Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

i~7~~4 ~Zweiter Abschnitt
Die obige Congruenz ist demnach für jede, positive oder
negative, ganze Zahl bewiesen. Ist aber n nicht theilbar
durch p, so darf man den Faktor in rechts und links unterdrücken und gewinnt dann den einfachen Fermat'schen
Satz:,m- _ -1 (mod. ).
D'iese Congruenz aber ist gleichbedeutend mit einer Gleichung
von der Form
m?1 - - 1 4- h.p,
unter 7h eine gewisse ganze Zahl verstanden. Wird nun die
Gleichung wieder zur Potenz p erhoben, so liefert der binomische Satz das Resultat:
p + p p + (P- i) 'J +..
wo rechts jedes Glied vom zweiten an offenbar durch p2 theilbar ist, sodass die Gleichung sich einfacher in folgender Form
schreiben lasst:
mp:(p-~) = 1 + h'. 2p
wo h' wieder eine ganze Zahl bezeichnet. Eine erneute Erhebung zur pten Potenz ergiebt,n2(-i) d 1 +-i. h'p2 + 2)- 71), +...
oder einfacher, wenn h" ganzzahlig ist,
mnP-(P-1) =_ 1 + tf. p3
u. s. f. Diese Betrachtung führt offenbar zu dem, schon etwas
allgemeineren F'er m at' schen Satze:
(35) - (.-1) - (mod pa)
bei welchem n als eine durch p nicht theilbare Zahl vorausgesetzt werden musste.
Gesetzt run, mn sei eine Zahl, welche auch durch keine
der Primzahlen q, r,... theilbar ist, so werden in derselben
Weise folgende Congruenzen sich herleiten lassen:
m6-i.(1-1) —1 (mod. qb)
in"c -. (r-l) 1 t (mod. rC)