De arte supputandi libri quattuor Cutheberti Tonstalli

CVTHEBERTI TONSTALLI IN LIBRVM SECVNDVM PRAEFATIO.

MVLTI QVI IN SVPPVTANDIS integris nihil haerent: post{quam} ad numerādas partes, quae nus{quam} non sunt obuiae: uentum est: libellos abijciunt: non aliam (opinor) ob causam: {quam} {quod} nō sit tam expedita partium {quam} integrorum numeratio. qui si secordia abiecta, animum intenderent: cuncta, quę per nimias delicias corruptis animis ardua uidentur: re∣perirent prona. Nam ut integrorū numeratio pene a ne∣mine ignoratur: qui modo sensum communem habet: et eam uult perdiscere: sic quae de partibus numerandis tra∣duntur: ut non admodū acutam mentis aciem requirunt: ita poscunt hominem nec dormitantem, nec stupidum: et cuius animus inter legendū minime peregrinetur. Et quā∣uis haec non, sicut AESOPI fabellę, cum quadam uo∣luptate penetrent intellectum: propterea tamen studiosis nequa{quam} est cessandum. Cogitent quemadmodum pul∣cherrimis quibus{que} difficultatem prętexuit rerum ipsa na∣tura: quae nihil, quod est magnum: cito prehendi uoluit. simul{que} secum reputent: quantus in tota uita pro tantillo studio percipietur fructus. Nam quis (quęso) mortalium uitam sic potest transigere: ut non sit ei frequenter haben∣da supputatio. in qua labi et decipi, praeter{quam} {quod} damno∣sum est: ridiculum putatur. Verumtamen hanc, quam nunc aggredimur: partium supputationem non magno egere acumine, uel hinc licet cognoscere: {quod} mercatores in

hac nihil cedunt philosophis. et nescio an longe superent. adeo magis industriam, {quam} ingenium postulat. Illud om∣nino praefandum esse duximus. Quisquis integra suppu∣tare nescit: is ne partium calculum putet se posse discere. Quippe, qui nimium ingenio fretus ordine praepostero stolidus id tentabit: is simile quiddam facere uidebi∣tur: ut si quis ignorans literas moliretur legere. Quamobrem illa omnes in promptu prius tenere debēt: {quam} ad haec accingantur. Alio∣qui, ut in ada∣gio est: et operā et oleum perdent.

DE PARTIVM NVMERATIONE.

OMNE INTEGRVM IN PAR∣tes, quotcū{que} uelis: solui per intellectū potest. et quemadmodum integrorum numeratio ab uno incipit: at{que} in infi∣nitum potest extendi: sic integrorum sectio a secūdis orditur partibus. (Ne{que} enim in pauciores partes {quam} duas quic{quam} dissolui posse re∣rum natura patitur.) In infinitum autem protenditur ar∣bitrio secantis. Iterū partes ipsas in alias particulas, at{que} eas quidem innumeras, intellectus soluit. Particularum{que} ipsarum rursus alia fragmenta excogitari possunt: ut res finem habitura non sit: si cui minutias cōsectari libet. Ad eiusmodi autem partes recte numerādas duo omnino re∣quiruntur numeri. Alter qui partes dissectorum numeret. quem Arithmetici numeratorem appellant. qui quot in se capit unitates: tot partes dissecti nobis repraesentat. Al∣ter qui partibus ipsis sua nomina tribuat. denominato∣rem eum uocant: {quod} quot unitates in se contineat: in tot partes totū quidpiam diuisum esse denotet. Vtpote, tres quartę. quę sunt tres partes alicuius integri in quatuor di∣uisi. Scribuntur autē ita partes: ut numerator supra breuē lineam ductam: denominator infra eam ponatur, ad hūc modum. ⅔ ¾ ⅘ numerator{que} semper prius pronun∣ciatur: {quam} denominator. ut dicamus. duę tertiae. tres quar∣tae. quatuor quintae.

VERVMTAMEN harum minutiarum quaedā sim∣plicia fragmenta dicūtur. hae sunt partes, in quas integra

soluuntur. quaedam fragmentorum fragmenta. quas mi∣nutiarū minutias Arithmetici uocare solent. hae sunt par∣ticulę. in quas rursus partes frangūtur. Nos in hoc libro, sicut partes integrorum simplices, aliquando fragmenta, sępe etiam minutias indiscriminatim uocabimus: Itidem quo{que} appellabimus partium particulas, interdum minu∣tiarum minutias, nonnun{quam} fragmentorum fragmenta. Inter quas species plurimū, cum in scribendo, et in enun∣ciando, tum etiam in multis alijs interest. Nam quae sunt simplices minutiae: sic scribuntur: ut breuis linea supra se numeratorem, infra denominatorem habeat: uti iam dix∣imus. Et si plura simplicia fragmenta scribenda sunt: mo∣dico interuallo distinguntur. ad hunc modum. ½ ⅔ ¾ unicum{que} numeratorem, et unicum denominatorem sin∣gulae habent: et recto casu semper enunciantur. ut dica∣mus una secunda. duae tertiae. tres quartae. Quae uero sunt partium particulae: duos, aut interdum plures et nume∣ratores et denominatores capiunt. Quarum aliae ad sini∣stram ponendae recto enunciantur casu: lineam{que} habent mediam. hę sunt ipsae particulae. Aliae ad dextram locan∣dae, obliquo{que} casu enunciatae media linea carent. hę sunt partes: quarum sunt particulae. ut si duas tertias unius quartę notis scribere uelis: ad hūc modum facias. ⅔ ¼ Id autem significatur: ut sint duae tertiae partes unius partis quartae ab aliquo integro dissectae: quod in quatu∣or partitum est. Vel si tres quartas unius tertiae unius se∣cundae signare cupis: ad hunc modum notes. ¾ ⅓ ½ quod exprimit tres quartas partes unius par∣tis

tertiae alicuius secundae ab integro dissectae: quod in duo diuisum est. Ita{que} dum fragmentorum fragmenta ra∣tiocinator tractat: summopere cauere debet: ne dormitā∣ti obrepat obliuio: quarum partium sint particulae. Neue pro dissectis integrorū partibus partium fragmenta com putet. Nam si id committat: error calculi non mediocris sequetur.

SEMPER autem in omnibus dissectorum minutijs, quo maior denominator fuerit: eo minores erunt partes, remotiores{que} ab integris. et quo fuerit minor: eo partes maiores erunt. at{que} ad integra propius accedēt. Nam duę partes secundae maiores sunt: {quam} duae tertię. et duae tertiae maiores, {quam} duae quartae. et duae quartę maiores, {quam} duae quintae. et sic in uniuersum, quanto magis numerādo cre∣scit denominator: tanto magis quantitate partes dimi∣nuuntur.

AD numerationem autem partium plenius pernoscen∣dam, tria in primis obseruanda sunt. Primum: vt quando∣cum{que} numerator et denominator sunt aequales: tunc par∣tes unum integrū constituant. Exempli gratia. 3/3 5/5 7/7 tres tertiae unum integrum faciunt. sic quin{que} quintae. sic septem septimę. sic id genus reliqua. Alterū il∣lud est: quandocum{que} numerator maior est denominato∣re: quot unitatibus denominatorem numerator superat: totidem partes plures sunt: {quam} quae integrum faciunt. ut nouem octauae integrum et partem octauam faciunt. septem quintę integrum et duas quintas. sex quartae inte∣grum et duas quartas. 9/8 7/5 6/4. Tertium est: ut quan∣docū{que} numerator mi, nor est denominatore:

quot unitatibus numerator denominatore minor est: to∣tidē partes desint ad integrū cōponendum. ut duae tertiae sunt duae partes alicuius integri in tria dissecti: quibus tertia pars deest ad integrū faciendum. Itidem tres quar∣tę quarta parte minus continent: {quam} integrum. ⅔ ¾ At{que} itidem in reliquis similibus.

ITAQVE denominatoris augmentum partes quan∣titate quidem minores, numero uero plures reddit. Quē∣admodum econuerso numeratoris incrementum vel inte∣gra progignit: vel partes multo propiores integris.

AD HAEC cum omnis integrorum inter se multipli∣catio et quantitate et numero maiorem edat foetum: nem∣pe numerum productum. Econtrario in partibus euenit: vt minutię multiplicatę quantitate minores, numero plu∣res comperiantur.

DE PARTIBVS DISSIMILIBVS AD SIMILITVDINEM REDIGENDIS.

CVMIN SVPPVTATIONIBVS FACI∣endis partes aliae alijs maiores, longe{que} dissimi∣les frequenter occurrant: interdum fragmento∣rum fragmenta simplicibus aggregata fragmentis: non∣nun{quam} integra partibus intermixta: ne tam uarium chaos rationes totas conturbet: eiusmodi tam diuersa prius ad similitudinem quandam reducere necesse est: {quam} ea uel ad∣dere, uel subtrahere, vel multiplicare, vel diuidere, quiuis aggrediatur. quo fiet: ut operis aequalitas cūcta tum pro∣na,

tum facilia reddat. Quando alioqui, si quis tam dissi∣milia inter se committere tentaret: in labyrinthum inex∣tricabilem sese ingereret. Igitur ante{quam} illa quispiam moli∣atur: haec, quę de dissimilibus in unam faciem redigendis praecepta sequūtur: prius tenere curet.

SIVE autē maiores partes in minores mutare libet: siue e conuerso minores in maiores redigere: partes quaelibet in quasuis transformantur. si partiū, quas trāsfigurare uolumus numeratorē in denominatorē earū, in quas sunt transformandae: multiplicemus. et numerū ex hoc enatum per earum partium denominatorem, quas transfigurare est animus: diuidamus. Quo fiet: vt parti∣tionis numerus partes illas edat: in quas fit transforma∣tio. Quod quidem solum, eruditis praecipisse suffecerit. Caeterum ut rudium habeatur ratio: utram{que} speciem se∣orsum explicabimus. Ita{que} maiores partes in quasuis mi∣nores transformantur: si maiorum partium numeratorem in denominatorem minorum multiplices: et numerum ex hoc enatum per maiorum denominatorem diuidas. Quo peracto numerus partitionis patefaciet: quot partes mi∣nores ex maiorum transformatione nascuntur. ut si tres quartas ad octauas transformare uelis: per tria, maiorum partium numeratorem, octo, minorum denominatorem multiplices. et prodeunt uiginti quatuor. quae deinde per quatuor, maiorum denominatorem diuidas. et numerus partitionis sex habebit. Ex tribus igitur quartis ad octa∣uas reductis sex octauae consurgunt. Et si duodecim ter∣tias ad quintas transfigurare cupis: duodecim, maiorum partium numeratorem, in quin{que}, denominatorem mino∣rum

ducas: et sexaginta nascuntur. quę per tria, maiorum denominatorē diuidas. et numerus sectionis uiginti cre∣abit. Sic ex duodecim tertijs uiginti quintae generantur. {QUOD} si tres quintas ad septimas uis reducere: per tria, ma∣iorum partium numeratorem, septem denominatorē mi∣norū multiplica. et procreabis uiginti unum. quae postea per quin{que}, maiorum denominatorem diuide. et numerus partitionis quatuor ostendet. unum{que} restabit reliquum: quod unam quintam unius septimae signisicat. Sic ex tri∣bus quintis ad septimas reductis fiunt quatuor septimae, et quinta pars unius septimae. Nam quandocū{que} in eius∣modireductione reliquum occurrit: partis erit particula: denominationem{que} in recto casu a maiorum partium de∣nominatore qui diuisor extitit: sumet. Alterum uero in ca∣su obliquo a denominatore minorum.

MINORES partes e conuerso in quaslibet maiores trāsfigurantur: quando per numeratorem minoris deno∣minator maioris multiplicatur: et numerus inde proueni∣ens per minoris denominatorem diuiditur. tunc enim nu∣merus partitionis palam indicabit: quot partes maiores ex minorum transfiguratione surgunt. ut si sex nonas in tertias quis commutare uelit: per sex minorum partium numeratorem, tria, denominatorem maiorū multiplicet. et creabit decem et octo. quae deinde per nouem, minorū denominatorem diuidat: et in numero sectionis duo com∣periet. Ita{que} ex sex nonis in tertias commutatis duę tertiae generantur. Et si duodecim sextę in quartas sint mutandę: duodecim, numerator minorum partium in quatuor, ma∣iorum denominatorem ducantur: et progignuntur qua∣draginta

octo. ea{que} postea per sex, denominatorem mino∣rum diuidantur. et octo in numero partitionis erunt. Ita duodecim sextę reducūtur ad octo quartas. {QUOD} si septem octauas ad quintas quis reducere cupiat: septem, nume∣ratorem minorū partium, in quin{que}, denominatorem ma∣iorum ducat: et conficiet triginta quin{que}. quae deinde per octo, denominatorem minorum diuidat: et numerus par∣titionis quatuor habebit. et reliquum supererit. tres octa∣uę unius quintę. Quamobrem ex septem octauis in quin∣tas commutatis, quatuor quintę oriuntur, et tres octauae unius quintę. Nam in eiusmodi reductione fragmentum fragmenti quandocum{que} occurrit: denominationem in ca∣su recto a minoris fragmenti denominatore, per quem fit sectio: capit: denominationem{que} in obliquo a denomi∣natore maioris.

