Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 79
14. Wir werden nun zu dem fundamentalen Begriffe der
Gruppe noch einmal zurückkehren, um aus demselben eine
vollständigere Reihe von Eigenschaften abzuleiten, als bisher
geschehen ist.
1) Bilden die Elemente
C0. a1, 2,...meine Gruppe, so haben wir unter der Voraussetzung, dass
für diese und die ausser ihnen noch in Betracht
kommenden Elemente die Multiplikation associativ
und einpaarig ist, folgende Sätze erhalten: Unter jenen
Elementen befindet sich eines, welches bei der Multiplikation
die Rolle der Einheit spielt; es sei das Element ao. Jedes
andere Element ai gehört zu einem gewissen Exponenten d,
von der Art, dass adi die niedrigste Potenz ist, welche mit
jener Einheit identisch ist, und die Potenzen
2 3 d-i 1
(40) 1, a a, 3,... avon einander verschieden sind. Ferner sind die Produkte
a, iaa a, A2... C acnm
unter sich und von den Elementen der Gruppe durchweg verschieden, sobald a ein der Gruppe nicht angehöriges Element
bezeichnet.
2) Diesen Sätzen fügen wir zunächst noch folgenden an,
welcher unter den gleichen Voraussetzungen gilt: Gehört ein
Element a der Gruppe zu einem Exponenten d, so
giebt es auch Elemente der Gruppe, welche zu einem
beliebigen Theiler d'= - von d gehören. Denn a" ist
ein solches Element, sobald a und d den grössten gemeinsamen Theiler 6 haben. In der That, heisst s der Exponent,
zu welchem a" gehört, der Art, dass aa - 1 ist, so muss,
wie leicht zu sehen, ~s durch d theilbar sein, weil, wenn im
Gegentheile e ==- qd + r und der Divisionsrest r < d von
Null verschieden wäre, sich aa8 == ad a ar = ar, also ar' = 1
ergäbe, während doch erst die Potenz ad = 1 sein sollte.
Setzt man demnach d = -dd', a = 8a' sodass d', a' relativ
prim sind, so kann 6. a'e nur dann durch 6 d' theilbar sein,