundus. 4. Tertius unam habeat. confestim uero quis aureorum numerus cui{que} cedet: secundum regulam qua∣tuor proportionalium excutiemus: si primo loco partes omnium simul additas ponamus. eę sunt. 17. secundo cu∣iusque partem, aliam sub alia seorsum annotatam. tertio summam. 200. aureorū diuidendam. Nam quae propor∣tio est omnium earum partium simul additarū, ad cuius{que} partem: eadem erit summae diuidendae, ad eam: quam quis{que} habiturus est. Et permutatim. quae proportio est simul additarum omnium partium, ad summam diuiden∣dam: eadem erit cuiusque partis ad eam summam, quam quis{que} consequetur. 〈 math 〉〈 math 〉

Si uis probare secundum pacta processisse calculum: par∣tem

primi in tria diuide. et sectionis numerus secūdi par∣tem educet. Rursus secundi partem in quatuor. et nume∣rus partitionis tertij partem proferet.

QVAESTIO. XXI.

TRES INTER SE PARTIRI CENTVM aureos cupiunt. quorum primus unā tertiam et unā quartā habere postulat. Secundus unam quartam et unā quintam. Tertius unam quintam et unam sextam. Quę∣ritur, quantū cui{que} ex partitione obueniet? Ad huiusmo∣di quaestiones soluendas, in primis minimus numerus ex∣quirēdus est: qui omnes cuius{que} denominatores simul ca∣piat. Is autem est sexaginta. Ex quo numero, quę partes unicui{que} ex partitione prouenire deberent: si is diuidēdus esset: prius inuestigare oportet. id, quod facile deprehēdi potest, diuidēdo numerū ipsum sexa genarium, separatim per singulos partiū denominatores. Deinde partes ex nu∣meris sectionum inuentę, seorsum addendę sunt: ut scia∣mus: quantum cui{que} partes suę coniūctę dabunt. Ita nu∣merus partitionis de sexaginta partem tertiam. 20. partē quartam. 15. quę per additionem educunt. 35. primo de∣beri patefacit. Partem uero quartam. 15. et partem quintā 12. quę per additionem faciunt. 27. secundo deberi. Par∣tem autem quintā. 12. et partem sextā. 10. quę per additi∣onem procreant. 22. tertio deberi. Ad quarū partium de sexaginta erutarū exemplar, post{quam} numeri ex his collecti sunt additi: singuli portiones suas de summa centū {pro}po∣sita facile consequentur. Etenim si primo loco numeri illi, ex cuius{que} partibus separatim per additionem numerorū sectionis iam collecti uidelicet. 35. 27. et. 22. mox omnes

in unū rursus additi statuantur: ut sint. 84. Secūdo singuli illi separatim per additionem numerorū sectionis collecti, alius sub alio seorsum annotati. Tertio summa centū: quę diuidenda est: facile per quatuor proportionaliū regulam res tota extricabitur. Nam sicut in unū coaceruati omnes illi cuius{que} numeri, qui per additionē numerorū sectionis seorsum collecti erant: se habēt ad ipsorū singulos: sic cē∣tū, quę diuidenda sunt: ad illā summā, quę cui{que} ex parti∣tione debetur: se habere debēt. Et {per}mutatim. sicut in unū coaceruati omnes illi cuius{que} numeri, qui per additionē nu merorū sectionis seorsum collecti erāt: se habēt ad centū: quę sunt diuidenda: sic singuli cuius{que} numeri per additi∣onem numerorū sectionis seorsum collecti, ad illam sum∣mam, quam cui{que} partitio assignabit: se habere debet. 〈 math 〉〈 math 〉

Quaestio. 22.

QVATVOR INTER SE DIVIDERE sexcentos aureos sic cupiunt: ut primus duas ter∣tias, at{que} una nouem aureos, habeat. Secundus tres quintas, et aureos octo. Tertius quin{que} sextas, et au∣reos septem. Quartus septem octauas, et aureos sex. Am∣bigitur, quantum cuilibet conferet partitio. In primis mi∣nimus numerus, qui omnes has denominationes capiat: inquirendus est. Is autem est centū et uiginti. Quem nu∣merum

si per singulas denominationes seces: inuenies ter∣tiam eius partem, quadraginta. Quintā, uiginti quatuor. Sextam, uiginti. Octauam, quindecim. Cęterū quoniam primus duas tertias habiturus est: quadraginta illa, quae partem tertiā faciunt: duplicare oportet. et surgent octo∣ginta. qui numerus in duabus tertijs reperitur. Et quia ultra duas tertias, primo etiam nouem aurei accedūt: no∣uem addenda sunt ad. 80. ut fiant. 89. ea summa est eo∣rum: quae primus habere postulat. Porro quia secundus tres quintas habebit: uiginti quatuor, quae quintam faci∣unt: triplicanda sunt. et fient septuaginta duo. qui nume∣rus in tribus quintis reperitur. et quia ultra tres quintas octo aurei secundo debentur: adduntur octo: quę creant 80. ea summa est eorum: quae secundus flagitat. Pręterea quia tertius quin{que} sextas est consequuturus: uiginti, quae sextam implent: in quin{que} ducere est opus. et prodibunt centum. qui numerus in quin{que} sextis reperitur. cui, quia tertius septem aureos amplius petit: septem adiungātur: et fient centum et septem. Quae summa est eorū: quę ter∣tio deben̄tur. Quartus uero quoniam septem octauas po∣stulat: quindecim, quę octauam creant: ducere in septem oportet. et enascentur centum et quin{que}. qui numerus in septem octauis deprehenditur. cui numero (quia quartus sex aureos adhuc exigit) addere oportet sex. et surgēt cen∣tum et undecim. quae summa est omniū: quę quartus ha∣biturus est. En tibi numeros: quos quis{que} habere postu∣lat. quos omnes si simul addas: surgent trecenta octogin∣ta septem. Ad cuius summae exemplū ex partibus sic col∣lectae, sexcentorū aureorū partitio fieri debet. Nam sicut

omnes numeri, qui in partibus denominatis seorsum re∣periuntur: una cum cuius{que} aureorū accessione, simul ad∣diti se habent ad singulos ipsos numeros: sic sexcenti au∣rei, qui sunt diuidendi: ad numerum, quem cui{que} parti∣tio assignabit: se habere debet. Et permutatim. sicut om∣nes illi numeri, qui in partibus denominatis seorsum repe∣riuntur: una cum aureorum accessione, simul additi se ha∣bent ad sexcentos aureos: sic ipsorum numerorum singu∣li ad numerum, qui cui{que} ex partitione debetur: se habere debet. Quocirca primo loco positis numeris illis omnibus simul additis, qui ex partibus denominatis et aureorū ac∣cessione surgunt. qui faciunt. 387. Secundo eorum singu∣lis, alio sub alio seorsum annotato. Tertio summa. 600. aureorum: statim quantum cui{que} ex partitione accrescet: quatuor proportionalium regula demonstrabit. Et si par∣tes omnes cui{que} accrescentes, collectae aequales erunt sum∣mae diuidendae: nihil est erratum. 〈 math 〉〈 math 〉

Quęstio. 23.