DIVERSARVM denominationum partes ad easdē denominationes rediguntur: quando unius fragmenti de∣nominator per alterius denominatorem multiplicatur. nā numerus inde proueniens denominator communis erit. vt si duas tertias et tres quartas ad eandem denominatio∣nem uelis reducere: tria, denominatorem primi fragmenti per quatuor, denominatorē secundi multiplices. et enascentur duodecim, denominator cōmunis. 〈 math 〉〈 math 〉

{QUOD} SI scire cupis: quot duodecimę partes seorsum sint in duabus tertijs: duo, numeratorē illius primi fragmen∣ti, in quatuor denominatorem posterioris ducas: et octo pro numeratore procreantur. quibus denominator cōmu∣nis sub linea suppositus indicat in duabus tertijs octo du∣odecimas deprehendi. 8/12 Itidem si uis scire: quot duo∣decimę

partes seorsum sint in tribus quartis: tria, nume∣ratorem ipsius secundi fragmenti, in tria, denominatorē primi multiplices: et nouem pro numeratore consurgent. quibus denominator cōmunis sub linea subiect{us} de∣mōstrat in trib{us} quartis nouē duodecimas inueniri. 〈 math 〉〈 math 〉

DEINDE si ad cōmunem denominatorem numerato∣rem etiam cōmunem uis inuestigare: prioris fragmēti nu∣meratorem in denominatorem posterioris, et similiter nu∣meratorem secundi fragmenti in prioris denominatorem, ad formam crucis diui Andreae, multiplica. Numeri{que} ex his duabus multiplicationibus prouenientes simul addā∣tur. et numerus inde proueniens numerator cōmunis erit. Vt si duo, numerator primi fragmenti, in quatuor, deno∣minatorem secundi ducantur: fient octo. Et si tria, secun∣di fragmenti numerator, per tria, denominatorem primi multiplicentur: surgent nouem. quae addita ad octo faci∣unt septemdecim, qui numerus erit numerator cōmunis. Ita duae tertiae et tres quartae, ad eandem denominatio∣nem reductae numeratorem habent cōmunem septemdecim, denominatorem uero duodecim 〈 math 〉〈 math 〉

SIVERO plura fuerunt fragmēta: uti duae tertię. tres quartae. quatuor quintae. post duo priora fragmenta, sicu∣ti diximus, reducta, iterum denominator cōmunis prius inuestigatus per tertij fragmenti denominatorem multi∣plicetur: et surgent sexaginta, om∣nium denominator communis. 〈 math 〉〈 math 〉

{QUOD} SI scire cupis: quot partes sexagesimae sint in quo∣uis fragmento numeratorem ipsius fragmenti in denomi∣natorem cōmunem multiplica: nempe sexaginta: nume∣rum{que}

procreatū diuide per eiusdem fragmenti denomi∣natorem. ita deprehendes in duabus tertijs quadraginta sexagesimas. et in tribus quartis quadraginta quin{que} sexa ⅔ 40/60 gesimas. et in quatuor quitis quadraginta octo sexage ¾ 45/60 simas.

DEINDE numeratorem omniū fragmentorū ⅘ 48/60 cōmunem inuestigaturus prius reductorum fragmento∣rum numeratorem per denominatorem tertij, et numera∣torem tertij per denominatorem fragmentorum prius re∣ductorum, multiplica. Numeros{que} ex his duabus multi∣plicationibus generatos simul adde: et numerator com∣munis omnium fragmentorum prodibit. ut si septemde∣cim, prius reductorū numeratorem cōmunem, in quin{que}, tertij fragmenti denominatorē ducamus: inde{que} procree∣mus octuaginta quinque: et iterum duodecim, commu∣nem prius reductorum denominatorem, in quatuor, ter∣tij fragmenti numeratorem multiplicemus: at{que} ita ge∣neremus quadraginta octo: hos{que} duos numeros simul coniungamus: enascentur centum triginta tria. Is nume∣rus erit omnium fragmentorum numerator cōmunis. sic duae tertiae, tres quartae, et quatuor quintae, ad cōmunem numeratorem et denominatorem reductae, fiunt centum triginta tres sexagesimae. Eodem modo progredi∣endum est: etiam si plura 133/60 fuerint fragmenta ad eā∣dem denominationem reducenda: ut primis quibus que quemadmodum diximus expeditis, proxime sequentia ad eundem modum absoluantur: donec per omnia frag∣menta sit discursum.

EX praedictis nimirum liquet, numerum statim inue∣niri posse: qui partes, quascum{que} uolumus: denominatas habeat. Quippe si partes omnes denominatas inter se multiplicemus: numerus procreatus partes eas contine∣bit. Exempli gratia, si numerum aliquem cupis exquirere: qui capiat unam secundam, unam tertiam, unam quartā, unam quintam, unā sextam, unā septimā. omnes has partium denominationes in∣ter ½ ⅓ ¼ ⅕ ⅙ 1/7 se multiplica. quae generāt quin{que} millia et quadragin∣ta. is est numerus quaesitus.

IN eiusmodi autem numero singuli numeratores, par∣tes plures us{que} ad totidem continere possunt, quot in de∣nominatoribus singulis reperientur. nam in eodem etiam deprehendas unam secundam, duas tertias, tres quartas, quatuor quītas, quin{que} sextas, sex septimas. uel si mauis. reperias duas secūdas, tres ter∣tias, ½ ⅔ ¾ ⅘ ⅚ 6/7 quatuor quartas, quin{que} quintas, sex sextas, septem septimas. Partes autem unius at{que} eius∣dē numeri 2/2 3/3 4/4 5/5 6/6 7/7 plures in numeratore {quam} in de∣nominatore contineri nequeunt. nam is numerus ea rati∣one seipso maior esset. quod est contra rerū naturam. ue∣luti si quaeras numerum: qui quin{que} quartas habeat: fru∣stra inuestiges. Quippe cum quin{que} quartę unū integrum et quartam praeterea partem constituant. At nullus nu∣merus quarta parte seipso maior haberi potest. Minimus autem numerus, qui partes quascū{que} uelis: denominatas habeat: quemadmodum sit inuestigandus: paulo post di∣cemus: quando trademus: quomodo partes ad minimā sui nomenclaturam redigantur.

PARTIVM particulae, quae fragmentorum sunt frag∣menta: et minutiarū minutiae etiam nuncupantur: in in∣tegrorum partes, quas simplices uocant minutias: mutā∣tur: si earum numeratores inter se multiplicētur: ut unus omnium communis numerator fiat. At{que} itidem earum denominatores in se ducantur: ut unus omnium cōmunis denominator enascatur. Ideo{que} si ad eandem denominati∣onem reducere cupias duas tertias unius quartae, unius secundae. ⅔ ¼ ½ unitatibus in duo ductis, tantum duo surgunt. cum unitas alios numeros nō multiplicet. sic ori∣tur numerator communis. Deinde tria in quatuor ducta creant duodecim. quae iterum in duo multiplicata produ∣cunt uiginti quatuor. ita compertus est denominator cō∣munis. Quamobrem duae tertiae unius quartae unius se∣cundae, ad simplicia fragmenta redactae, procreant duas uigesimas quartas unius integri. 2/24.

INTEGRA in partes quascum{que} uolumus: frangū∣tur: si numerus integrorū per denominatorem illarū par∣tium, quas procreare cupimus: multiplicetur. quippe nu∣merus ex multiplicatione generatus enatarū partiū sum∣mā demonstrabit. Etenim si integrum ad sextas reducere est animus: unitatem per sex multiplicemus: et enascētur sex. qui numerus erit partium. Si tria integra ad sextas re∣soluere libet: sex in tria ducantur. ita fient decem et octo. qui numer{us} existit partiū, solutis in sextas tribus integris.

SI QVA uero integra una cū partibus occurrant: quae ad partium denominationem reducere uelimus: numerū integrorū per denominatorem partium multiplicemus: et

numero procreato partiū numeratorem addamus. inde{que} crescenti numero eundem denominatorem supponamus, linea interposita. Exempli gratia. si quin{que} integra et tres quartas ad eandem denominationem reducere cupimus: integrorum nota primum scribatur. deinde ante eam ad dextram, ipsum fragmentū, breui linea interserta. ad hūc modum. 5 ¾. quin{que} deinde, numerum integrorū, per quatuor denominatorem fragmenti multiplicemus: et cō∣surgēt uiginti. quibus addita tria, numeratorē cōmunem, uiginti tria creant. his sub linea media, quatuor, denomi∣natorem subijciamus. sic nobis enascentur ex hac redu∣ctione uiginti tres quartae. 23/4.

{QUOD} SI integra et plura simplicia fragmenta ad unum simplex fragmentum reducere quis uelit: numerum inte∣grorum et primum fragmentum, sicuti iam pręcepimus: absoluat. Deinde fragmentum simplex ex hoc enatū cum alijs sequentibus copulando, per singula fragmenta dis∣currat: donec uniuersa in eandem denominationem trans∣formauerit, eo modo, quo ante dictum est.

SI VERO integra et partiū particulę simul reperian∣tur: et ad simplex fragmentū uelis ea reducere: primū par∣tium particulae ad simplicia fragmenta reducendae sunt: sicuti ante praeceptum est. et tum demum integra cum his in eandem denominationem sunt copulanda.

ITIDEMQVE per omnia fiet: si integra et plura frag∣mentorum fragmenta sese simul offerant. his nam{que} om∣nibus prius ad simplicia fragmenta redactis, caetera ser∣uentur: quae iam praedicta sunt.

PARTES ECONVERSO REDVCVNTVR ad integra: si numeratorem ipsarum partium per earum denominatorem diuidamus. nam numerus partitionis integra continebit. Vt si decem et octo tertiae ad integra reducendae sint: decem et octo per tria diuidamus. et nu∣merus partitionis prodibit. sex. totidē ita{que} sunt integra. Vel si ex uiginti duabus quartis integra procreanda sint: uiginti duo per quatuor secemus: et in numero partitio∣nis quinque deprehendentur: at{que} duo reliqua. Igitur quin{que} fiunt integra. et duae quartae supersunt. Quia sem∣per in omni diuisione tam integrorum {quam} partiū, reliquū, si quod restabit: a diuisore, per quem sectio facta est: suā denominationem sumet. Ipsum autem reliquū, quod in∣tegrum creare nequit: eadem proportione se habet ad in∣tegrum: sicut numerator ad denominatorem: qui diuisor extitit. Quocirca cū{per} integrū diuisorem, id, quod reliquū erit: āplius secari non possit: per dimidiū diuiforis, si mo∣do is dimidiari potest: diuidatur. et numerus sectionis di∣midiū ostendet integri. uti in exemplo proximo, ubi duae quartae supersunt. per duo, diuisoris dimidium, facta se∣ctio, cum numerus sectionis sit unum: unum dimidium monstrat. Si uero id fieri non potest: per tertiam diuiso∣ris partem reliquum diuidatur: modo tantum supersit. et numerus partitionis uel unam tertiā uel plures indicabit superesse. Puta si per nouem numerus esset diuisus: et sex manerent reliqua. per tertiam diuisoris partē, nempe tria, sectio facta duas tertias unius integri superesse manife∣stat. Alioqui si per tertiā sectio nō quadrabit: per diuiso∣ris partem quartā: nisi minus ea supersit: reliquū secetur.

quippe sic facta sectione, numer{us} partitionis patefaciet: an una quarta remaneat: an plures. Veluti si {per} sexdecim nu∣merus fuisset diuisus: reliqua{que} essent duodecim: quarta di uisoris pars {pro} reliquo secādo sumpta, in numero partitio∣nis tria {pro}ducit: quę tres partes quartas uni{us} integri demō strant. Si nec id quidē procedit, tū de quinta, aut sexta, aut alia quauis diuisoris parte, ad eūdē modū tentadū. Caete∣rū si nihil horū iuuare potest: reliquū ipsū ad minimā sui nomenclaturā redigendū est, his, qui sequuntur: modis.

PARTES RELIQVAE, QVAE VNVM IN∣tegrum conficere non possunt: ad minimam sui nomen∣claturam rediguntur, ad hunc modum. Numerator et de∣nominator toties diuidiandi sunt: quoties id fieri potest. in singulis{que} dimidiationib{us}, linea interposita, numerator supra eam: denominator infra scribatur. et postrema di∣midiatio notetur. quia qua proportione se habebit ipsius numerator ad denominatorem subiectū: eadem primus numerator denominatorem suū respiciet. Et si in alteru∣tro eorum inter dimidiandum impar occurrit numerus: quia amborum dimidiatio amplius progredi non potest: illic erit sistendum. Continuo{que} maximus numerus am∣bos cōmuniter numerans est inuestigādus, qui eorū utrū∣{que} per diuisionem possit exhaurire.

MAXIMVS numerus duos cōmuniter numerans sic inuestigatur. Numeratorem et denominatorem post di∣midiationem cessantem a se inuicem subtrahe: quoties id fieri potest. ex qua subducttione frequenter repetita, si eo∣rum alter ad unitatem soluitur: eiusmodi numeri contra se primi ab Arithmeticis uocantur: et ad minorē nomen∣claturam

redigi nequeunt. cū omnes numeri contra se pri∣mi sua proportione sint minimi. Exempli causa, reliquae sint uiginti sex quinquagesimae: quas ad minimā nomen∣claturam redigere uelimus. harum numerator dimi∣diat{us} relinquit tredecim. At 〈 math 〉〈 math 〉 denominator per mediū sectus creat uiginti quin{que}. sic ex dimidiatione, tredecim uigesimae quintę generantur. Vltra propter imparē in utro{que} occurrentē numerū 〈 math 〉〈 math 〉 dimidiatio non proce∣dit. {quam}uis, etiam si in alterutro solo fuisset imparitas: dimi∣diatio cessasset. Quaerendus est ergo per crebram alterius ab altero subductionē, maximus numerus ambos cōmu∣niter numerās. In primis{que} tredecim, numeratorē a uigin∣ti quin{que}, denominatore subducam{us}: et relinquemus du∣odecim, ea rursus a tredecim, numeratore subtraham{us}. et unū remanebit. quod nobis idicat numeros ex dimidiati∣one cessante repertos, cōtra se primos esse.

