De arte supputandi libri quattuor Cutheberti Tonstalli

DE ADDITIONE.

ADDITIO NVMERORVM EST DVO∣rum pluriumue numerorum in unam summam col∣lectio. Id autem fieri potest, siue minores quiuis numeri maioribus addantur, siue econuerso, siue aequales aequa∣libus. Illud summopere obseruandū est: ut siue duo siue plures sint numerorum ordines: quos in unam summam

colligere uelimus: ita eos omnino scribamus: ut sub prima nota primi ordinis primae reliquorum ordinum figurę di∣recte, uelut ad perpendiculum, locentur: sub secunda se∣cundae: sub tertia tertiae: et sic deinceps: ut in singulis or∣dinibus loci quo{que} numerorum, uelut sub una linea per∣pendiculari sibi respondeant. Nam alioqui si numerorū ordines oblique scripti fuerint, et ipsi eorum loci alij alijs permixti se mutuo directe uon respexerint: ut nesciatur: quis cui locus respondeat: magna sequetur in computan∣do confusio. Id{que} non modo in numerorum additione: uerū etiam in deductione, multiplicatione, et partitione eueniet. Quare ne in huiusmodi labyrinthum incidamus: in uniuersum praecipiendum est in tota numerandi arte: ut accurate ante omnia ponantur directi numerorum or∣dines: ut primi in singulis loci primis, secūdi secūdis, ter∣tij tertijs, et sic deinceps respondeant.

AD HAEC in numerorū additione, deductione, mul∣tiplicatione, partitione, per uniuersas numerorum sedes, siue secūdas, siue tertias, siue quartas, siue ulteriores, illud perpetuo seruare debemus: ut tantisper dum numeros ad∣dimus, deducimus, multiplicamus, partimur, omnes om∣nium locorum notas pro primarijs numeris, non autem pro denarijs, centenarijs, millenarijs, aut ulterioribus ac∣cipiamus. Peracto uero opere, quando summam uel col∣lectam, uel deductam, uel multiplicatam, uel partitam re∣sencemus: singulis numerorum sedibus suam uim restitu∣imus: ut tum notae in exprimenda summa eam significa∣tionem habeant: quam loci suppeditabunt.

QVI NVMEROS numeris additurus es: si duo tan∣tum sint ordines: post{quam} alterum numerum supra, alterū infra scripseris: sub ambobus lineam calamo ducito. De∣inde a dextra parte, ubi minimi numeri locati sunt: inci∣piens, inferiorem primi loci numerum superiori eiusdem loci adde: et numerum ex his duobus compositum, si una nota scribi possit (quod certe erit: si minor {quam} de∣cē fuerit) sub linea directe sub primo loco pone. 〈 math 〉〈 math 〉

Sin fuerit numerus denarius, aut eo maior, ut duabus no∣tis ad eius expressionem sit opus: primam figuram, etiam si circulus sit: sub linea directe sub primo loco signa. Et se∣cundae figurae numerum memoriter tenens ad secundum locum progredere. Vbi si circulos tam in superiore, {quam} infe∣riore ordine reperis: numerum memoria retentum sub linea secūdo loco subscribe. 〈 math 〉〈 math 〉

Sin neutra figura circulus fuerit: ante omnia reposce a me∣moria numerum depositum: ne eius obrepat obliuio: si re∣liquos numeros prius addas: {quam} illum repetis: eum{que} ad inferiorem eius loci notam memoriter adiungens, illam ipsam sic auctam, ad superiorem secundi loci siguram ad∣de: et umerum ex eis surgentem, si una nota scribi possit: sub linea directe sub secundo loco scribe. 〈 math 〉〈 math 〉