ESTO, CENTVM AVREI INTER TRES ea lege diuidendi sint: ut quoties primus quinos con∣sequitur: secundus senos capiat. quoties secūdus septenos

habet: tertius sumat nouenos. In hac partitione ambigi∣tur: cum pro quiuis quibus{que} primi secundus senos habe∣at: quantū debetur tertio. Rem inuolutam sic extricabis. Consydera, si septeni aurei secundi tertio nouenos pariūt: facile sciri potest: quot aureos tertio seni secundi referent. Nam sicut septeni secundi se habent ad senos eiusdem: sic noueni tertij ad summam, quam is habiturus est: se ha∣bere debent. Et permutatim. sicut septeni secundi se ha∣bent ad tertij nouenos: sic secundi seni ad summam, quam tertius est consequuturus. Quar•• quatuor proportiona∣liū regula deprehendit, pro numero tertij in tota hac par∣titione, aureos septenos et 5/7 sumendos esse. Qamobrem si omniū triū numeros uidelicet. 5. 6. et. 7. cū 5/7 in unā summam coaceruatos primo loco statuamus: uidelicet cē∣tum triginta et unam septimas 131/7. secundo autem eorū singulos, alium sub alio seorsum annotatum designemus: tertio summam centum diuidendam: quatuor proportio∣nalium regula ad exemplum prioris proportionis, quę de omnibus illis partibus ad earum unamquam{que} reperitur: facile posteriorem de summa diuidenda, ad eam summā, quam quis{que} habiturus est: deformabit. statim{que} patefa∣ciet primo 26 94/131. Secundo 32 8/131. Tertio 41 29/131. ex partitione deberi. 〈 math 〉〈 math 〉

IN HAC partitione faciēda, quādo alioqui exercitatos labi nōnun{quam} uidimus: admonēdos iuuenes esse duximus: ne errarent: ut post{quam} primi et secundi numeros in centum multiplicatos per diuisorem secuerint: cum ad tertij nu∣merum uentum erit: integra in minutias eis adiūctas sta∣tim redigant. ut fiant. 54. septimae. quas deinde in centū multiplicent. sic surgent 5400/7. Hoc loco quia minutiae, quae diuidendae sunt: et quae sunt diuisores: eundem de∣nominatorem habent: maior numerator earum, quae se∣candae sunt: per earum, quae secant: numeratorem mino∣rem, integrorum more, diuidendus est: ut numerus erua∣tur: qui attinebit ad tertium. Alioqui cum tam diuisor {quam} diuidendus easdem integrorū minutias numerent: nempe septimas: si diuisoris denominatorem, uidelicet septem, in diuidendi numeratorem, integrorum minutias conti∣nentem, et diuidendi denominatorem in diuisoris nume∣ratorem, itidem integrorum minutias numerantem, du∣ceremus in formam crucis: tunc tam diuisorem {quam} diuiden∣dum, qui integrorum septimas continent: ad septimarum septimas redigeremus. et cum duas priores sectiones de simplicibus minutijs expediuerimus, scilicet de integro∣rum septimis: tertiam hanc, quae cum eis consentire debe∣ret: de minutiarum minutijs faceremus: totius{que} partiti∣onis mutaremus diuisorem.

Quaestio. 24.

QVATVOR INTER SE PARTIRI CEN∣tū aureos sic cupiunt: ut quot ternos primus capit: totidem secundus quaternos habeat. quot quinos secun∣dus:

totidem senos tertius sumat. quot tertius septenos: totidem quartus octonos consequatur. Ambigitur quo∣nam modo fiet iusta partitio. Multos exercitatos uidim{us} ad hoc saxum impingere: dum nec singulorum partes sci∣rent inuestigare: ne{que} his tandem inuentis, summam pro∣positam ad earum rationem diuidere. Tota autem res sic expedietur. Principio singulorum partes ad eundem mo∣dū exquiruntur: quem proximo quaesito monstrauimus. Et secundi quidem pars, cui fabricandae primi portio dat legem: facile cognoscitur: cum alter ternos, alter quater∣nos sit accepturus. Tertij uero portio, quae tot senos ha∣bere debet: quot secundus quinos capit: non tam cito sese offert: cum secundus quaternos non quinos sumat. Quā∣obrem consyderandum est: si quini aurei senos afferunt: quot aureos quaterni reddent. et per quatuor proportio∣nalium regulam deprehendemus tertij portionem capere aureos 4 et ⅘. Rursus quarti pars, quę tot octonos ha∣bere debet: quot tertius septenos sumit: cum tertij por∣tio 4 et ⅘ non septenos, capiat: ad hunc modum exqui∣retur: ut uidendum sit: si septeni pariunt octonos: quot ad eam rationem ex 4 et ⅘ obuenire debent. Et quatuor proportionalium regula monstrabit quarti portionem. 5. et 17/35. Demum post{quam} exquisitae sunt partes singulorum: omnes in unam summam per additionem colligantur. et prodibunt 605/35. quę diuisoris fungentur partibus: et pri∣mum

locum tenebunt. secundum singulorum partes aliae sub alijs seorsum annotatae. tertium summa. 100. aureo∣rum: quae diuidenda est. Caetera per quatuor proportio∣nalium regulam expediantur. Cum autem ad quarti por∣tionem uentum erit: post{quam} ea in centum multiplicata est: quia minutiae productę denominatorem habebunt eun∣dem: quem diuisor: ideo numerator earum solus per di∣uisoris numeratorē, integrorū ritu, secetur. sicut in prox∣imo quaesito monstrauimus. cuius rei rationem illic ape∣ruimus. partes autē cuius{que} apparebūt, hę quę sequūtur. 〈 math 〉〈 math 〉

Questio. 25.

LEGIO HABET PEDITVM SEX MILLIA et centum: Equites septingētos uiginti sex. Esto, pe∣des stipendium quatuor nūmos sestertios in diem capiat: eques nouem. Si duorum millium aureorum pręda secū∣dum eandem rationem inter eos distribuenda sit: quan∣tum consequentur equites? quantum{que} pedites? In pri∣mis multiplicare oportet equitum numerum in numerū stipendij: quod eorum quilibet in diem capit: et surgent 6534. quae summa seorsum erit annotanda. Itidem{que} fa∣ciendum est de peditum numero: et fient. 24400. quae

seorsum etiam notentur. deinde illi duo numeri procreati simul addantur: et prodibunt. 30934. quae summa, si re∣perta esset: nullo negocio inter equites et pedites posset diuidi. At{que} ideo ad illarum summarum productarū ex∣emplum, haec, quae proposita est: summa duorum milliū erit diuidenda. Nam quę proportio est amborum produ∣ctorum numerorum ad alterum ex ductu equitum in sua stipendia natum: eadem comperietur numeri propositi duorum millium ad eum numerū: quem equites ex pręda habere debent. Et permutatim. quę proportio est ambo∣rum numerorum productorum ad numerum propositum duorum millium: eadem erit alterius ex ductu equitum in sua stipendia nati, ad numerum, quem equites ex pręda consequentur. Quare ut primū de equitibus absoluamus: primo loco ambos numeros productos simul additos lo∣cemus. Secundo numerum ex ductu equitum in sua sti∣pendia procreatum. Tertio numerum distribuendum du∣orum millium. Deinde ex quatuor proportionaliū regula deprehēdem{us} equitibus obuenire 422 13852/30934. q̄sūt 6926/15467. Ea summa est: quam equites uniuersi consequentur. quā ipsam si per equitum numerū postea diuidas: tum depre∣hendes: quantum unusquis{que} eques habiturus est. Et quo niam ea minor est: {quam} ut per equitum numerum secari pos∣sit: in uiliorem pecuniam multiplicanda est: ut sectionem subire ualeat. De peditum portione inuestiganda, simili∣ter agendum erit. Nam quę proportio est amborum pro∣ductorum numerorum, ad alterum ex ductu peditum in sua stipendia natum: eadem reperietur propositi numeri

duorum millium, ad eum numerum, quem pedites ex prę∣da consequentur. Et permutatim, quae proportio est am∣borum productorum numerorum ad numerum proposi∣tum duorum millium: eadem erit alterius ex ductu pedi∣tum in sua stipendia nati, ad numerum, quem pedites ex pręda habituri sunt. Caetera eo modo expediantur, quo de equitibus diximus. et peditū portio erit 1577 17082/30934.

ADEVNDEM modum distributio fiat: si inter ca∣nonicos et alios cuiusuis templi sacerdotes pecuniā diuidere sic oporteat: ut quoties inferiori sacerdoti tria ob∣ueniunt: canonico accrescant quin{que}.

Quęstio. 26.

