Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 77
_(P-1)
A2 - p (p - ) ( -2) (p - l) ( - ) A
1.2.3 1.2
3 A p(p-1) + (p-2)(p-3) (p- 1)(p-2)(p-3)A1
3A - 1.2.3.4 + 1.2.3
(-2) ( -3) A
( - 2)A_2 = p + (2 - l)A, + (p - 2)A, +.* + 3A,_
(19 - 41A,i =1 + A, + A2 +... A_2.
Werden diese Gleichungen aber als Congruenzen nach dem
lodulus p aufgefasst, so schliesst man sogleich, dass
A1 _ A -- A3 - ' A_ — -2 0,
(37) A_4 - 1 (mod. p)
ist. Demnach dürfen wir die Gleichung (36) als eine Congruenz (mod.p) auch folgendermassen schreiben:
(x + 1) (x + 2) * (x +p - ) xP- 1 (mod. P),
wenn wieder, wie in No. 5, unter P der Modulus derjenigen
Funktionen, und zwar p - ten Grades, verstanden wird, deren
sämmtliche Coefficienten durch p theilbar sind. Bei Ausführung des Produktes werden aber, dem Sinn solcher Congruenz entsprechend, die Zahlen 1, 2, 3,... p-l, welche
ein reducirtes Restsystem (mod. p) bilden und nur Multiplikationen und Additionen unterworfen werden, durch irgendwelche andere ihnen resp. (mod. p) congruente Zahlen, d. h.
durch irgend ein anderes reducirtes System von Resten ersetzt
werden dürfen. Bezeichnet demnach a, a,... a-1 irgend
ein solches, sodass auch - a, - a2... -a-1_ ein solches
ist, so darf man die obige Congruenz auch in der folgenden
Form aussprechen:
(38) (x - a) (x- a2). (x - a. i) ExP-1 - 1 (mod. P).
Und diese ist nicht nur gleichbedeutend mit dem Fermatschen Satze, sondern sie giebt auch auf das Deutlichste den
Grund, aus welchem dieser Satz herfliesst. In der That, weil
dieser Congruenz gemäss der Ausdruck x21-: - l mit dem