{QUOD} SI ex crebra numeratoris et deno∣minatoris subductione a se inuicē facta, 〈 math 〉〈 math 〉 neuter eorum ad unitatem soluitur: tandem omnino re∣perientur similes. Quod quando compertum est: simul inuentus est maximus numerus ambos cōmuniter nume rans. is uidelicet, in quo similes deprehenduntur. per quē dati reliqui numerator seorsum diuidendus est: at{que} itidē denominator. sic{que} numerus utrius{que} sectionis tam alte∣rū prioris numeratoris numeratorem ea proportione mi∣nimū: {quam} alterum prioris denominatoris denominatorē, itidem etiam minimū ea proportione demonstrabit. qui minimā indicabunt nomenclaturam: ad quam partes re∣digi possunt. At{que} ita manifestum est maximū numerum

duos cōmuniter numerantem eos numerare per numeros ea proportione minimos. Exemplū paratū est. si trigin∣ta quatuor centesimas secundas ad minimā nomenclatu∣ram redigere uelimus. statim nam{que} ex dimidiatione decē et septem quinquagesimae primae prodeunt. qui numeri sunt impares et contra se primi. Postea ex prima numera∣toris a denominatore subductione, triginta quatuor ex denominatore restabūt. deinde iterum repetita subductio relinquit in denominatore, decē et septem. similitudinē{que} utrius{que} numeri tā numeratoris {quam} denominatoris ostēdit. Is ergo numerus, decē et septem, qui maxi∣mus est ambos cōmuniter numerans: eorū 〈 math 〉〈 math 〉 utrum{que} diuidat. Quo fiet ut in numero par∣titionis ex numeratoris quidem sectione unū inueniatur. ex sectione uero denominatoris, tria. Igitur una tertia mi∣nima nomenclatura est: ad quam perduci possint uel de∣cem et septem quinquagesimae primae: quae cessante di∣midiatione repertę sunt. uel triginta quatuor cēte∣tesimae secūdae: qui pro 17/51 ⅓ posit{us} est numer{us}.

ALTERVM exemplū dari potest: si reliquae 34/102 ⅓ sint quatuordecim uigesimae octauae: quas ad minimam nomenclaturā reducere uelimus. horum quatuorde∣cim secta per mediū relinquunt 14/28 septem. At uiginti et octo dimidiata creant quatuordecim. sic septem quartędecimae ex dimidiatiōe generātur. 〈 math 〉〈 math 〉 ultra prop ter imparem numerū septenariū dimidiatio nō procedit. quęrendus est ergo maximus numerus ambos cōmuniter numerans: qui utrū{que} tam numeratorē {quam} denominatorem diuidendo deleat. is est septem. semel enim septem subdu∣cta

numeratorem tollūt. quippe omnis numerus seipsum et numerare et subducere potest. rursus septem bis subtra∣cta denominatorem etiam auferunt. numerus ita{que} parti∣tionis utrius{que} palam indicat septem quartas de∣cimas ad unā secundam redigi. 7/14 ½. Qamobrem cum primū reliquū eandem rationē habeat: quā pro sua porti∣one suum habet dimidiū: ad unam secundā recidit. qua∣tuordecim igitur uigesimae octauae ad unam secundam: quae minima earū nomenclatura est: rediguntur. 14/28 ½

MINIMVS numerus, qui partes quascumque uo∣lumus: denominatas habeat: sic est exquirendus. Post{quam} partes, quas in numero aliquo inuestigare destinamus: suis notis sunt descriptę: numerus, qui partes illas uniuer∣sas habeat: ex denominatorum in se multiplicatione facile procreatur▪ quemadmodū superius obiter admonuimus. Caeterum minimus numerus, qui partes eas capiat: ma∣iorem, ut eruatur: poscit industriam. Is autem proporti∣one minima partes illas omnes habere comperietur: qui minimus numerus est: quem omnes illae numerant. Ita{que} de primis quibus{que} denominationibus primum expedire oportet: at{que} initio inuestigare: quis sit minimus nume∣rus a duabus primis denominationibus numeratus.

Et quidem si hę contra se primae fuerint: ut nullus nume∣rus eas numeret praeter unitatem. quia sunt sua propor∣tione minimae: quod ex alterius in alterum ductu gene∣rabitur: erit minimus numerus ab eis numeratus. Sin ali∣us pręter unitatem numerus eas numeret: sumantur par∣tes ea proportione minimae. quae quemadmodum exqui∣rantur:

proximo capite edocuimus. quae cum sunt inuen∣tae: subnotentur sub partibus: quarū respectu sunt mini∣mae. Deinde partes illae maiores, quarum respectu alterę sunt minimę: per numeros sua proportione minimos, ma∣ior per minorē, aut minor per maiorem, multiplicatę mi∣nimum ab ipsis numeratum producent. Nam secundum EVCLIDIS scitū, Quilibet duo numeri minimos nu∣meros suę {pro}portionis, maior minorem, aut minor maio∣rem, multiplicātes, minimū ab ipsis numeratum produ∣cunt. Qui numerus minimus a duabus primis denomina∣tionibus numeratus, ad hunc modum inuentus, cum ter∣tia denominatione statim cōferendus est: minimus{que} nu∣merus ab illis numeratus ad eundem modū exquirendus. Is, post{quam} cognitus erit: cum quarta denominatione simi∣liter conferatur: minimus{que} numerus ab illis numeratus itidem eruatur. Idem{que} indagandi modus per omnes de∣nominationes: si quae ulteriores fuerint: seruetur. Mini∣mus autē numerus ab illis numeratus, qui postremo con∣ferentur: partes omnes propositas minima proportione capiet. Exempla demus: quae rem magis illustrent. At{que} inuestigemus minimum numerum, qui unam secundam, unam tertiam, unam quartam, unam quintam, unam sex∣tam, at{que} unam septimam habeat▪ ½ ⅓ ¼ ⅕ ⅙ 1/7

IN PRIMISQVE exquiramus, quis sit minimus numerus: quem duae primae denominationes numerant. quae quia sunt contra se primae: duo in tria ducantur. et sex enascentur. qui numerus minimus est: quem duo et tria numerant: qui{que} unam secundam, et unā tertiam ha∣beat. Iterum sex cum tertia denominatione, nempe cum

quaternario conferamus. et quoniam numerus binarius ambos cōmuniter numerat: bis{que} in quatuor, et ter in sex reperitur. quia tria et duo, numeri sunt ea {pro}portione mi∣nimi: tria sub sex, et duo sub quatuor subnotemus. Dein∣de uel senarium maiorem numerū per binariū de duobus minima proportione subnotatis, minorem: uel quaterna∣rium minorem per ternarum, de duobus minima propor∣tione subscriptis, maiorem multiplicantes, duodecim pro∣creabimus. qui numerus minimus est: quē sex et quatuor numerant: qui{que} unam secūdam, unam tertiam, et unam quartā proferat. Rursus duodecim cum quarta denomi∣natione, uidelicet cum quinario conferamus. qui numeri, quia contra se primi sunt, at{que} sua proportione minimi: quin{que} in duodecim ducamus. et sexaginta creantur. qui minimus numerus est: quem quin{que} et duodecim nume∣rant: qui{que} unā secūdam, unam tertiam, unam quartam, et unam quintam producat. Deinde sexaginta cum sena∣rio numero: quae denominatio proxima est: conferamus. et quoniam senarius et se ipsum per unitatem, et sexagin∣ta per denariū numerat. decem, et unū, qui numeri sunt ea proportione minimi: subsignentur. Ita{que} siue sexaginta maiorem numerū per unum: qui numerus de duobus mi∣nima {pro}portione subnotatis, minor est: siue sex minorem numerū per decem, numerū ex subscriptis maiorem mul∣tiplicemus: sexaginta iterū prodibunt. qui numerus mi∣nimus est a sexaginta, et a sex numeratus: et qui unā secū∣dam, unam tertiam, unā quartam, unam quintā, at{que} unā sextā capiat. Demū sexaginta cū septem conferamus. qui numeri cōtra se primi, at{que} sua proportione minimi cōpe∣riuntur.

et ideo septē in sexaginta ducentes quadringenta uiginti procreabimus. qui numerus minimus est: quē sex∣aginta et septem numerant: qui{que} unam secundam, unam tertiam, unam quartam, unam quintam, unam sextam, et unam septimā proferre potest. Hac ratione numerus par∣tes, quascum{que} uolumus: denominatas complectens, ex∣quiritur. Quinetiā si omnes hi denominatores in se mul∣tiplicentur: fient quin{que} millia et quadraginta. qui nume∣rus itidem omnes eas denominationes habet. Caeterum numerus eas, minima proportione, capiens is est: quem exquisiuimus. nempe quadringenta uiginti. qui numerus in illo duodecies continetur. quemadmodum ex illius se∣ctione per hunc facienda, cuiuis licet cernere. Alia itidem huius generis exempla, quęcū{que} occurrunt: ad hunc mo∣dum explicari possunt.

MODVS EXQVIRENDI PRECIVM QVA∣rumuis partium hic est attingendus. Nam cū ex integro∣rum diuisionibus partes, quae supersunt: tam crebrae sup∣putantibus occurrant: ut nus{quam} ferme non sint obuiae: ne earū aestimatio longa mora quempiam torqueat inuesti∣gantem: pro quanta pecuniae summa ualeant: operaepre∣cium esse duximus uiā demonstrare: qua id quo{que} depre∣hendi possit. Ea autem est eiusmodi. Si per partiū nume∣ratorem precium totius integri, cuius sunt partes: multi∣plicetur: et numerus ex multiplicatione procreatus per ea∣rundem partiū denominatorem diuidatur: numerus par∣titionis preciū indicabit partiū. Reliquū uero, si quod ex ea sectione restabit: supra diuisorē stantem linea interpo∣sita, notetur. Exemplū demus: ut magis quod dicimus:

eluceat. Si singula uini dolia aureis uiginti cōstiterunt: et duarum tertiarum precium scire cupimus. uiginti per par∣tium numeratorem, qui duo continet: multiplicemus: ut sint quadraginta. quae deinde per denominatorē, qui tria continet: diuidamus. et numerus partitionis surget. tre∣decim aurei. et superest una tertia unius aurei. quae cum precij sit particula: nobiscum cōsyderemus: qua pecunia uiliori possit aestimari: sicut iam dicemus.

MINVTIARVM QVARVMLIBET PECV∣nię reliquarū aestimatio deprehenditur ad hunc modum. Si pecuniae summa, cuius pars est quoduis reliquū: in ar∣genti libris per diuisionē quęsita est: inuestigemus: quot aureis? quot solidis? uel si libet: quot denarijs? aut quot nūmis sestertijs? aut quot semissibus? aut quot quadran∣tibus? aut quot sextantibus argenti libra aestimatur? Vel si pecunia prior in aureis per sectionem inuestigata fuerit: exquiramus: pro quot denarijs? uel si libet: pro quot nū∣mis sestertijs? aut pro quot obolis? aut pro quot quadrā∣tibus? aut si quod aes signatū uilius in usu est: aureus in∣teger ualeat? Deinde aestimationem totius illius partis, cuius pars ipsum reliquū est: per reliqui numeratorē mul∣tiplicemus. numerū{que} {pro}creatū per ipsius reliqui denomi∣natorem diuidamus. et numerus partitionis aestimationē reliqui monstrabit. Iterum{que} secūdum reliquum, si quod prodibit: notetur. et ulterius, si ita libet: ad eundem mo∣dum procedatur. Exemplum repetamus: quod proximo capite dedimus. in quo precium duarū tertiarū unius do∣lij uiginti aureis empti, tredecim aureos inuenimus. et re∣liqua erat una tertia unius aurei. Quę, ut sciamus: quid af∣ferat:

unum aureum centum nummis ęstimemus. quorū numerus in unum, reliqui numeratorem ductus tantum centum creat. quae per tria, reliqui denominatorem diuisa in numero partitionis educunt triginta tres nummos. et iterū superest una tertia unius nummi. quam ęreis adhuc, sextantibus, ad eundem modum aestimare potes. Igitur precium duarū tertiarum unius dolij uiginti aureis empti erit, tredecim aurei, triginta tres nūmi, et una tertia unius nummi. Ita{que} in arbitrio est computātis: an pecunię ęsti∣mationem ordine quodam exquirere uelit: ut primum ue∣stiget: quot argenti libras pecuniae summa quaeuis ha∣beat. Deinde, si quid reliquum superest: quot id aureos faciat. Iterum, si quid remanet: quot id denarios creet.

Tertio, si quid restat: quot id producat nummos: et sic deinceps. Vel an statim in primo reliquo ad uilissimā pe∣cuniam descendere malit: ut per eam reliquum aestimet. Verumtamen utramcum{que} uiam elegerit: idem est inda∣gandi modus.

AT SI exintegrorum sectionibus partium occurrant particulae: quarum precium exquirere uelimus: eas prius ad simplices integrorum partes reducamus. Deinde pre∣cium ad eundem modum inuestigemus: quemadmodum in simplicibus fragmentis iam diximus.