IN VNA MOLETRINA TRINAE MOLAE reperiuntur: quarum unae duodecim horis modios tri∣tici decem et octo moliunt. Secūdae per idem tempus mo∣dios tredecim. Tertiae tanto tempore modios octo. Acce∣dit ad moletrinam rusticus, tritici modios afferens uiginti quatuor: quos omnibus molis sic supponi desyderat: ut uno momento singulę suum opus absoluant. et scire cupit a molitore: quanto tempore sit expectandum: ut res ex∣pediatur: quantum{que} quibus{que} molis sit subijciendum: ut omnes una desinant. Prima questio facilis explicatu uide∣tur: si omnes modios simul addamus: quę duodecim ho∣ris moliuntur ā trinis molis: cum duae proportiones de∣prehendantur. una de omnibus illis modijs simul additis: qui sunt triginta nouem: ad modios uiginti quatuor a ru∣stico allatos. Altera de duodecim horis, ad illum horarū

numerum, quo molae expedient opus. Etenim sicut om∣nes modij simul additi, qui sunt. 39. se habent ad. 24. mo dios a rustico allatos: sic horae duodecim ad illum horarū numerū, quo res absolui potest, se habere debent. Et per∣mutatim, sicut illi. 39. modij simul additi se habent ad du∣odecim horas: sic. 24. modij ad illum horarum numerum, quo res finietur. Ita demum ex quatuor proportionalium regula comperietur, uiginti quatuor modios a trinis illis molis expediri posse septem horis et quindecim tricesimis nonis. 〈 math 〉〈 math 〉

Post{quam} deinde prius quaesitum de tempore, quo modij 24. simul absolui possunt: exploratum est. posterius quę∣situm de modiorum numero, qui singulis quibus{que} molis subijci debet: continuo potest excuti: cū de tempore iam certo ad singularū molarū modios quęstio sit uersa. Nam sicut. 12. horae se habent ad horas. 7. et 15/39. sic. 18. mo∣dij, qui per primas molas. 12. horis conficiuntur: ad il∣lum modiorum numerum se habere debet: qui horis. 7. et 15/39 molis eisdem subijcientur. Et permutatim, sicut. 12. horae se habent ad modios. 18. qui per primas molas eo tempore expediuntur: sic horae. 7. et 15/39 ad illum modio∣rum numerum, qui eisdem molis per id tempus sunt sub∣ijciendi. Ad quem modū si per secundas at{que} item tertias molas comparationem facias: quae res ante obscura uisa

est: a regula quatuor proportionalium illustrabitur. Id quod statim fiet: si primo loco horas. 12. statuas. Secun∣do horas. 7. et 15/39. Tertio illum modiorum numerum, qui a singulis molis duodecim horis confici potest, alium sub alio seorsum annotatum. 〈 math 〉〈 math 〉

ITA comperiemus primis molis subijciēdos esse modi∣os undecim et unius modij unam decimā tertiam. Secun∣dis molis modios octo. Tertijs modios quatuor et duo∣decim decimas tertias. Qui modiorum numerus in sum∣mam collectus profert uiginti quatuor modios a rustico allatos. Ex quo liquere potest recte supputatum esse.

Quęstio. 27.

AQVAE PLENA CISTERNA QVAEPI∣am fistulas tres habet: ex quarum maxima si extra∣has epistomium: una hora aqua tota effluet. Secunda fi∣stula, quae minor est: aquam euomit horis duabus. Ter∣tia, quae minima est: tribus horis emittit aquā. Iam si ex∣emptis epistomijs, una omnes fistulae pateant: Ambigi∣tur: quanto tempore tota aqua effluet? In hac haesitatio∣ne explicanda quoniam una hora integra, maxima fistula totam aquam fundit: minor horis duabus: minima tri∣bus:

minimus numerus in primis in quirendus est: quem hi numeri, unum, duo, et tria, numerant. Qui quemad∣modum sit inuestigandus: superiorilibro edocuimus. Is autem comperietur numerus senarius: qui numeros hos, a quibus numeratur: partes suas habet. Et quia intra se complectitur numeros illos omnes: a quibus numeratur: qui tempus aquae numerant per singulas fistulas seorsum exeuntis: diuidendus erit: uti mox dicemus. Postea con∣syderandum est: sicut maxima fistula una hora totā aquā exhaurit: ita quae duabus horis id facit: una hora aquae dimidium effundit. quae tribus horis id peragit: una hora tertiam aquae partem emittit. Deinde quia omnes fistulae uno tempore aperiuntur: omnes numeri inclusi in integro illo et eius partibus, quas numeri eum numerantes deno∣minant: educendi sunt: ut simul addantur. Id quod sta∣tim fiet: si integrum illum per singularum partium deno∣minationem seorsum diuidas. quippe si sex per duo seces: tria inuenies. si per tria, duo. Nam quia numerus senarius numerus minimus integer est: quem unū, duo, et tria nu∣merant: qui{que} partem unam secundam at{que} unam tertiam habeat: ipse integer sumendus est. cuius pars quidem se∣cūda, tria, tertia uero duo continet. Hi autem numeri sex, tria, et duo simul additi procreabunt undecim. qui nume∣rus tempus aquae per omnes fistulas fluentis, exprimit: numeros{que} omnes ex integro illo et eius partibus exeun∣tes simul additos capit. Hic diuisoris partibus fungetur in hoc quaesito. Caeterum quoniam sex ab undecim diuidi nequeunt: ut uter{que} numerus integer maneat: Ideo nume∣rus ille horarum senarius in sexaginta momenta, quę par∣tes

sunt unius horae: multiplicandus est: ut sectionem fe∣rat. Ita numerus continens tempus aquę ex singulis fistu∣lis seorsum effluentis: per numerum momentorum aquae simul ex uniuersis erūpentis diuidetur. qui quoties in ho∣rarum numero diuidendo fuerit inuentus: tot effluentis aquae momenta comperientur.

IDQVE ITA habere huiusmodi consyderatione de∣prehendi potest. Nam cum numerus senarius comple∣ctatur omne tēpus separatim elabentis aquae: fistula, quę una hora aquam educit: sex horis sexies id faceret. quę ue∣ro duabus horis aquam emittit: sex horis ter id perageret. quae tribus horis aquam exhaurit: sex horis bis aquā effū∣deret. at{que} ita simul omnes fistulę sex horis aquā undecies educerēt. Verū quia in quaestione proposita aqua tantum semel non undecies ex cisterna fundenda est: quę propor∣tio est inter undecim et unum: eadem erit inter sex, et aquę effundendae tempus. Et permutatim. quae proportio est inter undecim et. 6. eadem erit inter. 1. et tempus aquae fundēdae. Secūdum regulam igitur quatuor proportiona∣lium per. 11. secantes horas. 6. prius in. 60. momenta multiplicatas: uti iam diximus: comperiemus omnes ci∣sternae fistulas patentes triginta duobus unius horae mo∣mentis at{que} octo undecimis totam aquam emittere. 〈 math 〉〈 math 〉

VEL SI libet. 6. per. 11. in minutias: secare deprehē∣demus 6/11 unius horae: quae tempus monstrant exhaurie∣dae

aquae. qui secandi modus cum priori consentit. quippe cum in una hora. 60. sint momenta: quorum pars unde∣cima momenta. 5. et5/11momentorum capiat: ea pars sex∣ies sibi addita profert momēta 32 et8/11. Porro momenta 5. sexies accumulata creant. 30. Rursus5/11momentorum sexies aggregatę educunt 30/11 momentorum: quae duo in∣tegra momenta constitunt et 8/11.

PORRO SI ID genus questioni unum integrū nō admisceatur: facilius multo explicabitur. nec erit ne∣cesse numerum diuidendum in partes suas frangere. quā∣do quidem maior diuisore comperietur. Veluti si cisternae alicuius tres sint fistulae: quarū si maxima aperiatur: qua∣tuor horis aqua effluet. si minor: horis sex. si minima: ho∣ris octo. et ambigitur: si una omnes fistulae, sublatis epi∣stomijs, patefiant: quanto tempore ex cisterna aqua tota exibit. Principio minimus numerus inuestigandus est: quem quatuor, sex, et octo numerant. Is autem comperi∣etur, uiginti quatuor. qui partes suas habet numeros illos omnes, a quibus numeratur: tempus numerantes aquae per singulas fistulas seorsum exeuntis. Hic numerus secā∣dus est: ut quaesitum eruamus. Tum consyderandum est: sicut fistula, quae cisternam quatuor exhaurit horis: una hora quartā eius partem emittit: sic quę sex horis id com∣plet: una hora sextam eius partem facit uacuam: quę ho∣ris octo aquam educit: una hora partem octauam aufert.