Si uero altera tantum secundi loci nota circulus fuerit: al∣tera figura significans: numerū ipsum memoria retentū ex memoria promens adde significanti figurae: et ex eis sur∣gentem

numerum, si una nota scri∣bi possit, secundo loco subscribe. 〈 math 〉〈 math 〉

Sin ad eum numerum exprimendum, qui secūdo loco re∣peritur: duabus notis opus erit: primam earum, etiam si circulus erit: sub linea directe sub secundo loco pone: et secundae notae numerum memoria seruans, ad tertium lo∣cum progredere. Vbi itidem per omnia facies, uti secūdo loco fecisti: et numerum ex additione re∣pertum tertio loco repone. et sic ulterius usque ad postremum locum perge. 〈 math 〉〈 math 〉

Quo cum uentum erit: numerum ex additione repertum, si una nota scribi potest: postremo loco depone. 〈 math 〉〈 math 〉

Sin duabus figuris ad eum exprimendum opus erit: nu∣merus, qui superest memoria re∣tentus: a sinistra postremi nu∣meri, sub linea ponatur. 〈 math 〉〈 math 〉

Illa generaliter in omni numerorū addendi loco obserua∣re debemus: ut quotiescum{que} in ordinibus addendis om∣nes notę eiusdem loci, circuli fuerint: si nullus numerus mente sit retentus, qui lineae subdatur: subscribatur circulus. 〈 math 〉〈 math 〉

Et similiter quotiescū{que} in ordinibus addendis circulus et nota significās eiusdem loci fuerint: nullus{que} numerus su∣perest memoria retentus: qui significanti notae addatur:

illa ipsa nota significans, siue supe∣rioris siue inferioris ordinis fuerit: lineae subscribatur. 〈 math 〉〈 math 〉

Praeterea quotiescum{que} supra lineam ductam plures sunt superiorum ordinum {quam} inferiorum, loci, notae illę quae su∣persunt: eisdem locis sub linea subscribi debent, quibus su∣pra lineam steterunt. 〈 math 〉〈 math 〉

Exemplum duorum ordinū petamus: quod ea omnia cō∣tineat, quae supra docuimus. Id autē erit eiusmodi. 〈 math 〉〈 math 〉

Quisquis hos duos numeros in unum compositurus est, uel mente cogitet, uel uerbis enunciet ea quae sequuntur. Primo loco in inferiori ordine reperio tria. addo ea ad qua tuor quae sunt in superiore ordine. fiunt septē. ea sub linea ducta subscribo primo loco. deinde trāseo ad secundū. re∣perio infra quattuor, supra nouem, addo: fiunt tredecim: quae, quia duabus notis scribi necesse est: primā figuram, quae tria demonstrat: subscribo secundo loco, Alteram ue∣ro, quae unum repraesentat memoriter tenens progredior ad tertium locum. Vbi primū exonerās memoriam, unū, quod mente teneo adiungo ad sex, qui numerus inferioris ordinis primus occurrit. fiūt septem. ea addo ad octo, quę sunt in superiori ordine. sic prodeunt quindecim. et quoni am ea duabus notis scribenda sunt: primā tertio loco sub∣scribo, quin{que}. alteram, quae unum indicat, seruans memo∣ria

transeo ad quartum locum. Vbi primum promens ex memoria unum mente retentum, id adiungo ad tria, quae inferiori ordine sunt scripta. fiunt quattuor. quae addo ad quin{que} in superiori ordine, et subscribo quarto loco nouē. Pergo ad quintum locum ubi supra et infra circuli occur∣rūt. nihil habeo quod addam: at{que} ideo subscribo circulū. sexto loco infra duo, supra circulus occurrūt. nihil est cui addam duo. subscribo duo. accedo ad septimū locum. ibi infra circulus, supra tria sunt: nihil est inferius, quod ad∣iūgam ad tria. subscribo tria. festino ad octauū et postre∣mum locum. reperio infra sex: adiungo ad septem quae su∣pra sunt. exeunt tredecim. is numerus, quia duabus notis signandus est: primā, nempe tria, octauo loco subscribo: et aliam, quę unū significat: a sinistra eiusdem loci qui po∣stremus est, pono. at{que} ita sub linea facio nonum locum. numerus ita{que} sub linea, quem duos supra lineam nume∣ros addentes, composuimus, continet in uniuersum. Cen∣ties tricies ter millena millia, ducenta nouem millia, quin∣genta triginta septem. Quę de duobus ordinibus com∣ponendis diximus: pene nobis instituendis suffecerint, si plures numerorū ordines in unam summam redigere ue∣limus. Verum ut paucis praecipiendis rem magis aperia∣mus: Multos ordines in unum collecturi, numeros primas sedes occupantes primo colligere sic debemus: ut ab infe∣rioribus ordinibus incipientes ad superiores ascēdamus, et numerum ex additione repertum, si primarius erit, pri∣mo loco sub linea ponamus. Sin exdenarijs numeris ali∣quis fuerit, circulus eo loco subsignetur. et nota, quę dena∣rium illum, secūdum suam denominationem repręsentare

