Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 71
11. Kehren wir jetzt zu der Bemerkung zurück, welche
für die letzte Reihe von Untersuchungen die Grundlage bildete,
der Bemerkung, dass die Produkte aus einer zu n relativ
primen Zahl Q und den Gliedern eines vollständigen resp. reducirten Restsystems (mod. n) wieder ein vollständiges resp.
reducirtes Restsystem nach demselben Modulus bilden. Diesmal aber beziehen wir unsere Betrachtung auf ein
reducirtes Restsystem. Ist
9 21 n i 3, 23. ~ v
ein solches, wobei v zur Abkürzung steht für ip(n), so werden,
wie bemerkt, auch
9Q1, 9Q2:>, 9Q 9 M Q2 Q' '
eins bilden, d. h. diese cp(n) Zahlen sind jenen, von der Reihenfolge abgesehen, (mod. n) congruent. Folglich wird auch das
Produkt der einen dem Produkte der andern congruent sein,
was in folgender Formel ausgedrückt wird:
~ (Q1 2 Q*.1 ) E- Q2 **.. (mnod. n)
Aber das gleiche, rechts und links stehende Produkt ist zu n
relativ prim, mithin darf man damit beiderseits dividiren, und
erschliesst aus der vorstehenden folgende einfachere Congruenz:
— l1 (mod. n)
oder
(34) 9p(n") 1 (mod. n.).
Dieses Resultat ist die Verallgemeinerung eines Satzes,
welchen schon Fermat*) angegeben und der als einer der
einfachsten und zugleich folgenreichsten unter den von ihm
gefundenen eine ganz besondere Berühmtheit erlangt hat und
*) Fermat lebte in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts zu
Toulouse. Die Zahlentheorie verdankt ihm eine Reihe ihrer schönsten,
berühmtesten Sätze, welche er seinen Zeitgenossen, meist ohne die Beweise zu liefern, die er möglicherweise selbst nicht durchweg besass,
mitgetheilt hat. Die Bemühungen späterer Mathematiker, sie zu begründen, haben dazu gedient, die Wissenschaft der Zahlen zu entwickeln, sodass Fermat's Arbeiten als der eigentliche Ausgangspunkt
der Zahlentheorie anzusehen sind. Sie finden sich in Fermatii opera
mathematica, Tolosae 1679; neuerdings haben P. Tannery et
Ch. Henry eine neue Ausgabe derselben, euvres de Fermat, veranstaltet.