Deinde quia omnes fistulae uno tempore fluunt: omnes numeri comprehensi in illius integri partibus: quas nu∣meri eum numerantes denominant: exquirendi sunt: at{que} una addendi. ut per eos integer ille, qui suis partibus eos includit: diuidatur. Et quia ex. 24. quarta pars continet sex: sexta. 4. octaua tria. sex, quatuor et tria simul addā∣tur: et fient. 13. qui numerus tempus aquae per omnes fi∣stulas simul effluentis numerat. Hic numerus diuisor nu∣merum. 24. integrum partium suarum denominationi∣bus tempus aquae per singulas fistulas seorsum fusae de∣monstrantem, atque intra suas partes numeros additos includentem secare debet. Quippe cum numerus. 24. ca∣piat omne tempus separatim effluentis aquae: fistula, quę cisternā. 4. horis exhaurit: horis. 24. sexies id faceret. quae sex horis aquam fundit: horis. 24. quater id cōpleret. quę horis octo aquam educit. 24. horis ter eam emitteret. at{que} ita omnes simul. 24. horis aquam tredecies educerent. Verum quia in quaestione proposita aqua tantum semel non tredecies ex cisterna fundenda est: quae proportio est inter. 13. et unum: eadem erit inter. 24. et aquae effundē∣dae tempus. Et permutatim. quae proportio est inter. 13. et. 24. eadem erit inter unum et tempus aquę exhaurien∣dae. Secundum regulam igitur quatuor proportionali∣um per. 13. secantes. 24. comperiemus omnibus fistulis apertis aquam ex cisterna effluere hora una et undecim decimis tertijs. 〈 math 〉〈 math 〉

Quęstio. 28.

ESTO, CISTERNA QVAEPIAM TRES habeat fistulas: quarum maxima per horae quadran∣tem plenam cisternam exhauriat: minor per horae dimi∣dium: quae minima est: per horae spacium totam aquam fundat. si sublatis epistomijs, una omnes fistulae pate∣ant: quanto tempore uacua reddetur cisterna? Haesi∣tatio haec superiori similis est: et simili modo soluenda, praeter{quam} {quod} illic de horis integris, hic de unius horae par∣tibus quaesitum est. Verumtamen si quem minutias uita∣re iuuat: id quod plerique omnes, quantum fieri potest: cupiunt: hic quo{que} integrorum more cuncta expediri pos∣sunt: ut horae quadrans uelut integrum quiddam com∣putetur. horae dimidium, quod duos quadrantes con∣tinet: pro duobus integris. hora uero, quae. 4. quadran∣tes capit: pro. 4. integris. Ita minimum numerū, quem unum, duo, et. 4. numerant: inuestigantes, deprehende∣mus. 8. qui numerus omne tempus elabentis aquae com∣plectens diuidendus est. Deinde consyderemus eā fistulā, quae per horae quadrantem totam aquā fundit: per octo quadrantes octies id efficere: quae per horae dimidiū aquā emittit: per octo quadrantes quater id praestare: quae per horae spacium aquam exhaurit: per octo quadrantes bis eam educere: at{que} ita fistulas omnes una patentes per octo quadrātes decies et quater aquā fundere. Sed quia in quę∣stione proposita aqua tantum semel non decies et quater emittenda est: quae proportio est inter. 14. et. 1. eadem erit inter. 8. et aquae exhauriendae tempus. Et permuta∣tim. quę proportio est inter. 14. et. 8. eadem erit inter. 1.

et tēpus aquae effudendę. 14. igitur numerus diuisor erit. Et quia. 8. numerus diuidendus, qui horarū quadrantes numerat: minor est {quam} diuisor: propterea multiplicetur in horarum momenta totidem: quot horae quadrantem ef∣ficiūt. ea autem sunt. 15. Ita surgent. 120. quae si per. 14. secentur: partitionis numerus proferet 8 8/14. totidē nā{que} momentis cisterna uacua fiet.

Quaestio. 29.

AQVAE DVCTVS PER SALIENTEM quatuor horis cisternam implet. Obstruso uero sa∣liente, fistula in cisternae fundo, si tollas epistomium: un∣decim horis emittit aquam. I am si ua cuam cisternam pa∣tefactus saliens impleat: at{que} per idem tempus aperta fi∣stula exhauriat: intra quantum temporis plena erit cister∣na? Ex hoc labyrintho sic tete extricabis. Quia cisternam implendi tempus, quod quatuor est horarum: cum eua∣cuandi tempore, quod est horarum undecim: concurrit: quatuor in undecim ducere oportet: ut unus numerus de utro{que} fiat: qui partes omnes utrius{que} temporis intra se cō∣plectatur. Is autem numerus erit. 44. Et quia tempus implendi celerius est: et euacuādi tardius: obseruare opor∣tet utrius{que} temporis inter se distantiam. Eam autem, si alterum tempus ab altero subducas: numerus restans in∣dicabit. qui reperietur septem. Ita si numerum ex utrius{que} temporis multiplicatione procreatum diuidas per eorum inter se distātiam: numerus sectionis patefaciet: quot ho∣ris, effluentis aquę tarditatem celeritas influentis asseque∣tur.

Horaeigitur. 44. diuisae per septem, in numero partitio∣nis educunt. 6. horas et 2/7. intra quas cisterna plena erit. Sic omnes horas et implendi et exhauriendi per multipli∣cationem in unum numerum collectas earum inter se dif∣ferentia secabit: ut quaesitum explices. Id{que} ita habere uel ex illa cōsyderatione liquere potest: {quod} saliens quatuor ho∣ris cisternam implens una hora quartam eius partem red∣dit plenam. fistula autem, quę undecim horis aquam edu∣cit: una hora partem undecimam eiusdem quartae partis exhaurit. Ideo ut sciamus: quātum una hora conferet ad implendum: ab una quarta parte pars una undecima sub∣ducatur: et supersunt 7/44. quę minutię restantes indicāt: quot partes cisternę una hora implentur. nempe de qua∣draginta quatuor partib{us} solę septem. Quoties ita{que} septē in. 44. habentur: totidem horę requiruntur ad cisternam implendam. Nam sicut septem cisternae partes se habent ad. 44. quę sunt omnes eius partes: sic una hora, qua sep∣tem cisternę partes implentur: ad illū horarum numerum, quo tota plena erit: se habere debet. Et permutatim, sicut septem partes cisternę se habent ad unam horam: ita. 44. quę sunt omnes cisternę partes: ad eum horarum nume∣rum, quo poterit impleri. 〈 math 〉〈 math 〉

Quęstio. 30.

TVRRIS EXSTRVENDA EST: CVIVS altitudo erit quadraginta cubitorum. singula latera

exterius latitudinem habebunt cubitorum uicenum. inte∣rior autem habitatio ad usus hominum per singula latera cubitos patebit quindenos, cōuenit{que} cū operis redemp∣tore, singulos aureos in singulos cubitos 〈…〉〈…〉ri. quanti igi∣tur constabit totius turris substructio? Ad hoc quaesitum peruestigandum, in primis quia latera omnia paria sunt: eorum latitudinem in se multiplicare oportet. et surgent quadringenta. Deinde numerus ille ex latitudinis ductu procreatus rursus in altitudinē ducendus est: et proueniēt sexdecim millia, tot aureis constaret turris: si esset solida: nihil{que} haberet concaui. Caeterum quia interna habitatio per singula latera cubitos patebit quindenos: ipsam con∣cauitatem in se multiplicare oportet. unde prodibunt du∣centa uiginti quin{que}. Qui numerus ex cōcauitatis in se du∣ctu creatus denuo in altitudinem ducēdus est: at{que} ita ex∣ibūt nouem millia. tot cubitos capit uniuersa concauitas. quae si dematur de turris soliditate: quae sexdecim millium cubitorum erat: restabunt septem millia. tanti constabit absoluta turris.

Quęstio. 31.

MVRVS ERIGENDVS EST: QVI MIL∣le cubitos in longitudinem porrigetur. surget autem in altitudinem cubitos quadraginta. at crassitudo erit cu∣bitorum quin{que}. Is fiet ex lapidibus sectis: quorum unus∣quis{que} dimidij cubiti longitudinem habebit: latitudinem partis tertiae unius cubiti: crassitudinem partis quartae.