DE PARTIVN ADDITIONE.

PARTIVM ADDITIO EST PLVRIVM minutiarum seorsum propositarum in unam summā collectio. Ea autem, quando partes eiusdem sunt deno∣minationis:

nullum habet negocium. sola etenim nume∣ratorum fit additio. et numerus procreatus supra breuem lineam notatur: sub qua denominator apponitur. Exem∣pli gratia. si quatuor septimas, quin{que} septimas, sex septi∣mas uis addere: solis numeratoribus per additionem cō∣iunctis, fiunt quindecim septimę. 4/7 5/7 6/7 15/7

QVANDO uero partes diuersos denominatores ha∣bent: si binę minutię fuerint: post{quam} ad communem deno∣minationem sunt redactę: priorū numerator per denomi∣natorem posteriorū, et numerator posteriorū per priorū denominatorem, ad formā. X. literę gręcę: quae speciem crucis diui Andreae refert: multiplicari debent. numeri{que} inde prouenientes ambo simul addi. et cōsurget numera∣tor cōmunis. Et si plures praeterea minutiae diuersos ha∣bentes denominatores occurrunt: primis quibus{que}, quē∣admodum diximus: expeditis: proximę sequentes simili∣ter copulentur: donec omnes absolutę sint: eo modo, quo supra dictū est: cū de dissimilium denominatorū reducti∣one facienda pręciperemus. ubi de cōmunium numerato∣rū additione non nihil etiam attigimus: ne quis id ibi de∣syderaret: cum de cōmunium denominatorū inuestigati∣one diceremus. Quamobrem illic explicata exempla, hic tantū spectāda ponemus. ⅔ ¾ duę tertiae et tres quar∣tę denominatorem habent cōmunem, duodecim. nume∣ratorem uero cōmunem, decem et septem: ex additione, quae multiplicationē ad speciem crucis factā sequi debet. 17/12, quibus additae ⅘ quatuor quintae procreabunt 133/60 centum triginta tres sexagesimas.

QVANDO minutiae integris addendę sunt: si unę mi∣nutiae erunt: notentur post ipsa integra. Veluti si 31/37 ad∣dendae sint ad. 12. sic notis copulentur. 12 31/37. {QUOD} si plu∣res sint minutiae, et plura integra: prius integra in unam summam componantur. Postea minutiae seorsum eo mo∣do simul additae, quo supra dictum est: his adiungantur. Veluti si ⅔ ¾ ⅘ addendae essent ad. 30. et. 16. Prius 30. et. 16. coniungantur. et fient. 46. tum deinde ipsae minutiae per additionem collectę facient. 2 13/60. quae ad in∣tegrorum summam iungantur. et surgent. 48 13/60.

AT SI minutię integris et minutijs addendae sunt: so∣lae minutiae prius addantur, eo modo: quo dictum est. Deinde, quod ex earum summa surget: ipsis addatur in∣tegris. et si quae minutiae restabunt: post illa signētur. ue∣luti si ⅚ addendae sunt ad. 7 ⅜. prius copulentur ⅚ cū ⅜. quae faciunt. 1 5/24. eaiungantur ad. 7. et uniuersorum summa fiet. 8 5/24. Haec uia multo minus habet laboris: {quam} si quis integra in minutias his adiunctas frangat: unum{que} de his corpus faciens postea alteris ea minutijs copulet. id quod quidam faciunt: ad hunc modū. Integra per par∣tium denominatorem multiplicant: et numero procreato partium numeratorem addunt. at{que} ita numerator com∣munis enascitur. cui denominatorem nihil immutatum sub linea subdūt. Veluti in exēplo dato. 7. integra in uici∣cinum denominatorem. 8. ducunt: et numero. 56. pro∣ducto

numeratorem. 3. addētes 59/8 faciunt. quas postea coniungunt cum ⅚ eo modo, quo dictū est. et res ad idem recidet.

QVANDO integra integris et minutijs addenda sunt: prius integra cōiungantur. postea adiungantur minutiae. Veluti si. 6. cum. 3 ⅕ copulanda sint. prius. 6. ad. 3. ad∣dantur: et fient. 9. quibus apponantur minutiae. et uni∣uersorū summa fiet. 9 ⅕. Itidem si plura integra cum cō∣pluribus integris et compluribus minutijs connectenda sunt: prius omnes minutię, in unum corpus colligantur eo modo: quo dictū est. Postea integra, quę inde {pro}ueni∣unt: ad alia integra iungantur. et summa quaesita surget.

AT SI integra et minutiae integris et minutijs addi debent: prius in unam summam integra colligātur. Post∣ea minutiae seorsum eo modo, quo dictum est: copulatae his addantur. Veluti si. 3 ½ ad. 6 ⅓ adiungi debent. prius 3. ad. 6 addātur: et sient. 9. postea ½ et ⅓ simul additae fa∣ciunt ⅚: quę ad. 9. adiungantur: ut omnium summa sur∣gat. 9 ⅚. Eodem modo fiat: si complura integra, et cō∣plures minutiae addendae essent: ut prius integra colligā∣tur: post copulentur minutiae. ex quibus, siue integra, siue minutiae, siue ambo surgunt: addantur ad priora.

VBICVMQVE autem minutiarum minutiae interue∣niunt: prius hae ad simplices minutias redigantur. et tum demū in singulis secundum ea, quae supra dicta sunt: ad∣ditio peragatur.

DE PARTIVM SVBDVCTIONE.

PARTIVM subductio est summae partium proposi∣tarum minoris a maiore subtractio: per quā relictus partium illarū numerus apparet. Oportet autem semper uel minorem summam a maiore: uel aequalem ab aequali subtrahere. nam maior a minore subduci nequa{quam} potest. Propositis ita{que} binis minutijs, at{que} utrarum{que} numera∣tore in alterarū denominatorem inuicē, in speciem crucis, multiplicatis, illae minutiae maiores esse dicentur: quarū numerator in alterarū denominatorē ductus maiorē pro∣fert numerum.

QVAMOBREM si binae minutię eundem denomina∣torem habent: quarum alteras ab alteris cupias subdu∣cere: minor alterarum numerator a numeratore alterarū maiore, si inaequales extiterint: subducatur. et reliquum supra denominatorem ponatur: linea interposita. Exem∣pli gratia. si duas tertias a septē tertijs subtrahas: quin{que} tertiae remanebunt. ⅔ a 7/3 5/3. Vbi uero numeratores et denominatores reperientur aequales: facta subductio∣ne nihil erit reliquum.

QVANDO autem minutiae diuersos denominatores habent: prius denominatores inter se multiplicentur: et consurgens numerus denominator communis erit. Dein∣de priorum minutiarum numerator in posteriorum nu∣meratorem, et numerator posteriorū in denominatorem priorum, ad formam crucis ducatur. Quod ubi factum erit: si numeri procreati fuerint inaequales: minor a ma∣iore

subducatur: et reliquum supra cōmunem denomina∣torem, linea interiecta, ponatur. Exemplum illud esto. Si quis subtrahere uelit a quatuor quintis duas tertias: denominatoribus in se ductis, prius producatur denomi∣nator cōmunis. postea quatuor, numerator alterarū mi∣nutiarum in tria, alterarum denominatorem, ducta crea∣bunt duodecim, alterū numeratorem. Iterum duo, altera∣rum minutiarum numerator, in quin{que}, denominatorem alterarum multiplicata generabunt decem, numeratorem alterū: quae, cum sint pauciora: {quam} duodecim: ab illis sub∣ducātur: et duo relinquentur. quae supra denominatorem communem prius procreatū locentur. sic facta subducti∣one, reliquae erunt duae quintaedecimę. ⅔ a ⅘ subducun∣tur: et relinquunt 2/15.

QVANDO minutiae subducentur ab integris: suffece∣rit eas ab uno integro, in minutias soluto, subducere. et quod tam de integris {quam} de minutijs restabit: totius sub∣ductionis erit reliquum. Veluti si 4/7 subtrahendae sunt a 12. sumamus. 1. de. 12. et restabunt. 11. ab illo autem uno demptis 4/7, relinquentur 3/7. quę copulatae cum. 11. restare faciunt. 11 3/7. tantum superest: si 4/7 a. 12. subdu∣cimus. Alij integra minutiarum more, supra lineam no∣tant: cui unitatem subijciunt, ad integra delignanda. De∣inde quasi minutiae a minutijs subducendae essent: post obliquam numeratorum in denominatores multiplicati∣onem, minorem productum a maiore subducunt: et su∣pra lineam notant. cui denominatorem subdunt. ita. 7. in

12. ducta creant. 84. et. 4. in. 1. ducta faciunt. 4. quę subducta ab. 84. relinquunt 80/7. Ea, si reducas ad inte∣gra: fient. 11 3/7. ita res ad idem recidet. 4/7 × 8/1 80/7 AT SI minutiae ab integris et minutijs subducentur: fieri potest: ut quę subduci debent: minores sint illis: quę integris adiunguntur. id quod si acciderit: tum ab illis mi∣nutijs subducantur: et integra intacta maneant. quibus adiunctum id, quod restabit: totius subductionis erit reliquū. Veluti si 4/9 subduci debenta. 6 9/10. ipsis. 6. in∣tegris manentibus, 4/9 subducantur a 9/10 eo modo, quo dictum est. et restabunt 41/90. quę si. 6. integris adiungā∣tur: relinquentur ex ea subductione. 6 41/90. {QUOD} si minu∣tiae: quae subducendae sunt: maiores sint his: quae inte∣gris adiunguntur: tunc de integris saltem unum in minu∣tias adiunctas soluatur: ut post{quam} unum corpus ex his fa∣ctū sit: ab eo fiat subductio. Veluti si ⅘ ab. 8 ½ subtrahi debēt: solue unū de illis. 8. in secūdas: et fiēt 3/2 a quibus de∣me ⅘. et restant 7/10. quę si iungas cum. 7. relictis de. 8. relinquentur. 7 7/10 tantum restabit si ⅘ ab. 8 ½ subduces. Hęc uia multo breuior est: {quam} si quis omnia integra in mi∣nutias adiunctas frangat: et postea ab eis alias minutias subducat. id quod quidam faciūt: qui ducentes. 8. in. 2. et. 1. ad iungentes, creant 17/2. a quibus demūt ⅘ eo mo∣do, quo supra dictum est: et restant. 7 7/10. sic res ad idem recidet.

QVANDO integra ab integris et minutijs subduci de∣bent: demātur integra ab integris: et quod supererit: to∣tius subductionis erit reliquum. Veluti si. 9. a. 13 ⅗ sub∣trahenda sunt. eximantur. 9. a. 13. et restant. 4. una cū minutijs ⅗. ita si. 9. a. 13. subducas: id totum, quod re∣linquitur: est 4 ⅗.

VERVM si integra et minutiae ab integris et minutijs subduci debent: tunc utra{que} integra seorium in minutias adiunctas soluantur: ut una minutiarum facies utrinque consistat. postea{que} subductio eodem modo fiat: sicuti si∣eri solet: quando minutiae a minutijs subducuntur. qua peracta, denuo colligantur integra, ex eo: quod resta∣bit. Veluti si. 3. ⅖ a. 4 ⅔ subtrahendę sint. 3. soluātur in quintas. quibus adiungatur minutiarum numerator. 2. et surgent 17/••. Item. 4. soluantur in tertias. et numera∣tor minutiarum. 2. his adiungatur. ita fient 14/3. Postea 17/5 a 14/3 demantur: et restabunt 19/15. quae faciunt. 1 4/15. tan∣tum relinquetur: si. 3 ⅖ a. 4 ⅔ eximantur.

VBICVMQVE autem minutiarum minutiae interue∣niunt: prius hae ad simplices minutias redigantur. et tum demum in singulis, secundum ea, quae supra dicta sunt: subductio peragatur.

SI LIBET experiri: num recte subductum sit: ad∣dere oportet id: quod restat: ad id, quod subtrahit: et sū∣ma, a qua fit subductio: instaurabitur. Si plus aut minus redit: erratum est. Nam additionem subductio, subdu∣ctionem{que}

additio probat: sicuti fit in integris. Veluti si ⅓ demat̄ ab ½. su{per}erit ⅙. adde ⅙: quę relinquitur: ad ⅓: quę subducit̄. et instaurabitur ½. a qua subductio facta est.

DE PARTIVM MVLTIPLI∣CATIONE.

PARTIVM multiplicatio est uel ex partium mutuo in se ductu, uel ex integrorum in partes, uel ex ipsarū in integra, noui fragmenti procreatio: per quam plurima etiam diuersorū generum, singula quę{que} unius in singula alterius ducta, per accumulationem coeunt in unum: et de dissimilibus fit unum fragmentum.

ILLVD AVTEM ad naturam multiplicationis ple∣nius pernoscendam obseruare oportet. Cum integrorum quidem inter se multiplicatio et numero et cumuli quan∣titate maius edat id: quod procreatur: Econtrario fit in partibus: ut hę multiplicatę, quantitate minores, nume∣ro plures inueniātur.

IGITVR fragmentorum inter se multiplicatio fiet ad hūc modum. In primis numeratores omnes inter se mul∣tiplicentur. et ex hoc enascetur omnium numerator com∣munis. deinde omnes denominatores itidem in se ducan∣tur. et totius cumuli denominator consurget. Itaque si duas tertias per tres quartas multiplicare uolumus: duo in tria ducta faciunt sex, omniū numeratorem. postea tria in quatuor ducta procreant duodecim, multiplicationis

denominatorem. sic ⅔ per ¾ multiplicatae faciunt 6/12.