debet, memorię commendata secundarum sedium figuris, si infra centum numerus fuerit, annumeretur. Nam alio∣qui si numerus centenarius, aut eo maior us{que} ad mille sur get, ut in magnis additionibus nōnun{quam} euenit: cētena ter tium locum, et quae supersunt dena, secundum occupent. Verumtamen ubi numerus unius sedis us{que} ad centū aut supra ascendit, et nota quae illum significatura est, memo∣riter retenta in tertium ab illa sede locum transferri debet, ne nobis circa secundi loci additionem occupatis, obrepat obliuio numeri retenti, statim eum sub linea paulum sub tertio loco alicubi notemus: ut cum ad illum uenerimus: admoneamur eum reliquis sui loci numeris adiungere. Si uero numerus ex primario et denario compositus erit: numerus primarius sub linea subscribatur: et denarius me moria retentus secundum suam denominationem figuris secundi loci connumeretur: sicut de duobus ordinibus est supradictum. Expedito secundo loco ad tertium transe∣undum est: et itidem per omnia faciendum, quemadmo∣dum in secundo. Deinde ad quartum locum similiter per∣gendum: et deinceps ad reliquos omnes: in quibus obser∣uentur: quae de secundo loco diximus. Vbicun{que} autem eandem sedem circuli aliqui et notę significantes occupāt: circulis omissis, reliquae figurae simul additę sub linea suo loco ponantur. Quae diximus magis illustrabuntur se∣quentibus exemplis.

〈 math 〉〈 math 〉

EX HIS tot numeris unum collecturus, sic cogitabis tacitus: uel si mauis, uerbis enunciabis. primo loco prae∣ter circulos notae reliquae octo constituūt. igitur sub linea scribantur octo. Secundus locus circulos habet. sub linea noto circulum. Tertij loci notae praeter circulos exprimūt decē. uno igitur memoriter seruato pro denario numero, at{que} eo adiūcto ad quarti loci figuras, fiunt quinquaginta quin{que}. horum quin{que} sub linea quarto loco notantur: et quin{que} mēteretēta quinti loci notis, quę circulis permixtę sunt: aggregata faciunt nouē. ealineae subdūtur. Sexto lo∣co, quia circuli sunt: circulus lineę subijcietur. Septimo lo∣co notae omnes compositae producunt centū et octo. sub∣scribuntur ita{que} octo: et centenarij numeri nota, in nonū locum, qui connumerato septimo, tertius ab eo est: sub li∣nea reponenda seruatur. Octauo et postremo ordinum,

qui supra lineam sunt, loco ex numeris collectis surgunt nonaginta. nouem igitur memoriae mandantur. circulus octauo loco reponitur. Nono loco sub linea ex memoria promo nouem ab octauo loco delata. ibi reperio unū pro centenarij numeri nota ex septimo loco ante reconditum: quae simul adiuncta fiunt decem. Nono igitur loco circu∣lum subnoto: et ab eius sinistra unum depono: quod de∣cimū locum facit. Numerus igitur ex additione sub linea collectus erit. Millies millena millia, octies millena millia nonaginta quin{que} millia et octo.