Quot eiusmodi lapides muro exstruēdo sufficient? Haesi∣tatio haec sic extricabitur. Muri longitudinem, quae cubi∣torū est mille: in altitudinem, quae quadraginta est: mul∣tiplicare

oportet. et surgēt quadraginta millia. qui nume∣rus procreatus rursus in crassitudinem, quae quin{que} cubi∣tosimplet: ducendus est. et prouenient ducēta millia. tot cubitos tenet tota muri quadratura. Similiter lapidum di∣mensio, quae constat ex minutijs: in se multiplicanda est. ½ ⅓ ¼ et prodibit una uicesima quarta unius cubiti. quae secti cuius{que} lapidis dimensionem capit. Iam ut scias: quot lapides murum consummabunt: per lapidū dimen∣sionem minutias habentem 1/24 diuidere oportet muri quadraturam: quae ex integris numeris constat. 20000/1. Vnde creabuntur quater millena at{que} octingenta millia. 4800000. toties enim in muri quadratura dimensio lapi∣dum reperitur. At{que} ideo tot lapides muro erigendo suffi∣cient.

Quęstio. 32.

QVATVOR ARCHITECTI AD PRAE∣torium aedificandum euocantur. primus uno anno confectum opus dare spondet. Secūdus biennio. Tertius triennio. Quartus quadriennio. Iam si una omnes aggre∣diantur opus: quanto tempore absolutum erit praetoriū? Quęstio haec similis est illi de cisterna tres habēte fistulas: et simili modo soluenda. Nam minimus numerus in pri∣mis inquirendus est: quem hi numeri, unum, duo, tria, et quatuor numerant. Hunc autem inueniemus, duodena∣rium, qui numeros illos omnes, a quibus numeratur: se∣paratim exstruēdi operis tempus numerantes, intra se cō∣plectitur.

at{que} ideo annotandus est: ut sectionem subeat. Illud postea animaduertendum est. Qui annū poscit: an∣no integro rem absolutam dabit. Qui biennium petit: an∣no uno operis dimidium conficiet. Qui triennium: anno uno tertiam operis partem eriget. Qui quadrienniū: an∣no uno quartam aedificabit. Deinde quoniam omnes ar∣chitecti operas suas in unum conferunt: omnes numeri comprehensi in integro illo et eius partibus, quas numeri eum numerantes denominant: perscrutādi sunt: et simul addendi. quo fiet: ut cum duodenarius numerus minimus integer existat: qui ab uno, duobus, tribus, et quatuor numeratur: qui{que} ½ ⅓ et ¼ habeat: pro uno anno inte∣gro numerus ipse integer sumendus sit. Et cum eius dimi∣dium. 6. contineat: tertia. 4. quarta. 3. numeri illi, sex, quatuor, et tria, qui denominatis illis partibus sunt inclu∣si: ad. 12. addantur, et fient. 25. qui numerus tēpus nu∣merat: quo omnes architecti simul operas conferunt. Hic diuisor erit: et numerum illum. 12. in se at{que} in suis parti∣bus numeros additos includentem, separatim{que} aedifican∣tium tempora complectentem, secare debet. Ita tempora separatim extruendi operis uno anno comprehensa, per tempus iunctim erigendi diuidētur. Nam cum numerus duodenarius complectatur omne tempus operis separa∣tim extruendi: architectus, qui uno anno prętorium ędi∣ficabit: duodecim annis duodecies id absolueret. qui bien∣nio id çomplebit. 12. annis sexies id efficeret. qui triennio 12. annis quater opus erigeret. qui quadriennio. 12. annis ter opus consummaret. at{que} ita una omnes architecti. 12.

annis uicies et quinquies opus absoluerent. Sed quia in quęstione proposita opus tantū semel non uicies et quin∣quies fieri debet: ideo quae proportio est inter. 25. et. 1. eadem erit inter. 12. et tempus finiendi operis. Et permu∣tatim, quę proportio est inter. 25. et. 12. eadem erit inter 1. et operis finiendi tēpus. Ita{que} per. 25. secare. 12. opor∣tet. et quoniam numerus diuidendus diuisore minor est 12. quae annos numerāt: in. 12. menses, quae partes sunt unius anni: ducantur. et prodibunt. 144. quae secta per 25. reddent menses. 5. et 19/25. quo tempore praetorium omnes consummabunt. 〈 math 〉〈 math 〉

QVAESITVM explicari facilius potuisset: si unū in∣tegrum non fuisset admixtum. sicuti in fistularum quęsti∣one diximus.

Quęstio. 33.

DVO ARCHITECTI suscipiunt opus faciendū: quorum alter diebus triginta solus id perficeret. Al∣ter solus diebus quadraginta. Hi, quo celerius rem fini∣ant: tertium architectum accersunt: at{que} omnes una con∣ferentes operas, diebus quindecim totum opus conficiūt. Quaeritur, quot diebus tertius accersitus id solus effecis∣set? Vt rem abstrusam eruamus: principio excutere opor∣tet: quantum illius operis uno die, primorum duorum uter{que} pro parte sua fecit. Et quidē scitu facile est: si quin∣decim illos dies facti ab omnibus operis per utrius{que} dies, quibus solus id absoluisset: seorsum diuidamus. Ita si di∣es

quindecim per dies primi triginta secemus: cum maior numerus sit diuisor minor diuidendus. eae minutiae pro∣deant: necesse est. quas numerus diuidendus factus nu∣merator, et numerus diuisor denominator effectus crea∣bunt. uidelicet 15/30. quę ad minimam nomenclaturam re∣dactę faciunt ½. tantum de illo opere primus uno die fe∣cit. Similiter dies secundi. 40. secantes. 15. procreāt 15/40. quae faciunt ⅜. tantum de illo opere secūdus uno die per∣egit. Iam uero si ½ et ⅜ simul addantur: colliguntur ⅞. tantum uno die de illo opere ambo confecerunt. reliquum fecit tertius. Quantum autem id sit: scies: si ab uno die, quo simul omnes opus faciunt: subducas opus a duobus primis factum: nempe ⅞. ita supererit ⅛. quae minutiae restantes indicāt octauam operis partem uno die a tertio factam esse. Quod cum est compertum: uidendum est: quoties in quindecim illis diebus totius operis facti, mi∣nutiae illae, quae tertij opus demonstrant: contineantur. id, quod e uestigio per sectionem patefiet. nam si per ⅛ quindecim secentur. numerus partitionis proferet centū uiginti. quo dierum numero tertius solus opus consum∣masset.

Quaestio. 34.

TVRRIS CVIVSPIAM PARS TERTIA sub terra latet. Quarta pars sub aqua demergitu••. cubiti sexaginta supra aquam eminent. Ambigi•••• 〈◊〉〈◊〉

cubiti in terra sint: quot in aqua. Minimum numerum exquirere oportet: quem partium illarum sub aqua et ter∣ra tectarum denominatores numerant. Is autem si deno∣minator alter in alterum ducatur: inuenietur. 12. qui nu∣merus non solum latentes illas turris partes intra se com∣plectitur: sed totum etiam turris corpus: cuius illae sunt partes. Qua ratione partes quo{que} caeteras eminentes uni∣uersas capit. Ita{que} si a tertia et quarta turris parte reliquas separare uolumus: subducamus a. 12. ambas illas sub a∣qua et terra latentium partium denominationes. quae fa∣ciunt. 7. et restabunt. 5. partes reliquę de. 12. Hae autē partes sunt supra aquam exstantes. quae cubitos. 60. in se continent. Iam uero post{quam} comperimus: omnes turris partes esse. 12. at{que} earū quin{que} capere cubitos. 60. Sci∣tu facile est: quot cubiti sint in tota turri. Nam sicut tur∣ris partes. 5. se habent ad partes. 12. quae sunt uniuersae: sic cubiti. 60. ad eum cubitorū numerum qui in tota turri continentur: se habere debent. Et permutatim, sicut par∣tes. 5. turris se habent ad cubitos. 60. quos cōtinent: sic partes. 12. quae sunt uniuersae: ad eum cubitorum nume∣rum, quos tota turris capit. Igitur designatis in eum ordi∣nem proportionibus, ut primo loco sint. 5. secundo. 12. tertio. 60. quatuor proportionalium regula deprehēdit in tota turri cubitos. 144. contineri. 〈 math 〉〈 math 〉

Deinde cubitorum numerus, quos tertia pars sub terra tegit: facile eruitur: si numerum uniuersorum turris cubi∣torum diuidas in tria. sectionis enim numerus. 48. cubi∣tos profert. qui sub terra latent. Eadem facilitate inuenire

licet numerum cubitorū, quos pars quarta sub aquis de∣mersos tenet: si uniuersos turris cubitos in quatuor seces. Nam numerus partitionis educet. 36. Itidem si uniuersū cubitorum numerum uidelicet. 144. in partium uniuersa∣rum numerum nempe. 12. diuidas: in numero sectionis 12. surgent. Ex quo scire licet. 60. cubitos. 5. partes totius numeri capere. quinquies enim. 12. creant. 60.