CVR ID AVTEM ita fiat: si rationem poscis: illa est: {quod} si numeratores in se soli ducerentur: uiderentur in∣tegra inter se multiplicari. at{que} ita numerator nimium cre∣sceret. Veluti in exemplo dato, dum duo in tria ducuntur: fiunt sex. quae, si nihil praeterea fieret: uiderentur integra. Caeterū quia nō duo integra per tria: sed duę tertiae unius integri per tres eius quartas multiplicandae sunt: similiter partium denominatores in se ducuntur: ut partium diui∣sione, quę per denominatoris multiplicationē fit: (quan∣to enim magis denominator crescit: tanto magis partes cōminuuntur) nimia numeratoris augmentatio tantum corrigatur: quantum plus iusto creuerat: at{que} ea ratione ad aequalitatem redigatur. Ita post{quam} etiam denominato∣res in se ducti creāt duodecim: liquet sex duodecimas esse: quae alioqui sex integra uideri possent.

PORRO si per minutias uelis integra multiplicare: aut minutias per integra: ipsum integrorum numerū per mi∣nutiarum numeratorem multiplica: et producetur omniū numerator. cui minutiarum denominator nihil immuta∣tus sub linea supponatur. Veluti si. 2. integra per ¾, aut ¾ per. 2. integra multiplicentur, procreantur 6/4. quę fa∣ciunt. 1½. Alij integra ad exemplum minutiarū ita scri∣bunt: ut numerus integrorum supra breuem lineam no∣tetur: et sub ea reponatur unitatis nota: quae integra illa esse significet. iuxta quae sic scripta, quasi minutiae essent: ueras apponunt minutias: quas in ea ducunt. Deinde

numeratorem integrorum pet minutiarū numeratorem, harum{que} denominatorem per denominatorem illorū mul tiplicant. qui modus et expeditus est: et res ad idem reci∣dit. nam cum ipsa unitas integra designans alios nume∣ros non multiplicet: denominator semper inuariatus ma∣net. ita 2/1 ducta in ¾ faciunt 6/4.

SIC obiter expedita est partium duplicatio. quam spe∣ciem quidam separatim tractant.

SI AVTEM per minutias uoles integra, alijs minu∣tijs adiuncta, multiplicare: uel e conuerlo minutias per integra minutijs adiuncta: reduc prius integra in minu∣tias sibi adiunctas: ipsa integra multiplicando in illarum denominatorem: numero{que} procreato illarum numerato∣rem addendo. cui numeratori sic accumulato minutiarum illarum adiunctarum denominator sub linea subdatur. Deinde ipsę minutię iuxta alteras scribātur: numerator{que} per numeratorem, et denominator per denominatorem multiplicetur. Puta si duo integra cum duabus septimis per duas quartas multiplicanda fuerint: duo in septem ducta creabunt quatuordecim: quibus duo, quae sunt in numeratore addita producēt sexdecim. is erit numerator: cui denominator septem capiens sub linea iungi debet. Deinde numerator in alterarū numeratorem ductus cre∣abit triginta duo. Denominatores{que} itidem in se ducti, producent uiginti octo. sic. 2. integra et 2/7 reducta creāt 16/7. quę per 2/4 multiplicata, componūt 32/28. Ea unum in∣tegrum faciunt, et 1/7.

QVANDO integra in integra minutijs adiuncta du∣cenda sunt: prius integra minutijs adiuncta in sociarum minutiarum faciem reducito: ipsa integra in illarum de∣nominationem ducens, numero{que} producto numerato∣rem addens. cui numeratori, sic coaceruato, denominator sub linea subdatur. iuxta quas minutias integra minutia∣rum more, supra lineam notentur: subiecta his unitate. Deinde numeratores in numeratores ducantur: itemque denominatores in denominatores: sicuti fit in minutijs. Veluti si. 9. in. 3⅘ ducenda sint. 3. in. 5. ducta facient 15. quibus addita. 4. creant 19/5. postea. 9. in. 19. ducta producent. 171. quae supra lineam ponantur. Item semel 5. faciunt. 5. quae sub linea locentur. Ita ex hac multipli∣catione fient 171/5. quae, si ad integra libet reducere: crea∣bunt. 34⅕.

AT SI integra et minutiae in integra et minutias duci debent: ueluti. 3 4/9 in. 5⅜: utra{que} integra prius in minu∣tias sibi adiunctas redigantur. et postea minutiarum mo∣re multiplicatio fiat. Ita{que} in prioribus illis. 3. in. 9. ducta creant. 27. quibus numerator. 4. adiunctus producit 31/9. Similiter in alteris fiat. 5. in. 8. ducta faciunt. 40. quibus numerator. 3. additus educit 43/8. Iā uero 31/9 ductę in 43/8 {pro}ducūt 1333/72. quę ad integra reductae faciūt. 18 37/72.

VBICVMQVE autem minutiarum minutiae interue∣niunt: prius hae ad simplices minutias redigendae sunt. et

postea in singulis, secundū ea, quę supra dicta sunt: mul∣tiplicatio peragenda.

DE MINVTIARVM PARTITIONE.

PARTIVM diuisio est duorum fragmentorum, alte∣rius alterum oblique secātis, per multiplicationem in unum coitio: per quam tertium enascitur fragmentum, ex utrius{que} illorum aequali complexu generatum. In omni autem partium diuisione fragmentum partibus diuisoris fungens a parte sinistra poni debet: fragmentum uero di∣uidendum a dextra. quemadmodum fit in integris: ut di∣uisor sinistram occupet. Deinde fragmenti diuidendi nu∣merator in diuisoris denominatorē multiplicetur: et enas∣cetur sectionis numerator. Postea denominator diuiden∣di fragmenti in diuisoris numeratorem ducatur: et parti∣tionis denominator proueniet. qui sub numeratore prius procreato, linea interiecta, supponi debet. Ita ad hunc modum numeratorum in denominatores, et denomina∣torum in numeratores multiplicatio oblique in formam crucis diui Andreae facta fragmentum procreabit diuiso∣ris et diuidendi uim pariter cōplectēs. Exempli gratia. Si per tres sextas diuidere duas tertias uoles: multiplica duo in sex: et fiunt duodecim, numerator operis. Deinde tria in tria ducantur: et procreabuntur nouem, sectionis de∣nominator. Sic per 3/6 diuisę ⅔ faciunt 12/9. quę, si earū nu∣merator per denominatorem secetur: integrum unum et tertiam unius integri partem constituunt.

SVNT: qui iubent in minutijs diuidendis diuisorem a dextra poni: quasi id magni referat. qui cur id fieri sic ue∣lint: nihil uideo: quando illi ipsi pręcipiunt fragmenti di∣uidendi numeratorem in diuisoris denominatorem, con∣tra{que} diuidendi denominatorem in numeratorem diuiso∣ris duci. Quod pręceptum si quis seruet: nihil omnino re∣fert: ab utra parte diuisor steterit. Id, quod res ipsa ante oculos posita palam indicabit: si in medio fragmentum diuidendum, at{que} utrin{que} idem fragmentū secans statua∣tur, ad hunc modum. Nam fragmēti medij 〈 math 〉〈 math 〉 diuidendi numerator in diuisoris denominatorem, uel a sinistra, uel a dextra, ductus eundem creat numerum: si∣militer{que} diuidendi denominator in numeratorem, uel si∣nistrum, uel dextrum, multiplicatus idem faciet. Quam∣obrem cum in integris diuisor sinistrā teneat: non temere aliud in partibus statuemus: praesertim cum in explican∣dis difficillimis quibus{que} quaestionibus, in quibus minu∣tiae interueniunt: hae, quae diuisoris funguntur partibus: suapte natura sinistram teneant. id quod in sequenti libro passim cuiuis licebit cernere. Quas minutias, quando ad diuisionem uentum erit: si de suo loco in dextram transfe∣res: laborem geminabis.

SI QVAERIS: cur ita in minutiarū partitione mul∣tiplicatio in formam obliquę crucis fiat: ratio illa est: {quod} minutiarū exilitas fit per denominatoris multiplicationē. quanto enim magis ille crescit: tanto magis hae commi∣nuuntur: et numero plures fiunt. At e conuerso numera∣toris incrementum uel integra progignit: uel partes mul∣to

propiores integris. Ita{que} cum minutiarū inter se mul∣tiplicatio, ex numeratoris directo in alterum numerato∣rem ductu, denominatoris{que} itidem in alterarū denomi∣natorem constet: quemadmodum proximo capite edocu∣imus: minutiarum uero diuisio, quę suapte natura multi∣plicationi contraria est: per multiplicationem fieri etiam ipsa debeat: ut tertiū his mutua sectione coeuntibus frag∣mentum enascatur: quoniam altera illa multiplicatio cō∣ficitur directe: haec, quę partes secat: necesse est: oblique fiat: ut alterarum numerator in alterarū denominatorem, denominator{que} alterarum in alterarum numeratorem du∣catur. alio qui sectio nimia redderetur: nec ad aequalitatem res posset perduci. Veluti in exēplo iam dato. quando per 3/6 diuidere ⅔ uolumus▪ multiplicantes tria, diuidendi de∣nominatorē per tria, diuisoris numeratorem, si nihil prae∣terea faceremus: uideremur per tria integra partes illas se∣care: at{que} ita diuidendo, nimium excederemus. Sed quo∣niam illa tria, per quae diuisimus: non erant tria integra: sed erant tres sextę: propterea diuidendi numeratorem in sex, diuisoris denominatorem ducentes, corrigimus ex∣cessum illum: at{que} ita partitionem ad aequalitatem redu∣cimus. tantum enim diuidendi numeratorem supplemus: quantum plus iusto denominatorem eius auximus, par∣tes minuendo.

EN TIBI expeditā partium diuisionem. quā ut ple∣nius pernoscas, illud obseruare oportet: tres earum secā∣di esse species. Vna est: quando partes maiores a minori∣bus secant. in qua specie nascunt minutię: quę plus {quam} unū

integrum creant. Exemplum. si per ⅓ seces ½ oriuntur 3/2. quae unum integrum et dimidium componunt. Altera. quando aequales partes diuidunt aequales. ex qua unum creatur integrum. Exempli causa. Si per ½ diuidas ½ fiūt ex ea sectione 2/2: quę unum integrum faciunt. Tertia est: ubi partes minores diuiduntur a maioribus: id, quod in minutijs saepenumero euenit. sic enim hae coire possunt. In hac partes procreatae minus reddunt: {quam} unum inte∣grum. Exempli gratia. si per ½ seces ⅓: prodeunt ⅔: quae tertia parte minus, {quam} unum integrum edunt.

Et ut scias: quē sensum afferat minutiarū partitio: primo numerū aliquē inuestigare oportet: qui utras{que} minutias, tam quae diuidunt: {quam} quae diuidendae sunt: contineat. id, quod facile fit: si utrarum{que} denominatores inter se mul∣tiplices: deinde in numero illo procreato duos numeros minores exquiras: alterū, qui partes diuidendas: alterū, qui partes diuisores referat. Ita deprehēdes nihil omnino interesse: utrum alterum illorum numerorum per alterum diuidas: an partes alteras per alteras. Exemplū in prima secandi specie. ubi per ⅓ secamus ½ si numerū quaerimus: qui ⅓ et ½ capiat: tria in duo ducta, sex nobis creant. qui numerus utras{que} minutias cōplectitur. Postea in sex, prius numerum inuestigemus: qui unā eorū tertiam exprimat. is erit duo. deinde iterum 〈◊〉〈◊〉 alterum numerum inqui∣ramus: qui creet unam eorum secundam. et tria esse com∣periemus. Quibus numeris inuentis, nihil referre depre∣hendemus:

utrū per ⅓ secemus ½: an tria per duo. Nam utrobi{que} res ad idem recidet. quippe ex partium sectione proueniunt tres secundę: quę unū integrum et dimidium faciunt. nam numeratoris per denominatorē partitio unū in numero partitionis producit: ultra quod una secunda superest. Id, quod itidem eueniet: si tria per duo seces.

Alterum exemplum in secunda secandi specie. Si per ½ diuidas 2/4: inde podeunt 4/4. quae unum integrum cre∣ant. Idem surget: si quatuor diuidas per quatuor. quippe in octonario numero ex denominatorum in se ductu pro∣creato. 4. unam secundam, et. 4. duas quartas faciunt. At in tertia secandi specie, quando maiores partes diuiso∣ris funguntur partibus: quemadmodum tunc in integris sectio fieri nequit: nisi minor numerus, uel in species sub se cōtentas multiplicetur: uel in minutias soluatur: sicuti mox dicemus: ita dum minutiae coeuntes sic secantur: hu∣iusmodi partitio nil nisi minutias parit: quippe quę unum integrum nequeunt aequare. quia quot partibus numera∣tor a denominatore superatur: totidem desunt ad integrū componendum. Veluti si per ½ seces ⅓: prodeunt ⅔. Quod perinde ualet: ac si duo per tria diuidere moliaris. nam in numero senario utras{que} cōplectente minutias tria unam secundam, duo unā tertiam faciunt. Quae sectio in integris fieri nequa{quam} potest: ut uterque numerus integer maneat. id, quod mox explicabimus. Quamobrem quā∣do partes quaelibet per alteras quasuis partes diuiden∣dae proponuntur: hoc significatur: ut partes illae alicuius

numeri propositae diuidantur per alteras eiusdem numeri partes propositas.

