Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 83
Dies vorausgeschickt, betrachten wir die einander nicht
äquivalenten Elemente
(43),, c... a().
Das Produkt irgend eines von ihnen mit wieder irgend einem
von ihnen ist ein Element der gegebenen Gruppe und muss
deshalb in einer bestimmten jener Reihen befindlich, d. h. einem
bestimmten der Elemente (43) äquivalent sein. Diese -- + 1
Elemente bilden demnach in einem erweiterten Sinne
eine neue Gruppe, die in der ursprünglichen enthalten ist,
insofern jedes- Produkt aus zweien von ihnen zwar nicht wieder
einem von ihnen gleich, aber doch in dem zuvor festgesetzten
Sinne äquivalent ist. Die gleichen Erwägungen aber, welche
uns die vorher entwickelten allgemeinen Gruppensätze geliefert,
sind augenscheinlich auch anwendbar auf den erweiterten
Gruppenbegriff, wenn nur statt der Gleichheit von Elementen
die Aequivalenz durchweg gesetzt wird. Somit finden wir insbesondere, dass jedes der u + 1 Elemente (43) zu einem bestimmten Exponenten gehört, d. i. dass eine bestimmte kleinste
Potenz desselben dem Elemente 1 in dem angegebenen Sinne
äquivalent, nämlich zur ersten der Reihen (42) gehörig ist.
Und ferner wird - nach 4) vor. Nummer - ein Element a
unter jenen u + 1 Elementen vorhanden sein, das in solchem
Sinne zum Exponenten in2 gehört, welcher das kleinste gemeinsame Vielfache all' derjenigen Exponenten ist, die den einzelnen Elementen zukommen. Da nun a"m gleich 1 - nach
Schluss von 4) vor. Nummer - und folglich zur ersten der
Reihen (42) gehörig, d. h. auch in dem festgesetzten Sinne
äquivalent 1 ist, so folgt offenbar, dass mn ein Vielfaches von in2 ist.
Setzt man ferner die Potenz at221, welche zur ersten der
Reihen (42) gehört, gleich ak, so folgt
d1h
1 ==xttj a a 2f
mithin ist kc. - theilbar durch den Exponenten 'n1,' zu dem
~c gehört, und 1c durch mn2 etwa k === c-; hieraus findet sich
=2 = -2. NIun sei = -a 1 alc, also c, mit dem Ele-, cm2. Nun sei a2 —.,a1
mente a der neuen Gruppe äquivalent, dann findet sich
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