Quaestio. 35.

ROMAM EX BRITANNIA QVISPIAM proficiscens singulis diebus uiginti millia passuum conficit. Septimo post die alter iter ingressus triginta tria passuum millia quottidie progreditur. Quot diebus illū praecedentem hic sequens assequetur? Vt rem confestim explices: spacium in primis annotare oportet a priore cō∣fectum: ante{quam} posterior profectus est. id est centū uigin∣ti millia passuum, sex diebus confecta. Quae summa diui∣denda est. At illud spacium, quod quottidie posterior am∣plius {quam} prior conficit: diuisor nobis erit. Id autem est tre∣decim millia passuum. Ita si centum uiginti per tredecim secemus: deprehendemus in numero sectionis, nouē dies et tres tertiasdecimas. per quod tempus posterior priorē consequetur. 〈 math 〉〈 math 〉

Quęstio. 36.

NAVIS EX BRITANNIA IN PALESTI∣nam proficiscens singulis diebus septuaginta millia passuum procedit: noctibus uero reflante uento, retro a

cursu suo quindecim millia reijcit••r. Iam cum tota naui∣gatio quater millena millia passuū capiat: quando in Pa∣lestinā appellet nauis? Facile id extri••atu est. nam noctur∣na milliaria a diurnis deducenda sunt. et summa restans, quae cursū nauis indicat: diuisoris partes subibit: per quā secare oportet totius nauigationis numerū. nempe, 4000. Ita sectionis numerus demonstrabit, septuaginta duobus dieb{us} et quadraginta quinquagesimis quintis nauigatio∣nem hanc absolui posse. 〈 math 〉〈 math 〉

Quęstio. 37.

CVRSOR AB EBORACO LONDINVM proficiscens, quin{que} diebus iter conficit. At alter ma∣gis expeditus a Londino Eboracum tribus diebus excur∣rit. Si eodem tempore uter{que}, alter a Londino, ab Ebora∣co alter discedit. intra quantum tempus occurret alter al∣teri? Ad hoc quaesitum eruendum, ex his duobus cursoris utrius{que} temporibus, laterum uicem subituris per multi∣plicationem alterius in alterum, unum numerum produ∣cere oportet: qui itineris ab utro{que} separatim conficiendi uniuersum tempus per multiplicationem coaceruatū in∣tra se complectatur. tria igitur in. 5. ducta. 15. progene∣rabunt. qui numerus annotandus est: ut sectionem pati∣atur. Deinde quia uter{que} uno tempore iter facit: utrius{que} tempus simul est addendum. et per summam ex hoc sur∣gentem: quę est. 8. continuo diuidere oportet numerum illum. 15. productum. Ita sectionis numerus tempus oc∣cursus monstrabit. Id{que} ita esse hac consyderatione depre∣hendemus.

{quod} qui quin{que} diebus iter peragit: uno die con∣ficit partem eius quintam. qui tribus diebus: uno die ter∣tiam. Quocirca numeri inclusi in producti numeri parti∣bus illis denominatis, quas uter{que} uno die conficit: inue∣stigandi sunt: et simul addendi. Quo fiet: ut cū de quin∣decim quinta pars tria, tertia quin{que} capiat: quin{que} et tria simul addātur: et surgent octo. quae summa tempus utri∣us{que} itineris una conficiendi numerat. Is diuisor erit. Nam numerus intra se complectens separatim peragendi itine∣ris tempora in se multiplicata secabitur per numerum iti∣neris una conficiendi. Et quoties hic in illo deprehende∣tur: tot dies ad cursorū requiruntur occursum. Ita si quin∣decim per octo diuidantur: partitionis numerus unum diem et septem octauas proferet. quo tempore in itinere alter alteri occurret. 〈 math 〉〈 math 〉

ALIA etiam consyderatione rem ita se habere facile sci∣ri potest: {quod} in quindecim illis diebus ex utrius{que} tempore in se multiplicato productis alter cursor quinquies, alter ter iter absoluisset. Qua ratione ambo una octies per id tempus iter confecissent. Verumtamen quia in quaestione proposita ambo semel, at non octies, iter sunt facturi: quę proportio est inter. 8. et. 1. eadem erit inter. 15. et tem∣pus occursus. Igitur secundum regulam quatuor propor∣tionalium per. 8. secantes. 15. in numero secttionis inue∣niem{us} 1 ⅞.

Quaestio. 38.

SPACIVM EST: QVOD EXPEDITVS cursor uno die ter cōficit. Alter paulo segnior uno die bis illud permeat. si alter alteri obuiam eodem tēpore pro∣deat: quando inter se occurrent: Si rem bene consyderes: quoniam unus dies totum tempus utrius{que} itineris pera∣gendi intra se complectitur: diuidere oportet unum diem per tempus utrius{que} simul additum. quod in summa facit quin{que}. ex qua sectione proferet una diei pars quinta: quae tempus occursus indicabit. Id{que} ita esse ex hoc apparebit: {quod} qui ter uno die spacium transcurrit: tertia diei parte se∣mel id conficit. qui uero bis uno die id facit: dimidio diei id complet. Secundum ita{que} ea, quae pręcepta sunt quęsti∣one proxima: si ½ ducatur in ⅓. exit ⅙ diei: in qua alter ½ sui itineris, alter ⅓ expediet. Deinde quia ambo simul iter faciunt: amborum itinera simul addantur: hoc est ½ ad ⅓. et summa surget ⅚. in quibus simul ambo quinquies ⅙ sui itineris in ⅙ diei parte facient. Cęterum quia in quęsti∣one proposita ambo tantum semel ⅙ sui itineris in ⅙ diei parte sunt facturi: quae proportio est inter ⅚ et unitatem: eadem erit inter ⅙: et tempus, quo inter se occurrent. Igi∣tur secundum regulam quatuor proportionalium, per ⅚ secantes ⅙, in numero sectionis deprehendemus 6/30. quę ad minimam nomenclaturam redactę faciunt ⅕. qua diei

parte ambo inter se occurrent.

Quęstio. 39.

PATERFAMILIAS MINISTRO QVATV∣or aureos tradit: iubet{que} emi piperis, zingiberis, amyg dalarū, et saccari tot libras ęquali numero: quot ea pecunia suppeditare potest. Minister cū pharmacopola haelitat: quot librae de singulis generib{us} sumi debeāt. Negocu hoc sic extricabis. In primis animaduerte: quanti una libra ge∣nerum singulorum in pecunia minutiori constabit. ea{que} ipsa unius librae singulorum precia simul adde. is nume∣rus futurus est diuisor. Deinde in eum pecuniae eiusdem minutioris numerum: quo precium unius aurei soler ęsti∣mari: quatuor aureos multiplicare oportet: numerum{que} ex hoc enatum per diuisorem secare. Ita sectionis nume∣rus rem totam patefaciet. Exempli gratia. Esto piperis li∣bra uendatur nūmis sexdecim. zingiberis decem et octo. amygdalarum duobus. saccari quatuor. Precia haec simul adde. et surgent. 40. Tum quia unus aureus centum nū∣mis aestimatur: quatuor aureos in numerum centenarium multiplica. et quadringenta produces. quae secta per qua∣draginta, educent decem. tot libras singulorum generum referunt aurei quatuor. Ratio est in promptu. Nam cum de uno quo{que} genere, singularum librarum precia in vnū diuisorem sint coaceruata: necesse est: quoties is in diui∣dendo comperietur: tot librae cuius{que} generis prodeant aequali numero. 〈 math 〉〈 math 〉

Quęstio. 40.