PRAETEREA cum in integris multiplicatio semper augeat: partitio{que} diminuat: in minutijs cōtra euenit: ut eę multiplicādo decrescāt: et augeantur partiendo. Nam si per unam tertiam una secunda multiplicetur: procrea∣tur una sexta. quę longe minor est: {quam} uel una secunda: uel una tertia. At e conuerso, si per unam tertiam una secun∣da diuidatur: fiunt tres secundae: quae unum integrum et dimidiū componunt. quod longe plus est: {quam} uel una ter∣tia: uel una secunda. Verumtamen qui minutiarum natu∣ram eam esse meminerit: ut quanto magis in numero de∣nominator crescit: tanto magis quantitate partes diminu∣antur: id, quod ante saepius admonuimus: statim mirari desinet: cur minutię multiplicando decrescant. cum in his numeri incrementum diminutionem afferat quantitatis. et denominator {pro} ratione, magis {quam} numerator augeatur. Maius mirum prima facie uideri potest: quomodo partes diuidendo crescant. sed nec id quidem quempiam turbare debet: qui partium diuisionem ab integrorū longe diuer∣sam esse pernouit. Etenim illa fit per subductionem diui∣soris a numero diuidendo toties repetitā, quoties id fieri potest. Hęc autem per duorum fragmentorum obliquam in unum coitionem: per quam tertium exoritur fragmen∣tum ex aequali illorum complexu productū. Quare quo∣niam multiplicationis natura est: ut partes edat minores partitionis, quae ei contraria est: esse debet: ut partes in∣stauret: pleniores{que} eas reddat. Cui rei nō absimile quid∣dam nonnun{quam} in integris uidere licet: si quis minutiores

nūmos ad librarum aureorum ue summā cupiat redigere. id quod fit per sectionem. si per illum nummorum nume∣rum, quo libra una aut aureus unus aestimatur. uniuersus nummorū numerus diuidatur. Ita{que} quando minutię per minutias secantur: omnia maiora fiunt: quemadmodum aurei at{que} librae congeruntur ex minutioribus nummis. Quocirca partiū diuisio nihil aliud est: {quam} iuestigatio quę∣dā: quot et quę partes ex duabus fragmētis ad tertij frag∣menti {pro}creationē pariter per sectionē coeuntibus oriātur.

SI QVAE uero minutię per integra fuerint diuidendę: ab earum sinistra numerus integrorum supra lineam scri∣batur: ueluti minutiarum numerator quidam: sub quo, linea interiecta, notetur unitas: quę, quasi quidam deno∣minator, integra designet. tum{que} multiplicatiōe in formā crucis facta, sic fiat diuisio: quemadmodum in alijs minu∣tijs. Nam si per 2/1 diuidantur ¾ post{quam} in speciē crucis mul∣tiplicatio fiet: orientur ⅜. Alio modo id fieri potest: et res ad idem recidet: ut denominatore manente intacto, numerator minutiarū per numerum integrorū in partes aequales, si fieri potest: diuidatur. Veluti si per. 2. integra 6/8 secentur: fient ⅜. Alioqui si numerator per integro∣rum numerum in partes aequales secari non possit: nu∣merus integrorum in denominatorem diuidendi fragmē∣ti multiplicetur: et res erit confecta. sicuti si per. 2. inte∣gra ¾ secentur: prouenient ⅜.

SIC OBITER expedita est partium dimidiatio. quā speciem curiosi quidam separatim tractant: cum longe sit

facilior: {quam} si quis eas per tria, quatuor, aut quemuis alium maiorem numerum secare uelit.

AT SI minutiae per integra et minutias secandae pro∣ponuntur: prius integra in minutias sibi adiunctas redi∣gantur: ut una de his minutiarum facies appareat: quae, quia diuisoris partibus fungentur: sinistram occupabūt. aliae uero minutiae, quae sectionem pati debent: dextram. deinde multiplicatione in formam crucis facta, minutiarū more, diuisio peragatur. Veluti si per. 2½ partiri ¾ uoles prius adiunctarū minutiarū denominator. 2. in. 2. duca∣tur: et fient. 4. quibus additus numerator. 1. educit 5/2, per quas si seces ¾: ex ea partitione prouenient 6/20.

{QUOD} SI integra per minutias diuidi debēt: integra qui∣dem minutiarum more, supra lineam, cui subdatur uni∣tas: a dextra locentur: minutiae autem a sinistra. Caetera uero, quae de multiplicatione in formam crucis facienda iam diximus: nihil immutentur. Exempli gratia. si per ⅔ secare uis 4/1, enascentur 12/2.

PORRO si integra per integra et minutias diuidenda sunt: post{quam} integra, quae minutias adiunctas habent: in earum formā redacta erunt: a sinistra locentur: {quod} diuiso∣ris fungantur partibus. caetera uero expediantur: sicuti proxime diximus: quando integra per minutias secātur. Veluti si per. 2⅔ secandę sunt 4/1, minutiarū adiūctarum denominator. 3. ducatur in. 2. et fient. 6. quibus nume∣rator. 2. additus creat 8/3. per eas autem si diuidas 4/1, inde

prouenient 12/8: quae faciunt. 1½.

AT SI integra et minutiae per minutias secandę sunt: prius integra in minutias sibi adiūctas redigantur: ut una de his minutiarū facies fiat. deinde a dextra positę, per al∣teras minutias fragmentorū more secentur. Veluti si per ⅚ partiri. 5¾ uoles. 5. in. 4. ducantur: et. 20. prodibunt. quibus numeratorē. 3. adde: et surgent 23/4. Postea mul∣tiplica. 4. denominatorē deuidendi fragmēti in. 5. nume∣ratorē diuisoris. et producētur. 20. Deinde numerator di∣uidēdi. 23. ducatur in denominatorē diuisoris. 6. et surgēt 138. quę, si per. 20. secta ad integra redigātur: pferēt. 6 9/10.

AD EVNDEM modū fiat: si integra et minutię per in∣tegra secādę sunt. id quod quando acciderit: ipsa integra a sinistra locata minutiarū speciē induāt: uti supra dictū est.

QVANDO uero integra et minutiae per integra et mi∣nutias diuidi debent: prius utra{que} integra in minutias sibi adiūctas seorsum redigantur: ut omnia minutiarū speciē utrin{que} referant. Deinde minutiae, quę diuidendę sunt: a dextra locatę, per alteras, fragmentorū more secētur. Ve∣luti si per. 3 2/9 partiri. 6 1/7 cupis. 3. in. 9. multiplicata et producto numerator additus facient 29/9. Item. 6. in. 7. ducta producto{que} numerator adiunctus proferent 43/7. Postea si per 29/9 secētur 43/7: ex ea partitione 387/203 prodibūt. quae ad integra reductae faciunt. 1 184/203.

VBICVMQVE autem minutiarum minutiae interue∣niunt: prius hę ad simplices minutias redigendae sunt: et

postea in singulis, secundum ea, quae supra dicta sunt: di∣uisio peragenda.

SI CAPERE experimētū libet: an partitio recte facta sit: sectionis numerū in diuisorē multiplica: et numerus di∣uidēdus producetur. nam multiplicatio diuisionē, et mul∣tiplicationē diuisio {pro}bat in minutijs: quemadmodū fit in integris. Igitur quando per ⅓ secātes ½ educimus 3/2. quae faciunt. 1½. recte diuisum esse probabimus: si 3/2 in diui∣sorē ⅓ ducemus. ita 3/6 pducentur. quę ad minimā nomen∣claturā redactae faciūt ½. quod fragmentū diuidēdū erat.

IN MINVTIIS OPERAEPRECIVM IL∣lud admonere putauimus: in quo multum exercitatos la∣bi saepenumero uidimus. Quandocum{que} minutiae: quae diuisoris fungūtur partibus: et quae sunt diuidendę: eun∣dem denominatorē habent: qui in utris{que} suo numeratore minor reperitur: maior{que} existit earum numerator: quae secandę sunt: {quam} quę secare debent: quoniā tunc in utris{que}, minutiae totidem integra repraesentant: quoties utrius{que} numerator denominatorem suum continet: partitio ne∣qua{quam} oblique in formam crucis fiat: sicuti fit in minutijs. sed denominatoribus manentibus intactis, maior diuidē∣di numerator per diuisoris numeratorem, qui minor est: integrorum more secetur. Alioqui si supputator illas sicut minutias diuideret incautus: cum integra designent: et minor numerator maiorem partiri possit: in labyrinthum inextricabilem ignorans sese immergeret. Exemplis rem illustremus. Esto per 5/3 secandae essent 7/3. denominato∣ribus

utrius{que} nihil immutatis, septem per. 5. diuisa edu∣cent unum integrum et duas quintas. Aut si per 8/6 parti∣ri cupias 10/6 per octo secans decem unum integrū procrea∣bis: et supererunt 2/8: quae reddunt ¼.

Et {quam}uis in his exemplis nihil referre uideatur: utro ea mo∣do secentur: cum etiam si minutiarū more fieret partitio: nihilominus post reductionem minutiarū ad integra res ad idem recideret: tamen pręter{quam} {quod} uia iam monstrata il∣las reducendi uitat ambages: multę supputationes occur∣rent: in quibus error immensus orietur: si ritu partium ea diuidas. Et pręsertim ubi ex diuersis integris, et uarijs mi∣nutijs in unum additis, unus omnium diuisor colligitur: qui multa et uaria secar̄e debeat. Id, quod in explicandis numerorum nodis, in sequenti libro, manifestum per ex∣empla faciemus.

IN INTEGRIS NVMERIS MAIOR NON diuidit minorem: cum in minore maior non contineatur. uti superiori libro, de partitione praecipientes, admonui∣mus. Caeterum maior numerus minorem frangere in mi∣nutias potest. Et, ut scias: quonam modo ea sectio fiat: quot{que} et quales partes faciat: illud obserua: ut minorem numerum diuidendum supra breuem lineam ductam, nu∣meratorem statuas: maiorem uero, qui diuisor est: deno∣minatorē lineae subijcias. Sic tot enascentur partes: quot diuidendus, qui numerator est: unitates capit. tales autē erunt: quales denominator, qui diuisor est: demonstra∣bit. Quae continuo ad minimam sui nomenclaturam re∣dactae

manifestabunt: quot et quales partes prodeant: quando maior numerus in minutias diuidit minorem. exemplum. si per. 30. secare. 15. uelimus: fiunt 15/30. quę ad minimā nomenclaturam redactae faciunt ½. Itidem si per. 40. partiri cupiamus. 15. sectio facit 15/40. quę sunt ⅜. Similiter, si per. 13. secare uelimus. 7. prodeunt 7/13. Mi∣nor numerus supra lineam numerator efficitur: {quod} in mi∣nutijs is locus sit numeri diuidendi. Maior uero numerus sub linea denominator fit: {quod} eum locum in minutijs diui∣sor obtineat. Et quemadmodū si numerator maior esset: denominator minor eum secans proferret integra: sic e cō∣uerso, quando denominator numeratore maior est: enas∣cuntur minutiae: quibus tantum deest ad integrum com∣ponendum: quanto numerator denominatore est minor. Ita numerus minor diuidi per maiorem duobus modis potest. Vel quando res a minore numero numeratae du∣cuntur in species sub se contentas: ut numerus productus maioris sectionem ferat. ueluti si unus aureus, inter qua∣tuor uiros diuidendus, multiplicetur in minutiorem pecu∣niam: ut in quatuor partes distribui possit. Vel quando numerus maior minorem in minutias secat: id quod fieri potest eo modo, quo iam diximus.

Haec {quam}{quam} attinent ad sectionem integrorum: quia tamen huiusmodi partitio producit minutias: de quibus ibi prae∣postere fuisset dicendum: in hunc locum potius relegan∣da fuerunt.

DE RADICVM INVESTIGATIO∣NE IN MINVTIIS.

QVADRATI et cubi lateris inuestigatio eodem modo fit in minutijs: quo in integris fieri solet: nisi {quod} geminandus est labor: cum tam in numeratore {quam} in denominatore radix sit quaerenda. Latus autem in nu∣meratore inuentum numeratoris erit radix. quod uero ex denominatore eruetur: denominatoris radix habebitur. inter quae linea media secanda est. Exemplum de latere minutiarum quadrato. Si de 25/16 radicem cupis eruere: nu∣meratoris radicem inuenies. 5. denominatoris. 4. Sic li∣nea distinguente, fiunt 5/4. Similiter de 46/94 radix quadra∣ta capit 6/9. et reliquę supersunt 10/13. Radix uero cubica ea∣rundem minutiarum habet ¾. et restant 19/30.

DE RADICIBVS PROPIVS INVE∣niendis in numeris ne{que} qua∣dratis ne{que} cubis.

VBI IN numero, qui ne{que} quadratus est: ne{que} cu∣bus: radix est inuenta: semper aliquid erit reliquū: siue in prima inuestigatione id eueniat: siue in ulteriore: de qua iam dicemus. Nam si nihil restaret: is numerus quadratus aut cubus esset. Nonnun{quam} autem in amplo numero reliquum ipsum ingens erit. Prima nam{que} inue∣stigatio radicem deprehendit maximi numeri quadrati, aut cubi in his contenti. inter quem et numerum illum,

qui ne{que} quadratus neque cubus proponitur: ipsum reli∣quum differentiam manifestat. Quocirca in eiusmodi nu∣meris ueram radicem assequi nun{quam} licet: tam et si propius multo, {quam} in prima inuestigatione factum est: accedi po∣test: ut scias: quot partes cuiusuis denominationis super∣sint. Id quod in quadratis fiet ad hunc modum.

