Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 81
1 alt a2,.... -
der Gruppe gehören, und m1 ihr kleinstes gemeinsames Vielfache, so findet sich m1 selbst unter den
Zahlen (41) vor, d. h. von den Elementen der Gruppe
gehört wenigstens eins zum Exponenten m1. Denn,
zerlegen wir m, in seine Primzahlpotenzen:
m1 =- p * '. r.Y...
so ist pa, nach der Art, wie das kleinste gemeinsame Vielfache gegebener Zahlen zu bilden ist, Theiler von wenigstens
einem der Exponenten (41) und demnach gehört nach dein
zweiten der obigen Sätze zum Exponenten pa wenigstens ein
Element der Gruppe. In gleicher Weise giebt es Elemente,
welche resp. zum Exponenten qß, r,... gehören, und da
diese Exponenten alle relativ prim sind, giebt es nach dem
vorigen Satze auch ein Element, das zum Exponenten in, gehört, w. z. b. w.
Dieser grösste aller Exponenten, zu welchem Elemente
der Gruppe gehören, hat zudem, weil er durch jeden dieser
Exponenten theilbar ist, offenbar die Eigenschaft, dass für
jedes Element a der Gruppe die Gleichung stattfindet:
aml = 1.
15. Mit Hilfe der so aufgeführten Sätze lässt sich nun
zeigen, wie alle Elemente der Gruppe aus einigen fundamentalen Elementen zusammengesetzt werden können.
In der That, ist zunächst al ein zum Exponenten m1 gehöriges Element der Gruppe, so bilden die Potenzen
12 ~C1 a2 (a? ~ ~ 1~
1, Kl,.^,, o - 1
welche, wie schon bekannt, unter einander verschieden sind,
offenbar eine Gruppe. Wenn sie noch nicht alle Elemente der
gegebenen Gruppe umfassen, so sei a' ein nicht darin enthaltenes Element der letztern; dann folgt sofort, dass die
Elemente, aga1 agl~~.o. ax '1 -mx neue Elemente der gegebenen Gruppe sindo Ist diese
Gruppe damit noch nicht erschöpft, so sei a" ein Element,
Bachmann, Die Elemente der Zahlentheorie. 6