Aliud exemplum multorum ordinum magis intricatum subijcio. 〈 math 〉〈 math 〉

OMNES in hoc exemplo primi loci notae simul iunctae centum et duo constituunt. duo sub linea primo loco scri∣bantur. et centenarius numerus per unitatis notam scri∣bendus

transferatur in tertium locum. In secundo loco, quia nihil habes nisi circulos, subnotetur circulus. Tertio loco, quia omnes figurae circuli sunt: et nihil est, quod ad∣das ad unum ex primo loco pro centenario numero trans∣latum, subscribatur unū. Quartus locus iunctis simul no∣tis centum continet: quamobrem subscribere oportet cir∣culum: et in tertium locum, qui a quarto etiam connume∣rato sextus est: seruare reponendum unum. Quintus lo∣cus centum et octo continet. subnotentur octo. iterum unum in tertium locum, qui septimus est a quinto connu∣merato, seruetur. Sextus locus, quia notae omnes sunt cir∣culi, unum habet subscriptum, ex quarto loco pro cente∣nario numero seruatum. Septimus locus quia multas ha∣bet notas, repeto primo a memoria unum, ex quinto loco pro centenario numero seruatum. adiungo reliquis eius loci figuris. fiunt nonaginta septem. ideo sub linea subscri∣bo septem, seruans nouem memoriter. Demum ad octa∣uum et postremum supra lineam locum properans, no∣uem ante recondita iungo numeris eius loci. surgunt cen∣tum. quamobrem circulum unum octauo loco, alium a sinistra loco nono sub linea repono: et centenarij numeri notam in decimum locum, qui connumerato octauo, ab co tertius est: transfero. continet autem hic numerus coa∣ceruatus. Millies millena millia, septies millena millia, cē∣tum octuaginta millia, centum et duo.

QVI numeros numeris addere prompte uelit: ante om∣nia memoriter ediscere debet: quos numeros procreent singuli sub decem numeri primarij, uel ipsi geminati, uel reliquis primarijs adiūcti. Quod certe tam scitu facile est:

ut pueri adhuc impuberes id ferme non ignorent. Verum si quis adeo rustice est educatus: ut id nesciat: poterit una hora, modo operam dare uelit, id ediscere. Verbi gratia. Nouem et nouem faciunt decem et octo. nouem et octo, decem et septem. nouem et septem creant sexdecim. nouē et sex, quindecim. nouem et quin{que}, quatuordecim. no∣uem et quattuor, tredecim. nouem et tria, duodecim. no∣uem et duo, undecim. Deinde octo et octo producunt sexdecim. octo et septem, quindecim. octo et sex, quattu∣ordecim. octo et quin{que}, tredecim. octo et quatuor, duo∣decim. octo et tria, undecim. octo et duo, decem. Rursus septem et septem creant quatuordecim. septem et sex, tre∣decim. septem et quin{que}, duodecim. septem et quatuor, un decim. septem et tria, decem. septē et duo, nouem. Deinde sex et sex faciunt duodecim. sex et quin{que}, undecim. sex et quatuor, decem. sex et tria, nouem. sex et duo, octo. Prae∣terea quin{que} et quin{que} producunt decem. quin{que} et quatu∣or, nouem. quin{que} et tria, octo. quin{que} et duo, septem. Ad haec quatuor et quatuor procreant octo. quatuor et tria, septem. quatuor et duo, sex. Deni{que} tria et tria constitu∣unt sex. tria et duo, quin{que}. duo et duo, quatuor. Nam unum ad reliquos numeros adiungere pueri omnes infan tiam egressi sciunt. Quae diximus, figuris notata sub ocu∣lis posita sequuntur.