AVRI LIBRAM QVISPIAM MINIS∣tro tradit in uiliorem pecuniam ab argentario per∣mutandam, et cum auri libra cōstet ex aureis quadragin∣ta octo: aureus autem capiat denarios viginti quin{que}: qui∣narios quinquaginta: nummos sestertios centum: ex sin∣gulis aequalem numerum, quantus haberi potest: sibi iu∣bet referri. Minister cum argentario deliberat: quot de quo{que} genere nummismata sumi debeant: ut numeri ser∣uetur aequalitas. Haec hęsitatio proximę, quam modo ex∣plicauimus: similis est: et simili modo soluenda. Exqui∣renda nam{que} erit aliqua pecunia uilior: {quam} sint ulla num∣mismata in quae fit commutatio. at{que} in eam singula cu∣ius{que} generis nummismata, quae pluris valent: redigenda sūt. {QUOD} si nulla minutior in vsu reperitur: fingamus vilio∣rem: at{que} in eam nummismata, quę nobis reddi volumus: redigamus. Et quoniam apud ueteres nūmus sestertius, qui de optatis est minimus: decē aereis quadrantibus ęsti∣mabatur: vniuersa nummismata soluamus in quadran∣tes. Sic ex aureo in quadrantes ducto prodeunt. 1000. ex denario. 40. ex quinario. 20. ex nummo sestertio. 10. Omnes deinde hi numeri simul sunt addendi: et surgent 1070. qui numerus cuius{que} generis unum nummisma cō∣tinet. Hic diuisor erit. Postea aùri libra in ipsos ęreos qua∣drantes multiplicetur: et fient. 48000. quem numerum productum si per diuisorem secabis: sectionis numerus quadraginta quatuor integra proferet. Totidem enim et non plura cuius{que} generis nūmismata aequali numero mi∣nister ex auri libra referre potest. Caeterum minutiae ad∣huc supersunt, noningenti viginti quadrantes. qui quo∣niam

singulorum nummismatum aequalem numerū prae∣stare nequeunt: pro arbitrio in quamlibet pecuniam com∣mutandi sunt. Aureum hic sumo: quales Romani veteres fuerunt. quorum pleri{que} adhuc exstant: at{que} instar gem∣marū in precio habentur. quales{que} nostrates Nobiles ro∣sati: qui veteribus Romanis pōdere respondent: auri ve∣ro indicatura paululum quiddam cedūt: cum ueteres Ed∣uardei nostrates et indicaturam et pōdus veterū Roma∣norum referant. 〈 math 〉〈 math 〉

Questio. 41.

SOCIETATEM TRES IN ANNVM INI∣erunt. Primus aureos sexaginta contulit: menses{que} tā∣tum sex in societate mansit. Secundus aureorum summā attulit: quę septem menses socijs communis fuit. Tertius suos aureos in medium prolatos quin{que} mensibus cū cae∣teris communicauit. Lucrum ex his partum est, quod di∣uidunt aequaliter. quaeritur quot aureos secundus: quot tertius in societatem intulit? Nodum hunc sic solues. Cū singulorum pecuniae suos menses habeant: primi aureos sexaginta in numerum suorum mensium, quibus commu∣nes fuerunt: multiplica. et surgent. 360. Deinde lucrum aequaliter diuisum indicat etiam aliorū aureos in suos mē∣ses multiplicatos, qui lucrum pepererunt: eandem fecisse

summam: quae primi mensium et pecuniae erat. Quare si utrius{que} aureorum summam a numero suorum mensium sepa••are voles: summam illam ex primi mensium et pecu∣niae multiplicatione collectain bis diuide: semel per men∣ses secūdi, qui sunt. 7. et numerus sectionis pecuniam ab illo collatam indicabit. 51 3/7. Iterum{que} per tertij menses 5. et partitionis numerus aureos ab eo cōmunicatos ma∣nifestabit. 72.

Quęsto. 42.

IN SACCVLO COMMVNEM AVREORVM summam tres habebant: quorum unusquis{que} suae sum∣mae numerum ignorabat. Verumtamen eorum primus so∣cios suos sciebat ambos centū et quinquaginta aureos ha∣bere. Secundus cognoscebat alios ambos habere ducen∣tos et quadraginta. Tertius reliquos habere trecentos ui∣ginti sex. Aperto deinde sacculo, coniecto{que} illo aureorū numero in grandem alienae pecunię aceruum, haesitant in∣ter se: cum suum quis{que} nesciat: quot aureos in uniuersum omnes, quot{que} singuli repetere debeant. Difficile uidetur explicatu prima facie. Caeterū penitius introspicienti res sese aperit. Nam cum tres sint: et eorū unusquis{que} pecunię alienae numerum sciat: suae nesciat: pecuniae portio, quae ad quem{que} attinet: ab ipso ignorata, cognita est a reliquis duobus. Quare si omnes aliorum numeros ab unoquo{que} cognitos in unum addamus: bis singulorū pecuniam nu∣merus ille tenebit. Collecti autem omnes hi numeri pro∣creabunt septingenta sexdecim. qui numerus uniuersam omnium pecuniam bis capiat: necesse est. Quo fit: ut di∣midium

eius aureorum numeri, qui ex sacculo effusus est: demonstret. Is autem est. 358. Ea summa est omniū aure∣orum. Deinde si scire libet: quot aurei ad primum attine∣bant: a dimidiato illo numero, qui omnium aureos capit: subtrahe summam, quam ipse duos reliquos habere scie∣bat. ita relictus numerus aureos eius indicabit. 208. Ite∣rum si ab eodem dimidiato numero subducatur numerus: quem secundus reliquos duos habere cognoscebat: rema∣nebunt centum decem et octo. qui numerus aureorum se∣cundi erat. Rursus si ab illo dimidiato numero demas nu∣merum: quem tertius reliquos ambos habere non igno∣rabat: triginta duo restabunt. totidem erant aurei tertij. Certum est argumentum recte supputatum esse: si collecti omnes numeri post subductionem restantes, qui singulo∣rum aureos indicant: summae dimidiatae, quę omniū au∣reos capit: et ex qua fit subductio: respondet.

{QUOD} SI DE QVATVOR PROPOSITA FV∣isset quęstio: quorum quis{que} pecuniam sciuisset aliorum: suam ignorasset. quia pecuniae portio, quę ad quem{que} spe∣ctasset: ab ipso ignorata, a reliquis tribus cognita fuisset: summae omnium cognitae in unum additae ter pecuniam omnium collegissent. at{que} ideo numerus ille ex omnibus collectus in tria secādus fuisset: ut numerus sectionis om∣nium pecuniam mōstraret. Ex quo sectionis numero sin∣gulorum deinde partes per subductionem inuestigandae fuissent: eo modo quo dictum est. Itidem si de quin{que} fu∣isset sic inquisitum. quia pecuniae portio ad quem{que} spe∣ctans ab ipso ignorata, a quatuor reliquis fuisset cognita: numerus ex cognitis summis coaceruatus pecuniam cō∣munem

quater tenuisset: at{que} in quatuor fuisset secandus: ut omnium pecuniam patefaceret. Eodem modo si sex fu∣issent: per quin{que}. si septem: per sex secandus fuisset colle∣ctus ille numerus: {quod} toties caperet singulorū pecuniam. et sic deinceps in infinitum. quęrendae{que} essent per subdu∣ctionem partes singulorum eo modo, quo diximus.

Quęstio. 43.

SACERDOTEM TENENTEM IN CRV∣mena pecuniā pauperibus erogandā mēdici tres ade∣unt. Is eorum inopiae misertus dimidium illius, quod in crumena erat: primo mendico contulit: et duos praeterea nummos. Secundo uero donauit eius, quod relictū erat: dimidium: at{que} ultra id nummos tres. Tertio quo{que} supra dimidium eius, quod restabat: quatuor nummos dedit. Quo factum est: ut unicus nummus superesset. Libet in∣uestigare: quot nummi in crumena erant. Multo facilius est enarratu: {quam} prima fronte uidetur: si a tertio mendico numeros ordine retrogrado colligere incipias. Nam si ad unicum nummum in crumena relictū addas quatuor: fiēt 5. quos propter dimidiū tertio praeter eos a sacerdote do∣natum duplicare oportet. sic prodeunt. 10. His tres nū∣mos secundo ultra dimidium donatos addere debemus. et surgent. 13. quos propter dimidium a sacerdote ei collatū duplicare est opus. Qua ratione. 26. fiunt. His si rursus duos nūmos supra dimidium primo datos addas: creabis 28. quos ipsos etiamnū duplicare necesse est propter di∣midium primo datum. sic deni{que}. 56. enascuntur. qui nū∣morum numerus in crumena erat. Id{que} ita habere proba∣bis:

si numerum illum collectū eo ordine distribuas: quo sacerdos fecit. Quippe si primo dones dimidium: super∣sunt. 28. ex quibus si duos amplius ei eroges: restāt. 26. Iterum eos propter secundum dimidia. et manent. 13. de quib{us} tres ei supererogati relinquūt. 10. Eos rursus prop∣ter tertium dimidia: et reliquos habes. 5. quorum si. 4. ei conferas: unicus nummus restabit.