POST primam in integris radicis exquisitionem, in qua reliquum superest: numerum illum non quadratum, cuius in integris radix inuenta est: per denominatorē cu∣iuscū{que} partis, quā optas: multiplica. Deinde per eūdem denominatorē iterū multiplica numerū productū. Quod cū factū erit: radicem numeri per secundā multiplicatio∣nem producti, exquire. Haec nam{que} radix secunda cun∣ctas illius denominationis partes in numeri primo pro∣positi radice cōtentas demonstrabit. At{que} ideo si per par∣tium denominatorem radicem illam secundam seces: nu∣merus sectionis proferet primae radicis integra, et praeter∣ea etiam partes aliquot illius denominationis. Caeterum aliquot minutiae semper restabunt: quae minus {quam} unam partem faciant: ut ad integrum formandum partes illae nun{quam} deduci queant.

VERBI gratia, si scire libet: quę sit radix numeri octo∣narij. hanc esse. 2. deprehendes. et quatuor erunt reli∣qua. Iam si scire uelis: quot quartae unius integri super∣sint in radice. Primum. 8. per quatuor multiplica: et pro∣deunt triginta duo. Iterum triginta duo in quatuor du∣cito: et producentur. 128. Huius secundo producti ra∣dicem perscrutans comperies eam. 11. totidem namque

quartae sunt in octonarij numeri radice: hoc est, duo in∣tegra, et tres quartae, praeter septem in minutijs reliqua: quae quartam explere nequeunt. Ita{que} ultra primam in∣uestigatigationem, quae. 2. integra in radice protulit: se∣cunda tres pręterea quartas eruens propius accessit.

QVOD SI etiamnum partium particulas inuestigare pergens scire uelis: quot quartae unius partis quartae, ul∣tra duo integra et tres quartas supersint: ad eundem mo∣dum, sicut de integrorum partibus exquirendis iam di∣ctum est: numerum, cuius radicem secundo indagasti: semel in denominatorem particulae: et iterum in produ∣ctum ducere debes: atque in numero secundo producto radicem inuestigare. quae, post{quam} inuenta erit: cuntas il∣lius denominationis partium particulas in numeri primo propositi radice contentas demonstrabit. Illam autem radicem si per denominatorem particularum seces: nume∣rus sectionis partes integrorum demōstrabit. et id, quod erit reliquum: partium particulas.

VERBI gratia. 128. cuius numeri in superiori exem∣plo secundo producti radicē inuestigauimus per quatuor multiplicemus: inde nascentur. 512. Postea iterum du∣camus quatuor in. 512. ita {pro}ducentur. 2048. huius nu∣meri radicem quęrentes deprehendemus eam esse. 45. et supersunt. 23. Igitur. 45. quartę unius partis quartae in octonarij radice erunt: quas si diuidamus per quatuor nu∣merus partitionis mōstrabit. 11. et unum erit reliquum. Qua ratione comperiemus in octonarij radice undecim partes quartas, nempe duo integra et tres quartas, atque

insuper unam quartam unius partis quartae contineri.

{QUOD} si cui est animus amplius progredi: poterit ad eun∣dem modum etiam parcicularū particulas ulteriores per∣scrutari.

IN CVBIS quo{que} numeris ad eundem omnino mo∣dum omnia fiant. nisi {quod} numerum illum non cubum cu∣ius radix in integris inuenta est: non solum per denomi∣natorem partis, quamcum{que} uoles: multiplicare oportet: et iterum in productum; sed (ut ratio cuborum postulat) tertio denominatorem illum in numerum ex secunda mul tiplicatione productum ducere debemus. Quo fiet: ut numeri tertio producti radix inuestigata cunctas illius denominationis partes in primi cubi radice cōtentas ma∣nifestet. Itidem etiam progredilicet ad partium particu∣las in his inuestigandas.

ALIO MODO PER COMPENDIVM ID fieri poterit: ad hunc modum: ut denominatorem parti∣um, quas exquiris: semel in reliquum, quod post pri∣mam in integris radicis exquisitionem restabit: at{que} ite∣rum in productum: ducas. Postea per eundem parti∣um denominatorem radicem ipsam in integris inuentam multiplica: numerumque illum partium radicis sic pro∣ductum duplica. Deinde numerum, qui ex denomina∣tionis partium semel in radicis reliquum atque iterum in productum multiplicatione productus est: sic diuidere per numerū ex duplicatione generatum debes: ut tamen tantum supersit: quantum numerus sectionis postea in se ipsum ductus, propemodum delere subductus possit.

Nam in his numeris non quadratis semper (uti diximus) aliquot minutiae restabunt. Ita numerus sectionis radi∣cis partes ex reliquo nascentes monstrabit. Verbi gratia. Si ex octonario radicem quaeris: inuenies eam. 2. et su∣persunt quatuor. Iam si scire cupis: quot quartae sint in reliquo. multiplica quatuor reliquum per quatuor deno∣minatorem partium: quas quaeris. et prodeunt sedecim.

Iterum denominator quatuor in sedecim ductus creat sexaginta quatuor. Deinde radicem. 2. multiplica in de∣nominatorem partium quatuor, et fient. 8. duplica pro∣ductum. 8. et procreantur sedecim. Iam uero si diuidas sexaginta quatuor per sedecim: quater in illis diuisor ha∣beri potest: sed tunc nihil restabit: quod numerus parti∣tionis postea in se ductus deleat. quare si semel minus, {quam} alioqui fieri posset: diuisorem sedecim tollamus: ter se∣decim facient quadraginta octo: et supererunt adhuc se∣decim: a quibus si numerum sectionis. 3. in se ductum, qui facit nouem: subducas: restant septem. sic numerus sectionis ostendit, ex reliquo radicis fieri tres quartas, prę∣ter minutias restantes. 7.

AT SI IN hoc exemplo partium particulas inuesti∣gare perges, ueluti quartarum quartas: denominatorem particularum, quas quaeris: nempe quatuor semel in reli∣quum post secūdam radicem partium inuentam restans, uidelicet septem ducito. inde{que} fient uiginti octo. Iterum etiam eundem denominatorem quatuor in productum uiginti octo multiplicato. et surgent. 112. Postea earun∣dem particularum denominatorem quatuor ducere opor∣tet

in omnes partes totius radicis hactenus inuentas: quę sunt undecim. nam duo integra, quę prodierunt ex prima inuestigatione: et tres quartae, quae ex secunda: faciunt undecim quartas. quo fiet: ut quatuor in undecim ducta procreent quadragintaquatuor. quem numerum produ∣ctum si duplices: nascentur octoginta octo. Per ea autē si sic diuidas. 112. ut numerus sectiōis postea in se ipsum ductus, quoad fieri potest: totum diuidendum auferat: unitas diuisor sufficiet. ita octoginta octo semel a. 112. extracta, relinquunt uiginti quatuor. et postea unitas in se ducta adhuc unum creat: quod auferendum est a. 24. et restabunt uiginti tria. Ita numerus sectionis unā quar∣tam unius quartae ex secundo reliquo prodire manifestat. et supersunt. 23. Hac ratione etiam ulteriores particula∣rum particulas, quatenus progredi uelis: consectari licet.

RATIONEM uero, cur quadratum per denomina∣torem partium bis sit multiplicandum: Socrates apud Platonem Menonis puero reddit. Cuius sententiam pau∣cis explicabo. Quadratum lineae bipedalis quatuor erit pedum. nam cum figura duos pedes longa et unum alta duorum sit pedum:

[illustration]

fit ut figura duos pedes longa et itidem duos alta quatuor pedum existat. Quadratum autem duplae longitudinis se∣decim

[illustration]

capiet pedes. quoniā cū figura longitudine dupla et sola duorum pedum altitudine pedes octo complectatur:

[illustration]

figura, quae longitudinis duplę, et altitudinis etiam duplae erit: sedecim pedes capiet.

[illustration]

SIMILITER IN OMNIBVS ALIIS QVA∣dratis multiplicandis opus est duplici multiplicatione. quoniam prima multiplicatio solum auget in longitudi∣nem. at secunda, quae fit in productum: altitudini tan∣tundem adijcit. Exempli causa. Esto quadratum pro∣positū quatuor, si libet inquirere quadratum: cuius quod∣que latus duplum sit ad quodque latus propositi quadra∣ti. duplica quadratum propositum. inde octo nascun∣tur: et tantum figura creuit in longitudinem. Longitudo enim dupla euasit: sed altitudo inuariata manet. Igitur quadratum non est. Quare si iterum duplices productū: inde fient sedecim. atque ita tantundem etiam in altitu∣tudinem crescet: cum sit dupla ad altitudinem priorem.

Quod autem SOCRATES in lineis puero sub oculis demonstrauit: id EVCLIDES in numeris, qui for∣mari possunt in modum quadratorum: doctis ratione patefacit: cum inquit. Si fuerint duo numeri, ambo qua∣drati: erit proportio alterius ad alterum, tan{quam} sui lateris ad latus illius, proportio duplicata. Si uero ambo fue∣rint cubi: erit proportio alterius ad alterum, tan{quam} sui la∣teris ad latus illius, proportio triplicata.

{QUOD} SI COMPENDII DATI RATIONEM quaeris: id ita habere sub oculis uidere licebit, hoc exem∣plo. Finge numerum propositum esse tria: huius radicem cōstat esse unum, et supersunt duo. Iam si scire libet: quot quartae unius integri ad illa duo respondere debeant: duc denominatorem quatuor in tria: et fient duodecim. Ite∣rum

multiplica quatuor in productum duodecim: inde nascentur quadraginta octo. Huius numeri figuram quadratā efforma, hoc modo.

IN HAC figura sedecim respondent

[illustration]

ad maximum quadratum, sub primo numero. 3. nam ex ductu quatuor in unum. et iterum in productum fient se∣decim. Ita{que} hoc quadratum resecabis: cuius radix nota 4. (quia nascitur ex ductu radicis integrorum in denomi∣natorem partium) ad radicem unum in integris prius in∣uentam respondet. Quod superest autem: respondet ad reliqum numeri primo propositi. quippe quod nascitur ex ductu denominatoris partium quatuor in reliquum 2. et iterum in productum octo ex quo procreantur tri∣ginta duo. Ex illis autem triginta duobus, quae ultra qua∣dratum, quod est sedecim: supersunt duodecim illa, quae gnomonem extremum non absoluūt (Voco autem in nu∣meris gnomonem, id: quod constat ex duobus numero∣rum lateribus angulum rectum facientibus, instar gno∣monis geometrici) ueluti reliquum maximi quadrati tri∣ginta sex sub quadragintaocto resecanda sunt. Ita restant gnomones duo: qui cum quadrato sedecim quod resecui∣mus: conficiunt maximum quadratum. 36. sub. 48. cō∣tentum: adijciunt{que} radici superiori quatuor: quę ad ra∣dicem unum in integris inuentam respondet: duas unita∣tes. uti in figura liquet. et reliquū huius quadrati triginta sex, quod est. 12. adiecisset tertiam: si modo ad gnomo∣nem absoluendum, unum insuper accessisset. Ita{que} ante

oculos cernere licet: gnomonem quem{que} quadrato reseca∣to applicatum, in se complecti longitudinem et altitudi∣nem ipsius quadrati sedecim, hoc est duplum radicis qua∣tuor: et insuper in angulo restare quadratum numeri gno∣monū. is est in hoc exēplo, binarius. sunt enim duo gno∣mones. Quare diuisio numeri procreati ex ductu deno∣minatoris in reliquum et iterum in productum, facta per duplum radicis, sic tamen, ut numerus sectionis in se du∣ctus subduci possit a reliquo partitionis: ostendet: quot sint gnomones. Quo fiet: ut liqueat: quot partes ad reliquum respondentes, adden∣dae sint radici prius in integris in∣uentae. nam ei gnomo quisque unitatē in partibus addit.

AD EXERCENDOS IVVENES PLVRI∣mum iuuabit nonnullas interrogationes subnecte∣re: per quas ea, quae de minutiarum inter se comparata magnitudine dinoscendo, deque integrorum et minutia∣rum additione, subductione, multiplicatione, et diuisio∣ne hactenus dicta sunt: melius intelligantur. Sunt in his quo{que} quędam: quę ad enarrationem partium quotarum in numeris et in minutijs, at{que} etiam ad partium aliarum in alias transformationem faciunt. Ea autem rudimen∣ta ex Arithmetica Lucae de Burgo, cuius nomen in ea ar∣te non parum neque abs re celebratur: excerpsimus. quae sane ad ingenia studio sorum in numeris uegetanda mag∣nopere conducent.

QVOMODO, PROPOSITIS BI∣nis minutijs, scias: utrę sunt maiores.

SI QVINQVE sextę conferantur cum tribus quar∣tis: utrae maiores erunt? cōtinuo scies: si utris{que} mi∣nutijs iuxta alteras notatis, numeratorum in denomina∣tores, denominatorum{que} in numeratores, obliqua multi∣plicatio fiat: et uterque numerus productus supra suas minutias locetur. Quippe utercum{que} illorum maior erit: maiores suas minutias ostendet. Hac ratione ⅚ maiores sunt: {quam} ¾. Nam supra ⅚. 20 erunt. supra ¾. 18.

At ubi integra et minutiae cum alijs integris et minutijs conferentur: si integra erunt paria: de minutijs solis iudi∣candum erit: uti supra dictum est. {QUOD} si integra altera al∣teris imparia occurrant: quae maiora sunt: uincunt altera quantumuis magnas minutias adiunctas habentia. 〈 math 〉〈 math 〉

INTERROGATIONES PER additionem soluendae.