〈 math 〉〈 math 〉

SI quis apud se scrutari uelit: cur hęc ita se habent: ut dum per singulos locos notas addimus: eas{que} pro primarijs com∣putamus: numerus tamē sub linea collectus, quādo locis sua significatio redditur: recte in uniuersum respōdeat. In prōp∣turatio est. Nam quemadmodum in primo numerādi loco, primarias notas, si recte copulatę sūt: numerus sub linea col∣lectus continet: ita necesse est: ut per singulos locos figuras omnes, si recte cōiunctę sunt: numerus sub linea coaceruatus exprimat. Et si quis numerus, dū addimus, memoria retētus, a loco ubi repertus est: in aliū transfertur: id fit: quia maior est, {quam} ut eo loco, quo natus est, reponi debuerit: et quando in suum locū recte translatus est: uelut illius loci foetus numera∣tur. Ad haec cum per omnes quidem locos figurarum forma eadem sit, significatio uero pro augmento loci longe diuersa: denominationem tamen omnes a primo loco recipiunt: ut quot illic unitates singulae repręsentant: totidem secundo lo∣co dena: tertio centena: quarto millena: et sic deinceps, ex∣primant. Quādo igitur singulis numerorum sedibus, nume∣rum ibi collectum, sub linea subij cimus: eadem per omnes se∣des ratio est: quę de primo loco: ut sicut ibi omnes numeros numerus sub linea locatus continet: ita in omnibus locis col∣lectos numeros repręsentet. Et cum omnium locorū notę de∣nominationem a primo loco mutuentur: significationem au∣tem diuersam singuli loci suppeditent: numerus sub linea col∣lectus totidem secundo loco dena, tertio centena, quarto mil∣lena, et sic deinceps, nobis denominabit: quot unitates loco∣rum illorū notę: si primo loco fuissent positę: repręsentarent.

SI SCIRE cupis: an recte numeros collegeris: numero∣rum additionem recte factam esse, per deductionem proba∣bis.

Ita{que} si post{quam} numerorum additorum ordinem aliquem a summa coaceruata deduces: reliquorum ordinum non de∣ductorum summa ex deductione surget: tunc in addendo ni∣hil est erratum. Nam cum partes complures ad cuiusuis rei compositionem coeunt: si qua earum sola sublata erit: caeteras remanere necesse est. Id manifestius fiet: cum de deductione pręcepta dederimus: ad quam nunc properamus. 〈 math 〉〈 math 〉

ET QVONIAM nulla natio est: quae uaria nūmismatū genera non habeat: alia pluris precij, alia uilioris: ideo ad tā uariorū additionem faciendam, singulis et nummorū et sum∣marū generibus suę classes in abaco designandę sunt: ut una quę{que} siue summa siue pecunia, quo maior est alijs: magis si∣nistram occupet: quo uilior: magis dextrā. Veluti si in unā summā colligēdi sint aurei, ualentes singuli denarios uicenos quinos: denarij, ualentes singuli. 4. nūmos sestertios: sester∣tij, ualētes singuli duos asses et semissem: cuiusmodi sunt ue∣tera nūmismata Romana: aurei sinistrā occupent. denarij in dextrā uergentes, medium locū teneant. sestertij uero dextrā. Deinde genera haec tā uaria additurus, a prima classe dextra sestertiorū incipe: numeros{que} omnes colligēs, at{que} obseruās, quot quaternarij reperiuntur: si quis numerus excurrit: qui quaternariū nō perficit: illū ibi subsignato. Ipsos autem qua∣ternarios memoria tenens trāsfer in proximā denariorū clas∣sem. continuo{que} memoriā exonerās, et denarios illic repertos eis adiungens, per omnes ipsius classis numeros discurre: at{que} animaduerte: quot uiceni quini sūt obuij. numerū autem ex∣currentem, qui. 25. nō implet: ibi deponito. At uiceni quini memoria reconditi, in proximā aureorū classem transferātur,

cum illis primum computādi. et numerus omnium collectu illic subnotetur. Itidem si in quauis alia natiōe aurei, denarij, nūmi uiliores illius regionis supputandi sunt: eodem modo curandum: ut singulis sua classis detur. Viam tantum mon∣stramus. caetera facile dabit frequens exercitatio.

Exemplum ante oculos spectandū hic subnotauimus: quod quiuis facile sine praeeunte explicabit. 〈 math 〉〈 math 〉