Quaestio. 44.

QVI AVREOS EX REGIO CVBICV∣lo surripuerat: suspectus ab hostiario furti, et de∣tentus, eorū dimidium, ut elaberetur: elargitus est. hosti∣arius insontem putans duos aureos ei reddidit. Iterum se∣cundus hostiarius, illum suspectum habens, exitu prohi∣buit. cui fur dimidium eius, quod superfuit: obtulit. Is quo{que} insontem existimans redditis aureis. 4. illum dimi∣sit. Rursus illum palacio exeuntem portę ianitor compre∣hendit. Huic etiam fur dimidium eius, quod restabat: ue∣lut cani offam obiecit. At is caeteris benignior dimisso sex aureos restituit. sic demum fur elapsus aureos tantum. 12. ex furto deportauit. Inuestigem{us}: quot aureos in uniuer∣sum surripuit? Res sic extricabitur: quēadmodū in proxi∣mo quaesito: ut ordine retrogrado a postremo ad primum tendamus: nisi {quod} illic ad singulas duplicationes, propter aureos supererogatos, additione opus erat: hic ad singu∣las duplicationes, propter aureos restitutos, subductio necessaria est. Ita{que} si a. 12. illis aureis ex furto deportatis 6. a ianitore restitutos demas: supersunt. 6. quę, prop∣terea {quod} tertio fur dimidium dedit: duplicare oportet. et fi∣ent.

12. Ab his propter. 4. a secundo hostiario restitutos subtrahamus. 4. sic. 8. remanebunt. Ea deinde ideo du∣plicemus: {quod} secundo fur dimidium contulit. ita surgunt 16. A quibus. 2. ob id deducenda sunt: quia primus ho∣stiarius. 2. reddidit. Qua ratione relinquūtur. 14. et quo∣niā primo hostiario furti dimidium oblatū est: ea dupli∣centur. et prodibunt. 28. qui numerus uniuersos aureos surreptos capit. Vt autem probemus non errasse calculū: cōuerso ordine numerum hunc ad furis exemplum distri∣huamus. et de. 28. primo hostiario dimidium, quod est 14. offeramus. Is nobis reddat. 2. et fient. 16. Horū di∣midium secundo hostiario demus: nempe. 8. qui nobis 4. restituat. sic habentur. 12. Eorum deinde dimidium quod est. 6. tertio ianitori offeramus. Is. 6. reddat. et rur∣sus fient. 12. quae ex uniuerso furto restabant. Ad eūdem modū res explicabitur: si cuipiam inuestigare libet: quan∣tum sibi quis{que} hostiariu•• retinuit. Liquet nam{que} primum hostiarium. 12. sibi seruasse: secundū. 4. tertium ianito∣rem retinuisse nihil.

Quaestio. 45.

Q VANDO ROTAE LINEA DIMETI∣ens, quam Gręci diametron uocāt: septem pedes habet: quantus erit ambitus apsidis extremę? et quoties in mille passibus rota circūuoluetur? In primis obseruare oportet Geometrica ratione ab ARCHIMEDE de∣prehensum esse, diametrum tertiam circuli partem et ter∣tię paulominus septimam comprehendere. Nam dimeti∣ens (ut ille ait) si in partes septuagesimas secetur: capit ul∣tra tertiā circuli partem, minus {quam} decem septuagesimas:

quae partem septimam faciunt. At si in septuagesimas pri∣mas diuidatur: ultra tertiā circuli partem plus capit {quam} de∣cem septuagesimas primas: quae partes sunt septuagesi∣mis minores: nec septimam partem implent. Propius ac∣cedere non potuit ARCHIMEDES, tametsi multa conatus: ut diametri ad circulum rationem inueniret. quae si comperta esset: iam quadratura circuli fuisset inuē∣ta. quam assequi desperarunt pleri{que} omnes philosophi: qui adhuc fuerūt. et in primis ARISTOTELES ipse.

Vltra ARCHIMEDEM penetrare nemo hactenus potuit. Ita{que} cum omnis circulus ter diametrū et diame∣tri paulominus septimā colligat: sed quantulo minus ad∣huc non sit compertum: illud faciamus: quod Geometrae solent: ut pro septima, cui paululum deest: septimam su∣mentes integram, perinde computemus: ac si demetiens tertiam circuli partem, et tertię septimam capiat. Qua ra∣tione si extremae apsidis ambitum ex diametro colligere uelimus: multiplicare oportet septem: qui numerus est diametri: in tria, et numero producto adddere unam sep∣timam. Ita fient uiginti duo. quae ratio erit apsidis rotae ad diametrum. et tot pedes una circumuolutio capiet. Quod post{quam} exploratum est: per numerum illum. 22. secare oportet illum pedum numerum: quem mille paf∣sus continent. Is autem est quin{que} millia. Nam passus: ut ait COLVMELLA: quin{que} pedes habet. Quo fiet: ut sectionis numerus. 227 6/22 proferat. quae faciunt 3/11. Toties fere circumuoluetur rota in mille passibus. Propi∣us id sciri nō potest propter certam diametri ad circulum

rationem adhuc incompertam. Et uix tandem in immen∣so spacio deprehendi potest error.

Quaestio. 46.

QVIS NON PVTARET NORMAE FA∣bricandę artificiū delegandū esse fabris? At emen∣datae normae faciendae ratio tota pendet a numeris. quam PYTHAGORAS inuenisse traditur. Ea autem est hu∣iusmodi. Porro si sumantur regulae tres: e quibus una lō∣ga sit pedes tres: altera pedes quatuor: tertia pedes quin{que}. Hę{que} regulę inter se compositae summis cacuminibus alia aliam tangant: trigoni habebunt speciem: et normam emendatam formabunt. Nam secundum EVCLIDIS regulam ubi quod ab uno trianguli latere in se ipsum du∣cto producitur: ęquale reperitur duobus quadratis: quae a duobus reliquis lateribus describuntur: rectus est angu∣lus cui latus illud opponitur. Ita{que} si hui{us} trigoni singula latera in se ipsa multiplices: numeros{que} ita procrees qua∣dratos. qui ex his maximus erit: tantum in se continebit: quantum duo reliqui quadrati simul additi. quippe tria in se ducta educunt nouem. quatuor{que} item in se multiplica∣ta sexdecim. qui numeri in unū additi uiginti quin{que} pro∣ferunt. At si quin{que} in se ipsa ducantur (quod latus e tri∣bus maximum est) itidem enascentur uiginti quin{que}. qui numerus aequalis est duobus quadratis reliquis. Id PY∣THAGORAS cum inuenisset: non dubitans se a mu∣sis in ea inuentione adiutum, hostias his immolauisse di∣citur. Ab illo igitur certa ratio normam fabricādi per nu∣meros deprehensa est: cum ante eum fabri normam faci∣entes

uix magno labore rem ad uerum perducerent. Nihil autem refert: quod mensurę genus numeretur ab ipsis nu∣meris normam efficientibus. Nam siue unciae fuerint: siue palmi, siue pedes, siue cubiti, siue aliud quidlibet: eo∣rum summa cacumina simul coeuntia normam deforma∣būt. Iam quod hi numeri primarij, tria, quatuor, et quin∣{que}, in quibus normę ratio primum inuenta fuit: perficiūt: itidem id praestabunt omnes numeri maiores eandem ra∣tionem habentes. cuiusmodi sunt triginta, quadraginta, quinquaginta. quorū qui maximus est: in se ductus qua∣dratum producet aequalem duorum reliquorū quadratis. 〈 math 〉〈 math 〉

EXPLICITVS EST LIBER TERTIVS DE VARIIS NVMERORVM QVAE∣STIONIBVS EXPLI∣CANDIS. SEQVITVR LIBER QVARTVS DE PROPORTIO∣NIBVS.