Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 73
ihrer grossen Bedeutung noch zwei andere Beweise mittheilen,
welche, indem sie sich ein jeder der besonderen Beziehung
des Satzes zur einen oder andern Theorie anschliessen, diese
verschiedene Beziehung des Satzes hervortreten lassen.
12. Der erste dieser Beweise wird Euler verdankt, und gestattet, den verallgemeinerten Satz zu erweisen. Nach dem binomischen Satze ist zunächst
p np 'aP-2b2 '
(a + b) = aP + p.a b + ß-1 2 a l + 1
P( )a2b2 - SOp.lab- + bp
und die sämmtlichen Binomialcoefficienten sind, wie aus No. 8
des ersten Abschnitts hervorgeht, durch die Primzahl p theilbare ganze Zahlen. So oft demnach a, b ganze Zahlen bedeuten, lässt diese Gleichung sich in Gestalt einer Congruenz
(mod.p) schreiben, wie folgt:
(a + b)v -E aP + bP (mod. p).
Diese aber kann, wie nun sogleich ersichtlich ist, verallgemeinert werden für beliebig viel Summanden, und giebt
dann:
(a + b + c -+ ) - aP + bP + C +.. (mod. p),
wie gross die Anzahl der ganzzahligen Summanden auch sei.
Ist nun m ihre Anzahl und nimmt man sie sämmitlich der
Einheit gleich an, so kommt
m- _ m (mod. p)
zunächst für jede positive ganze Zahl m. Doch kann man
hierin auch m b in - m verwandeln; denn, ist p2 2, so erhielte man auf solche Weise
m2_ - m (mod. 2),
was mit,_ _ m (mod. 2)
gleichbedeutend ist; und wenn p eine ungerade Primzahl
bedeutet, so würde
(- - ) = - - m (mod. )
auch nichts anderes bedeuten als
IP D min (mod. p).