AQVO NVMERO subduci debent. 13. ut restent 12? Item a quo numero subtrahentur. 3 ½. ut relin∣quantur.

4 ⅓. Huius generis interrogationes, siue de in∣tegris, siue de minutijs quaeras: per additionem soluun∣tur. Nam si. 12. ad. 13. addas: surgent. 25. quae summa est: unde illa. 13. eximi debent: ut restent. 12. Similiter in minutijs, adde. 3 ½ ad. 4 ⅓. et fient. 7 ⅚. unde sub∣duci debēt illa. 3 ½. ut. 4 ⅓ relinquantur.

Interrogationes per subductio∣nem soluendae.

CVM QVO numero coniungenda sunt. 23. ut fiant 39? Item cum quo numero copulanda sunt. 6 ⅔. ut fiant. 13 ⅖? Huiusmodi quaesita per subductionem sol∣uuntur. Nam si. 23. a. 39. subducas: restabunt. 16. quę iuncta ad. 23. faciunt. 39. Similiter in minutijs, subdu∣cito. 6 ⅔ a. 13 ⅖. et supererunt. 6 11/15. quae si iungas ad 6 ⅔. surgent. 13 ⅖.

SI QVAERIS quantum ⅖ superant 3/7. per subdu∣ctionem scies. Nam post{quam} eo modo, quo dictum est: deprehendisti 3/7 maiores esse: {quam} ⅖: alteras ab alteris sub∣ducito: et 1/35 restabit. quę differentiam inter has minutias monstrabit. Id probare licet: sicut in subductione. Nam si 1/35 addas ad ⅖. fiet summa aequalis ad 3/7. Itidem si quęra∣tur: quę sit differentia inter ⅖ et 3/7. eodē modo scire licet.

INTERROGATIONES PER multiplicationem soluendae.

QVIS numerus in. 5. diuisus erat: quando in nu∣mero sectionis. 17. habentur? Item quis numerus in. 4 1/7 diuisus erat: quādo numerus sectionis profert. 2 ⅛? Multiplicatio rem aperiet. Nam si. 5. in. 17. ducas: fient 85. qui numerus in. 5. sectus educit in numero sectionis 17. Itidem in minutijs. 4 1/7 ducta in. 2 ⅛, faciēt. 8 45/56. Is numerus in. 4 1/7 sectus in numero partitiōis reddit. 2 ⅛.

QVOMODO PARTIVM PAR∣ticulae sunt exquirendae.

QVOMODO exquiras ⅔ de ⅘. Aut 3/7 de 8/9. Hoc perinde est: acsi quęras. quę sunt ⅔ quatuor quin∣tarum. Aut 3/7 octo nonarum. Igitur huiusmodi quęsita, quae de minutiarum minutijs occurrunt: per multiplica∣tionem minutiarum alterarum per alteras expediuntur. Nā ⅔ de ⅘ sunt 8/15. Item 3/7 de 8/9 sunt 24/63. quae ad minimā nomenclaturam redactae faciunt 8/21.

QVAE sunt ¾ de. 2 ½? Interrogatio haec, nisi {quod} in∣tegra minutijs sunt admixta: pręcedēti similis est.

Quocirca per multiplicationem simili modo soluitur. Nam ¾ de. 2 ½ sunt. 1 ⅞.

Interrogationes per diuisionem soluendae.

PER QVEM numerum diuisa sunt. 36. quando. 9. prodierunt in numero sectionis? Item per quem nu∣merum diuisa sunt. 12 ¼. quādo numerus partitionis ha∣bet. 3 ½? Huiusmodi interrogationes per sectionem sol∣uuntur. Quippe. 36. per. 9. secta, monstrant. 4. in nu∣mero partitionis. Nam quādo duo numeri aliquem com∣ponunt: si is per illorum alterum secetur: alter in numero partitionis exit. Ita cum quater. 9. faciunt. 36. si nume∣rum illum compositum seces per. 9. exeunt. 4. Si per. 4. exeunt. 9. Similiter. 12 ¼ per. 3 ½ diuisa, educunt. 3 ½ in numero partitionis.

PER QVEM numerum multiplicare oportet. 2 ½: ut 7 ⅔ producātur? Hoc genus interrogationum per di∣uisionē explicatur. Nam si per. 2 ½ seces. 7 ⅔. ex ea par∣titione prouenient. 3 1/15. It est numerus: in quem, si. 2 ½ ducas: producentur. 7 ⅔.

Quomodo exquiras in numeris, quota pars ma∣ioris numeri sit minor. et in minutijs, quo∣ta pars maiorum minutiarum minores existant.

QVOTA pars sunt. 4. de. 12. aut ⅔ de ¾? Hoc facile sciri potest tam in integris, {quam} in minutijs: si id, quod minus est: per maius in minutias eo modo diui∣das: quo de utris{que} supra dictum est. Nam si. 4. per. 12. seces: fient 4/12. quae sunt ⅓ de. 12. Et si per ¾ diuidas ⅔. prodibūt 8/9. Igitur dicam ⅔ esse 8/9 de ¾. Id{que} ita esse uel ex hoc capere experimentum licet: {quod} si sumas 8/9 de ¾. id, quod alteras minutias in alteras ducēdo facere licet: inue∣nies eas esse ⅔.

Minutiarum aliarum in alias transformatio.

QVOT decimae octauae sunt in 5/9? Hoc genus uo∣cant minutiarum aliarum in alias transformatio∣nem. id, quod fit per partitionem. Nam si per 1/18 diuidas 5/9. ex ea sectione prouenient 10/18. quae sunt 5/9. sic in 5/9 cō∣periuntur 10/18. Eodem modo quaelibet aliae minutiae in alias quaslibet per sectionem transfigurantur: etiam si in∣tegra sunt adiuncta. Veluti si quaeratur: quot tertiae sint in. 3 ½. per ⅓ diuide. 3 ½. et {pro}uenient. 10 ½. tot sunt ter∣tiae in. 3 ½. Hunc modum partes alias in alias transfor∣mandi, supra etiam dedimus: quando de partibus dissi∣milibus ad similitudinem redigendis: praecepimus. {quam}{quam} ibi de minutiarum sectione, quae non dum explicata erat: de industria reticuimus.

Interrogationes per plura et di∣uersa soluendae.

CVM QVOT octauis supputari debent ⅗: ut fiant 8/9? Principio consydera: cum quo numero iungēdę sunt ⅗: ut surgant 8/9: id, quod per subductionem scies. Nam si subducas ⅗ ab 8/9: restabunt 13/45. cum eo numero copulāda sunt ⅗: ut fiant 8/9. Iam uero uidendū est: quot octauas 13/45 capiant: id, quod scies: si per ⅛ seces 13/45. sic in numero sectionis prodibunt. 2 14/45. cum tot igitur octa∣uis, hoc est cum duabus et 14/45 unius octauae, copulandae sunt ⅗: ut surgant 8/9. Eodem modo de similibus fiat.

SVbtrahātur ⅗ a tot septimis: ut ½ supersit. Principio uidendum: a quo opus est subducere ⅗: ut ½ restet. id, quod deprehendes: si ⅗ ad ½ addas. ita surgent. 1 1/10. a quibus demere oportet ⅗: ut ½ relinquatur. Deinde ui∣de: quot septimae sunt in. 1 1/10. id, quod scies: si per 1/7 seces 1 1/10. ita surgent. 7 7/10. quae sunt. 7. septimae et 7/10 unius septimae: de tot septimis subducere oportet ⅗: ut ½ su∣persit. Id ita esse probabis: si capias. 7. septimas: quae sunt unum integrum. postea sumas. 7. decimas unius septimae: quae sunt 7/70. et faciunt 1/10. Sic in summa fiunt 1 1/10. sicuti iam dictum est. Similiter fiat in huiusmodi quaesitis.

SVbducatur differentia: quę est inter ⅖ et ⅚ de tali nu∣mero: ut restet differentia: quae est inter ½ et 5/9. Primum per subductionem exquirenda est differentia in∣ter ⅖ et ⅚. ea est 13/30. Deinde eodem modo quęre differen∣tiam inter ½ et 5/9. et eam inuenies 1/18. Postea ambas eas differentias adde: et surgent 22/45. a quo numero fiat sub∣ductio primae differentiae, uidelicet 13/30: et altera differen∣tia, quae quaesita est: restabit.

PER QVOT quintas multiplicanda sunt. 2 ½: ut in∣de crescant. 7 ⅔? Primum uide: per quem numerum opus est multiplicare. 2 ½: ut fiant. 7 ⅔. id, quod scies: si per. 2 ½ diuidas. 7 ⅔. ita exibunt. 3 1/15. in quę si. 2 ½ du∣cas: produces. 7 ⅔. Deinde uidendum: quot sunt quin∣tae in. 3 1/15. id qd facile cognosci potest: si {per}⅕ seces. 3 1/15. Nam inde prouenient. 15 ⅓. quae sunt. 15. quintae et ⅓ unius quintę. per tot quintas multiplicanda sunt. 2 ½: ut fiant. 7 ⅔.

SVmantur ⅔ de tot octauis: ut ½ inde proueniat. Hoc tantum ualet: ac si dicas. ½ cuius numeri faciet ⅔? uel per quem numerum multiplicanda sunt ⅔: ut fiat ½? Sicuti supra edoctus es: per ⅔ diuide ½. et prouenient ¾. Huius numeri ½ faciet ⅔. Nā ⅔ de ¾ sunt ½. Iam uero ut scias in ¾ quot sūt octauę: si per ⅛ seces ¾: prouonient. 6.

Ita{que} de 6/8 sumēdae sunt ⅔: ut fiat ½.

DIuidātur. 7 ½ per tot: ut inde proueniāt ⅚ de. 17 ½. Principio sumendae sunt ⅚ de. 17 ½ eo modo, quo dictum est. eę sunt. 14 7/12. Is numerus partitionis illius esse debet. Postea uidendum: per quem numerum secā∣dae sunt. 7 ½ ut inde proueniant. 14 7/12. id, quod fiet: si∣cut supra dictum est: si per. 14 7/12 diuidas. 7 ½. ita exi∣bunt 90/175: quae sunt 18/35. per quae diuidere oportet. 7 ½: ut inde proueniant. 14 7/12. hoc est ⅚ de. 17 ½.

DIuidantur. 7 ½ per tot nonas: ut inde proueniant 2 ¼. Primo uidendum: per quem numerum secan∣da sunt. 7 ½: ut inde proueniant. 2 ¼. id quod scies: si per 2 ¼ seces. 7 ½. ita proueniēt. 3 ⅓. per eum numerum di∣uidere oportet. 7 ½: ut exeant. 2 ¼. Iam uero quot nonę sunt in. 3 ⅓: cognosces: si ea per 1/9 diuidas: proueniēt enim 30. Ita{que} per. 30. nonas diuidēda sunt. 7 ½: ut. 2 ¼ pro∣ueniant.

DVcantur toties ⅗ in ⅚: ut inde fiant ⅝. Primū ⅗ du∣cantur in ⅚. et producet ½. Postea multiplica ½ in in eum numerū: qui faciet ⅝ quem inuenies: si per ½ seces ⅝. ita prouenient. 1 ¼. in quem numerum si ducas ½: producentur ⅝. Thema enim hoc innuit: ut numerus ex multiplicatione ⅗ in ⅚ productus, ducatur in eum nume∣rum:

qui faciat ⅝.

QVęro 7/9 de quot sextis existunt ⅗. Primum uide 7/9 cuius numeri sunt ⅗? Id, quod scire licet: si par∣ticulas quotas exquirens, per ⅗ diuidas 7/9. inde enim {pro}∣uenient. 1 8/27. cuius numeri 7/9 faciunt ⅗. Postea quaere: quot sextę sunt in. 1 8/27. id, quod scies, secans ea per ⅙. ita inuenies. 7 7/9 de tot sextis 7/9 existunt ⅗. Hoc est de 7. sextis, et. 7. nonis unius sextae.

SVbducantur ⅔ de ⅚ a tali numero: ut restent ¾ de 5/7. Primum cape ⅔ de ⅚: quę sunt 5/9. Postea sume ¾ de 5/7: quae sunt 15/28. eas adde ad 5/9: et fiēt. 1 23/252. de quo nu∣mero si subductio fiat: restabit: quod quaesitum est.

SVbducatur dimidium trium quartarum de. 12 ½ a tali numero: ut quin{que} sextae duarum tertiarum de. 10 ¼ restent. Ptimum uide: quę sint ¾ de. 12 ½. eę sunt. 9 ⅜. quorum cape ½: quę est. 4 11/16. tantum est dimidium tri∣um quartarū de. 12 ½. Deinde uide: quę sint ⅔ de. 10 ¼. eę sunt. 6 ⅚. quorum cape ⅚: quae sunt. 5 25/36. Iam uero secundum thema subduci debent. 4 11/16 a tali numero: ut restent. 5 25/36. Quocirca adde. 4 11/16 ad. 5 25/36. et surgent 10 55/144. Is est ille numerus: a quo subductio fieri debet: ut restetid: quod thema iubet.

EXPLICITVS EST LIBER SECVNDVS SVPPVTATIONEM PARTIVM DOCENS. SEQVITVR LIBER TERTIVS DE VARIIS NVMERORVM QVAE∣STIONIBVS EXPLI∣CANDIS.